1、第九章 拉普拉斯变换1.拉普拉斯变换（双向的）的定义2.拉普拉斯变换和他们的收敛域（ROCs）3.收敛域的性质拉普拉斯变换连续系统傅里叶变换让我们能做很多事：分析LTI系统的频率响应；抽样；调制。我们为什么还需要其他变换对于拉普拉斯变换的一种观点是为了分析更多种类信号的系统而对傅里叶变换做的拓展实际上，傅里叶变换不能分析很大一类（重要）信号和不稳定系统，比如 x t dt 拉普拉斯变换的作用（接上）在很多的应用中，我们确实需要处理不稳定系统 稳定一个倒立摆 稳定飞机或者航天飞机 在一些应用中需要不稳定，比如振荡器和激光 我们如何分析以下信号/系统，LTI系统的本征函数性质 LTIstststs
2、teh tH s eH sh t edtesj 假设收敛任是一个系统的本征函数一何般来说是复的。（双向）拉普拉斯变换基本想法 -12sROCROC=3sttj tttx tX sx t edtL x tsjsX sXjx t eedtF x t eX ssjx t edtsj 只跟 有关，跟 无关是复变量，现在我们探讨 的取值范围处理拉普拉斯变换的关键性问题是收敛性只在 是某些值的时候存在这个就叫做收敛域（）满足如果在收敛域中（换句话 =sjX sF x t说0），那么要求绝对可积绝对可积条件例例9.19.1：1011110Re0ReRe1,ReRes a tatsts a ts aXseu
3、t edtedteesasasasaXssasa 收敛域只在的时候收敛，换句话说就是不稳定：无傅里叶变换有拉普拉斯变换 1(a)atx teu t为任意实数或者复数例例9.29.2 22021-0111Re0ReRe1,ReReatatsts a ts a ts axteutXseut edtedteesasasasaXssaXssaX sx t 收敛域只在时收敛，换句话说跟一样，但是不同收敛域（与的关键区别）：需要和R关OC才能唯一确定的，这种问题在傅里叶变换傅里中键点叶变换不存在。图形显示的收敛域 1111,ReReatXssasax teu t 例：右边信号 221,ReRe-atXss
4、asaxteut 例子2：左边信号有理变换很多（但绝不是全部）拉普拉斯变换对我们来说，感兴趣的是s的有理函数（比如例1、例2）一般来说，LTI系统的脉冲响应可用线性常微分方程来表示 ,s=00(12)N sX sD sD sN sX sD sX sx ttt 中的多项式的根的的跟的任何一个包含复指数线性复杂组合的在和就像例 和例都有一个有理的拉普拉零点极点斯变换。例例9.39.3 2202100Re2Re123232323277Re221212ttttstststssx te u te u tX seeedtedtedtssX ssssssss 要求要求都要求收敛域有交集极注：点意零点 x t
5、问题：有傅里叶变换吗拉普拉斯变换和收敛域有些信号没有拉普拉斯变换（没有收敛域）-1(),(,).ttta x tCetx t edtCe 由于，为任意值 00(:2),jtttb x tetx t eFT XdtjeX s (-,).为任意值只在收敛域中有定义；在拉普拉斯变换中不允许用脉冲收敛域（ROC）的性质收敛域只取少量的几种不同形式 -sj-,=Re s20sttx t edtx t edtX sD sN sX sD s 1）收敛域在 平面内由平行于轴的带状区域所组成（也就是说，收敛域只跟 有关）只取决于。）如果是有理的，那么收敛域中不存在极点.极点是的地方不收敛 3sx t）如果是有限
6、持续期（有限时宽）而且绝对可积，那么收敛域是整个 平面。2112,TststTTTX sx t edtx t edtx t dt 有限积分间隔如果 004)ReRex tss如果是右边信号（在某个时刻之前是零），如果在收敛域中，那么的全部s值都在收敛域内。收敛域是右半平面（RHP）005)ReRex tss如果是左边信号（在某个时刻之后是零），如果在收敛域内，那么的全部s值都在收敛域内。收敛域是左半平面（LHP）006)ResRe=x tss如果是双边信号，如果这条线在收敛域内，那么收敛域由 平面中的一条带状区域所组成，直线位于带中。例例9.7 btx te 2211,Re,Re20,Rebt
7、btx te uteu tsbsbsbsbbbX sbsbsb 如果重叠有收敛域:0b无如果重叠无拉普会怎样？拉斯变换利用例利用例9.19.1和例和例9.29.2：性 质 7X sX sX sax tbx t）如果是有理的，那么它的收敛域被极点界定或者延伸到无穷远。另外，的极点都不在收敛域内。8）假设是有理的，那么如果是右边信号，收敛域就在最右边极点的右边；如果是左边信号，收敛域就在最左边极点的左边。例子：例子：IIII I I x tx tx t是右边信号收敛域：是左边信号收敛域：是双边信号收敛域不存在存：不在存在 9,X sjx t）如果的收敛域包括轴傅里叶那么的变换存在。(3)()(1)
