1、第6节 空间向量及空间位置关系,最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.,知 识 梳 理,1.空间向量的有关概念,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行,重合,同一个平面,ab,xayb,1,(3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，
2、a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a_. 空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.,1e12e23e3,3.空间向量的数量积及运算律,非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac.,0，,互相垂直,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,6.空间位置关系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,微点提醒,3.向量的数
3、量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.( ) (3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.( ) (4)若ab0，则a，b是钝角.( ) (5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ),解析 (1)直线的方向向量
4、不是唯一的，有无数多个； (2)a；(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成一个基底； (4)若a，b，则ab0，故不正确；(5)两个平面可能平行或重合. 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(选修21P41练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则( ) A. B. C.，相交但不垂直 D.以上均不对 解析 n1n2，且n1n2230，相交但不垂直. 答案 C,3.(选修21P38A5(3)改编)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_.,解析 ab(cos sin ，2，c
5、os sin )， ab(cos sin ，0，sin cos )， (ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0，,4.(2019郑州检测)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ),解析 设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，,答案 C,5.(2018合肥月考)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,答案 垂直,考点一 空间向量的数量积及应用 典例迁移,【例1】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD
6、的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EGAB.,【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长.,【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值.,规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. 2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a0，b0，abab0；,【训练1】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角
7、为60.,(1)求AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值.,考点二 用空间向量证明平行和垂直问题,(1)求证：AE平面BCF； (2)求证：CF平面AEF.,证明 取BC中点H，连接OH，则OHBD， 又四边形ABCD为正方形， ACBD，OHAC，,(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，,又四边形BDEF为平行四边形，,又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.,规律方法 1.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
8、，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.,求证：(1)A1B1平面AA1C； (2)AB1平面A1C1C. 证明 因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形， 所以AA1平面BAC.,所以CAB90，即CAAB， 所以AB，AC，AA1两两互相垂直，,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
9、,设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).,设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，,取y1，则n(0，1，0)，,所以A1B1平面AA1C.,设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，,令x11，则y11，z11， 即m(1，1，1).,又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.,考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 多维探究 角度1 与平行有关的探索性问题 【例31】 (2018西安八校联考)已知某几何体的直观图和三视图如图，其主视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.M为AB
10、的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.,解 由几何体的三视图可知AB，BC，BB1两两垂直，ANABBC4，BB18.如图，分别以AB，BB1，BC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4，0，0)，B(0，0，0)，C(0，0，4)，N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4). 设平面CNB1的法向量为n(x，y，z).,令x1，可得平面CNB1的一个法向量为n(1，1，2). 设P(0，0，a)(0a4).,在线段CB上存在一点P，使得MP平面CNB1，此时BP1.,角度2 与垂直有关的探
11、索性问题 【例32】 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.,(1)求证：ACBF；,(1)证明 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF 平面ADEF， AF平面ABCD. AC平面ABCD，AFAC.,ABAFA，AC平面FAB， BF平面FAB，ACBF.,(2)解 存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.,假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，,设平面PAC的法向量为m(x，y，z).,【训练3】 (2019桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，AB
12、C和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.,(1)求证：BDAA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,(1)证明 设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，,由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.,(2)解 假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，,取n3(1，0，1)，因为BP平面DA1C1，,即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.,思维升华 1.利用向量的线性运算和空间向量
13、基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.,5.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. 易错防范,2.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角. 3.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.,
