1、2023年中考数学专题复习：几何图形综合题 强化练习题汇编类型一动点问题1. 如图，在ABC中，ACBC，D是AB边上一动点，过点D作DEBC交AC于点E，以D为顶点，DE为一边作EDFACB，使其另一边与BC边交于点F，EF与CD交于点G.(1)求证：G是EF的中点；(2)M，N分别是AC，BC的中点，连接MN，求证：点G在线段MN上；(3)如图，已知D是长为4的线段AB上的动点(D不与A，B重合)，分别以AD，DB为边在线段AB的同侧作等边ADE和等边BDF，G为EF的中点，连接DG.求GD的最小值第1题图2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交
2、AB的延长线于点F，连接BE.(1)如图，求证：AFDEBC；(2)如图，若DEEC且BEAF，求DE的长；(3)若DAB60，试探究点E在运动的过程中，是否存在某个位置，使得AB2BF？若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由第2题图3.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，且ABAC.点F是BC上一动点，连接AF、DF，DF交AC于点E，其中DAF90，AFDB. (1)证明：ACECBFCF；(2)若ABAC10，BC16.如图，若DFAB，求的值； 如图，若DFDC，求DCF的面积第3题图4. 已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AFAE，交CB的延长线
3、于点F.(1)如图，求证：FBED；(2)点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GCGF.(i)如图，求GFA的度数；(ii)如图，过点G作MHAE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB3，BF1，求MH的长第4题图类型二折叠问题1. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在ABCD中，BEAD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF, BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； 独立思考：(1)请解答老师提出的问题；实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图，点C的对应点为C，连接DC并延长交A
4、B于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将ABCD沿过点B的直线折叠，如图，点A的对应点为A，使ABCD于点H，折痕交AD于点M，连接AM，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此ABCD的面积为20，边长AB5, BC2，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积请你思考此问题，直接写出结果第1题图2. (1)证明推断：如图，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQAE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE.求证：AEFG；(2)类比探究：如图，在矩形ABCD中，k(k为常数)将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得
5、到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP，当k时，若tanCGP，GF2，求CP的长第2题图3. 在RtABC中，B90，BC4，AB8，点D是边AC的中点，点P是边AB上任意一点(点P不与点A重合)，连接PD、PC，将PDC沿直线PD折叠，点C的对应点为点E.(1)观察猜想如图，当点E与点A重合时，PDA的度数是_，线段AP的长是_；(2)类比探究如图，当点E在ABC外侧时，四边形CDEP是菱形时，求的值；(3)解决问题设PDE与ABC重叠部分的面积为S1，PAC的面积为S2，当S1S2时
6、，连接AE，请直接写出tanAED的值第3题图4. 如图，在矩形ABCD中，AB12，AD9，点E，F，P，Q分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且满足AECP5，AFCQ，连接EF，PQ.将AEF和CPQ分别沿直线EF，PQ进行翻折，得到对应的GEF和HPQ，连接EH，PG.(1)(i)求证：AEGCPH；(ii)判断四边形EGPH的形状，并说明理由；(2)如图，若点A，G，P在一条直线上，求四边形EGPH的周长；(3)如图，若点H，G分别落在EF，PQ上，HP交FG于点M，HQ交EG于点N，求AF的长，并直接写出四边形NHMG的面积第4题图类型三旋转问题1. 如图，在RtABC中，ACB
7、90，B30，点M是AB的中点，连接MC，点D是线段CA延长线上一点，连接DM，将线段MD绕点M顺时针旋转60得MD，射线MD交线段BC的延长线于点P，交AC于点H，PCBC.(1)找出与D相等的角，并说明理由；(2)若BC3CP，求的值；(3)如图，若点D是直线AC上一点，连接AD，且AC2，求AMD周长的最小值第1题图2. 在RtABC中，ACB90，AB，AC2，过点B作直线mAC，将ABC绕点C顺时针旋转得到ABC(点A，B的对应点分别为A，B)，射线CA，CB分别交直线m于点P，Q.(1)如图，当P与A重合时，求ACA的度数；(2)如图，设AB与BC的交点为M，当M为AB的中点时，求