8、(2)sX sss傅立叶变换是否存在？4.4.拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.5.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质6.6.线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数7.7.拉普拉斯变换及其频率响应的几何求值拉普拉斯变换及其频率响应的几何求值拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 ,stXsx t edtsjROC tF x t eROC固定并利用傅里叶逆变换 12tjtx t eXjed 12jtxtXjed sjdsjd又固 定 12jstjxtXsedsj通过部分分式展开和性质计算拉普拉斯逆变换通过部分分式展开和性质计算拉普拉斯逆变换 31212sABXsssss例 子：25,33AB R
9、OC三个可能的对应三个不同的信号 1,ateRsaeutsa 回顾左边 1,ateRsaeu tsa 右边ROC：左边信号ROC：双边信号，有傅里叶变换ROC：右边信号 2225t-33ttttx tAe utBe uteeut 当发散 2ttx tAe u tBe ut 2250 ()33tte u te utt 当 2ttx tAe u tBe u t 22533tteeu tt 当发散拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 许多性质类似于连续时间傅里叶变换，但我们需要确定ROC（拉斯变换收敛域）的含义。线性性质线性性质 1212ax tbxtaXsbXs 12XsXs收敛域至少是和收敛域的
10、交集.收 敛 域 可 以 更 大 一 些（因 为 零 极 点 对 消）ROCs整个 平面 12=x txtab 例子：以及 1200saxtbxtX则时移时移 ,sTx tTeX sX s与具有相同的收敛域。例子：32?+2seeRss，22+2sTtett TeRseu ts ，3T 32323+2steeRseu ts，时域微分时域微分 s如果有零极点抵消，其收敛域可以比X的收敛域大一些,如：dx tsX sX sdt，其收敛域包含的收敛域.dsd t(推 导 与类 似)1=1=sROC=sdx ttdts全部 平面 -dXstx tXsds,与有 相 同 的 收 敛 域.1,Re0 x
11、tu tss 211,atedteu tRsads sasa 例如：11,22jjststjjdx tx tXs e dssXs e dsjdtjs-域微分域微分卷积性质卷积性质 Y(s)=H(s)X(s)的收敛域：包括H(s)&X(s)的收敛域的交集；如果与H(s)&X(s)的收敛域无重叠，那么Y(s)的收敛域必是空集。例如：收敛域可以比二者重叠的部分更大些,如:xthtythtxt ,x tX sy tY sh tH s由于 Y sH s X s则 ,ttx te u th te ut x th tt 1,ROCs H s X s 为整个 平面。线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统
12、函数 系统函数描绘了系统 系统的性质与H(s)的性质及其收敛域相对应。例子：()()()xthtyt h tH s系统函数 -h t dtH s 系统是稳定的的收敛域包含j 轴.有理拉普拉斯变换的几何求值有理拉普拉斯变换的几何求值1#1()Xssa例：(一 阶 零 点111()X ssa 的几何求值 XX-ss11向量长度向量辐角给定一点 ，：做复数 和复数 表示的向量，然后做向量 与 的和。1s1sa1sa例例#2#2：一个一阶极点：一个一阶极点例例#3：一个高阶有理拉普拉斯变换：一个高阶有理拉普拉斯变换 2111XssaXs 22111logXsXsXsXs 或者log 21XsXs 11
13、RiiPjjsX sMs 11RiiPjjsX sMs 11RPijijX sMss 111,Re11H ssss 一阶系统 11tth teu ts teu t111.11HjHjjj的几何求值：（阶跃响应）（阶跃响应）一阶系统的波特图一阶系统的波特图221111HjjHj1tanHj 101211100/41/21 渐近近似渐近近似以-/2改变20/dB decade二阶系统二阶系统 222ReRe2nnnHsss收敛域极点复极点欠阻尼ns=-在处的双极点临界阻尼2极点在负实数轴过阻尼0111演示：零极点图表，频率响应，以及一阶演示：零极点图表，频率响应，以及一阶和二阶连续时间因果系统的阶
14、跃响应和二阶连续时间因果系统的阶跃响应一个二阶系统的波特图一个二阶系统的波特图1 2 0.707 n顶部是平坦的,当一个 的低通滤波器一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应11 1当时无震荡临界阻尼过阻尼一阶全通系统一阶全通系统1.两个向量长度相同122.Hj2222020aa:?,Re0saH ssaasa 8.连续时间系统函数的性质9.系统函数的代数属性和方框图表示10.单边拉普拉斯变换及其应用连续时间系统函数的性质 x tH sy tY sH s X s H（s）=系统函数 -1)()2h t dtH sjh tH s 系统是稳定的的收敛域包含轴；）因果
