1、第7节 立体几何中的向量方法 第1课时 利用空间向量求空间角,最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.,知 识 梳 理,1.异面直线所成的角,设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,2.求直线与平面所成的角,设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin ,_.,|cosa，n|,3.求二面角的大小,(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.,(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |_
2、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,微点提醒,1.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n|，不要误记为cos |cosa，n|. 2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与
3、平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ),解析 (1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为，则sin |cos a，n |；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P45练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90,两平面所成二面角为45或18045135. 答案 C,A.30 B.60 C.120 D
4、.150,答案 A,4.(2018郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( ),答案 B,5.(2019延安联考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，AA11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.,解析 建立如图所示的坐标系.,易得A(2，0，0)，B(2，3，0)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，,设异面直线AB1与BC1所成的角为，,6.(2019大连预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.,解析 如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，
5、0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD， 又CD平面PAD，,故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45. 答案 45,考点一 用空间向量求异面直线所成的角,【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ),解析 (1)法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.,图(1) 图(2),则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).,法二 将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCDA
6、1B1C1D1(如图(2)，连接AD1，B1D1，则AD1BC1.,(2)法一 取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角PBCA的平面角，即POA120，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.,法二 如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以BC平面PAO，即平面PAO平面ABC.且POA就是其二面角PBCA的平面角，即POA120，建立空间直角坐标系如图所示.,法三 如图所示，取BC的中点O，连接OP，O
7、A，因为ABC和PBC是全等的等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角的平面角，,答案 (1)C (2)A,解析 法一 如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B，易得MNAC1，EFCB1C1B，那么AC1B或AC1B的补角即直线MN与EF所成的角.,法二 如图，连接AC1，C1B，CB1，,设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD， 则MNAC1OD，EFCB1， 那么DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.,法三 取AB的中点O，连接CO，则COAB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于C
8、C1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.,答案 C,考点二 用空间向量求线面角,(1)证明：PO平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.,所以AB2BC2AC2， 所以ABC为等腰直角三角形，,由OP2OB2PB2知POOB. 由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.,设平面PAM的法向量为n(x，y，z).,规律方法 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补
9、角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,(1)求证：平面BDEF平面ADE； (2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.,从而BD2AD2AB2，故BDAD，,因为DE平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD. 又ADDED，所以BD平面ADE. 因为BD平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.,所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.,设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，,考点三 用空间向量求二面角 【例3】 (2018武汉模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，将它沿对称轴O
10、O1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB.,(1)(一题多解)证明：OD平面PAQ； (2)若BE2AE，求二面角CBQA的余弦值.,(1)证明 法一 取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示. P为BC的中点，PFOB， AQOB，PFAQ， P，F，A，Q四点共面. 由题图1可知OBOO1， 平面ADO1O平面BCO1O，且平面ADO1O平面BCO1OOO1，OB 平面BCO1O， OB平面ADO1O，PF平面ADO1O，,又OD平面ADO1O，PFOD. 由题意知，AOOO1，OFO1D，
11、AOFOO1D， AOFOO1D， FAODOO1， FAOAODDOO1AOD90，AFOD. AFPFF，且AF平面PAQ，PF 平面PAQ， OD平面PAQ.,法二 由题设知OA，OB，OO1两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长为m，,则O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)， C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).,设平面CBQ的法向量为n1(x，y，z)，,令z1，则y2，x1，n1(1，2，1). 易得平面ABQ的一个法向量为n2(0，0，1). 设二面角CBQA的大小为，由
12、图可知，为锐角，,规律方法 利用空间向量计算二面角大小的常用方法： (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,【训练3】 (2018安徽六校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBCCC12CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.,(1)求证：EF平面BCC1B1； (2)(一题多解)若BCDC1CD60，且平面D1C1C
13、D平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.,(1)证明 如图(1)，连接DE，D1E.,图(1),ABCD，AB2CD，E是AB的中点， BECD，BECD， 四边形BCDE是平行四边形，DEBC. 又DE平面BCC1B1，BC平面BCC1B1， DE平面BCC1B1. DD1CC1，DD1 平面BCC1B1， CC1平面BCC1B1，D1D平面BCC1B1. 又D1DDED，平面DED1平面BCC1B1. EF平面DED1，EF平面BCC1B1.,(2)解 如图(1)，连接BD. 设CD1，则ABBCCC12. BCD60，,CD2BD2BC2，BDCD. 同
14、理可得，C1DCD. 法一 平面D1C1CD平面ABCD，平面D1C1CD平面ABCDCD， C1D平面D1C1CD，C1D平面ABCD， BC平面ABCD，C1DBC， C1DB1C1.,在平面ABCD中，过点D作DHBC，垂足为H，连接C1H，如图(1) . C1DDHD，BC平面C1DH. C1H平面C1DH，BCC1H，B1C1C1H， DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角.,法二 以D为原点，分别以DB，DC，DC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图(2)，,图(2),设平面DC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2).,设平面BCC1B1与平面DC1B
15、1所成的锐二面角的大小为，,思维升华 1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的简单几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.,(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系. 易错防范 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.利用向量法求二面角大小的注意点 (1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明； (2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求. (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.,