15、性是右边信号的收敛域是右半平面。问题：如果H（s）的收敛域是一个右半平面，那么系统是因果性的吗？11,Re111110,0sTsTttt Ttt Tt TeH ssh tseh tLLe u tsseu tTt 例：是右信号非因果连续时间有理系统函数的性质ja a）如果）如果H(sH(s)是有理的，那么是有理的，那么系统是因果性的系统是因果性的 H(s)的收敛域位于最右边的收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。极点的右边的右半平面。b b）如果）如果H H（s s）是有理的并且是一个因果系统的系）是有理的并且是一个因果系统的系统函数，那么统函数，那么系统是稳定的系统是稳定的 轴在收敛域内轴在收
16、敛域内 所有极点在左半平面内。所有极点在左半平面内。检验是否所有极点在左半平面 N sH sD s 1110=nnnD ssasa sa极点是的根方法方法1 1：求出所有的根再看：求出所有的根再看方法方法2 2：劳斯：劳斯-赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据不需要求解不需要求解多项式根在左半平面的条件一阶二阶三阶0sa210sa sa32210sa sa sa00a 100,0aa2100120,0,0aaaaa a并且初值和终值定理如果当t0时x(t)=0，并且在原点无脉冲或高阶间断点，那么 0limsxsX s初值如果当t0时x(t)=0，并且当t趋于无穷时x(t)的极限是有限的，那么 0l
17、imsxsX s 终值初值和终值定理的应用 ,N sX sD snN sdD s阶多项式阶多项式 010lim01110?1sdnxsX sdndnX sxs有限值例子：00lim0lim0ssxsX sX ss 如果在处无极点初值终值用线性常微分方程描述的LTI系统 000000,kkNMkkkkkkkkkNMkkkkkkMkkkNkkkd y td x tabdtdtddssdtdta s Y sb s X sY sH s X sb sH sa s 有理分子的根零点重复使用微分分母的性质根：极点收敛域收敛域=？这依赖于：这依赖于：1 1）所有极点的位置；）所有极点的位置；2 2）边界条件，
18、也就是左边信号、右边信号还是双边信号。）边界条件，也就是左边信号、右边信号还是双边信号。系统函数的代数属性例子：一个由因果模块组成的基本反馈系统例子：一个由因果模块组成的基本反馈系统 2112121112121111E sX sZ sX sHs Y sY sHs E sHsX sHs Y sY sHs HsHs X sY sHsH sX sHs HsHs HsHs收敛域：由的根决定，而不是的根带有有理系统函数的因果LTI系统的流程图（略略）2222222222222461246323213232,=32246246Y sH s X sssH sssssssW sX sssd w tdw tw
19、tx tdtdtd w tdw tx tw tdtdtY sssW sd w tdw ty tw tdtdt例子：可以看成是两个系统的级联定义：初始松弛或者同理：例子（续）替代 222222124632:32246x tssy tssd w tdw tH sx tw tdtdtd w tdw ty tw tdtdt 我们可以这样构造 H s注意：1/s一个积分器注意：212133212168=2+21ssssH sssssss串联并联连接学到的：有很多学到的：有很多不同不同方法可以构建同一个系统。方法可以构建同一个系统。单边拉普拉斯变换（数学课讲过单边拉普拉斯变换（数学课讲过-略略）（分析带有
20、初值条件的线性常微分方程描述的因果连续时间系统的更好工具）01212121002=3LTI4t00stuuuuuuuXsx t edtLx ttx tX sXsx tx t u th tH sHsx txtLx txtXx Xs注意：）如果当时，那么）的单边拉普拉斯变换的双边拉普拉斯变换）例如，如果是一个因果性系统的脉冲响应，那么）卷积性质：如果当时，那么跟双边拉普拉斯变换相同单边拉普拉斯变换的微分性质 ux tXs 0udx tsXsxdt 00222000000uustststuXsudx tLdtuudx tdx tLedtsx t edtx t edtdtsXsxd x tdx tds
21、 sXsxxdtdtdts Xssxx 推导：注意：f dgfgg df分部积分初值条件用单边拉普拉斯变换解带有初值条件的微分方程 22222320,0,3231212120=0uuuudyd yLLdtdtuZIRZSRd y tdy ty tx tdtdtyyx tu ts YssYsY sssYsZSRsssss ssIx tZ R 例子：进行变换：零输入响应零状态响应例子（续）初始松弛 时的LTI系统响应0 112uuuYsHsH sXsss0初始条件 单一的响应 2001,001,032112122,0uttx tyysYsssssy teet无输入，作业：习题9.3,9.8,9.14,9.31,9.33习题课：例9.9,例9.10,例9.11,例9.17,例9.23,例9.25,例9.26,例9.27.