8、线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在CA，CB的延长线上时，试探究四边形PABQ的面积是否存在最小值若存在，求出四边形PABQ的最小面积；若不存在，请说明理由第2题图3. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转(090)，得到矩形ABCD，连接BD.【探究1】如图，当90时，点C恰好在DB延长线上若AB1，求BC的长；【探究2】如图，连接AC，过点D作DMAC交BD于点M.线段DM与DM相等吗？请说明理由；【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD，AC于点P，N(如图)，发现线段DN, MN，PN存在一定的数量关系，请
9、写出这个关系式，并加以证明第3题图4. 如图，ABC和ADE是共用顶点A的等腰直角三角形，BACDAE90，将ADE绕点A顺时针旋转，点P为射线BD，CE的交点，AB，AD1.(1)如图，当点D在线段CE上时，求证：BDCDAD；(2)如图，当点E在BA延长线上时，求PC的长；(3)试探究在ADE绕点A旋转的过程中，当线段PB最小时，求PBC的面积第4题图类型四图形形状变化问题1. 如图，在ABC和DEC中，直线AD和直线BE交于点F.(1)如图，ABC和DEC均为等边三角形求证：ACDBCE；(2)如图，ABC和DEC均为等腰直角三角形，ABCDEC90，ABBC，DEEC，请判断线段AD，
10、BE之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，ABC和ADE均为直角三角形，ACBAED90，BACDAE30，AB5，AE3，当点B在线段ED的延长线上时，求线段BD和CE的长度第1题图2. (1)如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接线段AE、AF、EF，EAF45，试判断BE、EF、DF之间的关系，并说明理由；(2)如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接线段AE、AF，B120，EAF30，试说明CECF3BEDF；(3)如图，若菱形ABCD的边长为8 cm，点E在CB的延长线上，点F是边BC上的点，BFFC13，ABC120，EA
11、F30，求线段BE的长第2题图3问题探究：小红遇到这样一个问题：如图，ABC中，AB6，AC4，AD是中线，求AD的取值范围她的做法是：延长AD到E，使DEAD，连接BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：(1)小红证明BEDCAD的判定定理是_；方法运用：(2)如图，AD是ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AEEF，求证：BFAC；(3)如图，在矩形ABCD中，在BD上取一点F，以BF为斜边作RtBEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EGCG.第3题图4.如图，在ABC中，ABAC10，BC12，点D为BC的中点，MDNB，DM、
12、DN分别交AB、AC于点E、F，连接EF.(1)求证：BEDDEF；(2)若SDEFSABC，求的值；(3)如图，若ABC为等腰直角三角形，BAC90，ABAC10，点D为BC的中点，MDN45，DM交BA的延长线于点E，DN交AC于点F，连接EF，试探究BECF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由第4题图专题十一几何图形综合题类型一动点问题1. (1)证明：DEBC，ACBDEC180.EDFACB，EDFDEC180.DFCE，DEBC，四边形CEDF为平行四边形G是平行四边形CEDF对角线的交点，G是EF的中点；(2)证明：如解图 ，连接MN、MG，第1题解图M，N分别是A
13、C，BC的中点，MN是ABC的中位线，MNAB，由(1)知，点G是CD的中点，MGAB，点G在线段MN上；(3)解：如解图，分别延长AE、BF交于点C，连接CD，第1题解图AED、BFD都是等边三角形，AADEFDBB60，DEBC，DFAC，ABC为等边三角形，四边形CEDF为平行四边形，CD、EF互相平分点G是EF的中点，点G是CD的中点，DGCD.当CD取最小值时，GD的值最小当CDAB时，CD最短，ACAB4，ADAB2，在RtACD中，CD2，GD的最小值为.2. (1)证明：四边形ABCD为菱形，DCBC，DCEBCE，在DCE和BCE中，DCEBCE，EDCEBC.DCAB，ED
14、CAFD，AFDEBC；(2)解：DEEC，EDCECD.四边形ABCD是菱形，CDAB，ECDBAE，FCDE，EABF，AEEF，设EDCECDCBEBAEx，则CBF2x，由BEAF得2xx90，解得x30，BAE30，EBAF，BFAB6，AEEF4.CDAB，CDEAFE，DE2；(3)解：存在如解图，过点B作BHAC于点H，第2题解图AB2BF，AB6，BF3，AF9，四边形ABCD为菱形，DAB60，BAH30，BHABsin303，AHABcos303，AC2AH6.ABCD，CDEAFE，AE6，EHAEAH3.在RtBHE中，BE，由(1)可知，DEBE，EFDE.3. (
15、1)证明：ABAC，ABFFCE.AFDB，AFCAFDEFCBFAB，EFCFAB，ABFFCE，即ABCEBFFC.又ABAC，ACECBFCF；(2)解：DFAB，BAFAFE，AFDBACB，BAFACB.又ABFCBA，ABFCBA，BF，CFBCBF.DFAB，；如解图，分别过点A、D作AMBC，DNFC，垂足分别为点M，N，过点A作AGDN于点G.第3题解图在ABC中，ABAC，AMBC，BMCM8，AM6，tanB.AFDB，tanAFDtanB.AMNGNMAGN90，四边形AMNG是矩形，MAG90.又DAF90，则FAMGAFDAGGAF90，FAMDAG.又AMFAGD
16、90，AMFAGD，AGAM，MNAG，则CNCMMN8，DCDF，DNFC，FNNC，MFCM2CN1.由AMFAGD，得，解得DG，DNDGGN6.SDCFCFDN2.4. (1)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，DABDABC90，AEAF，EAFDAB90，BAFDAE，ABFADE(ASA)，FBED；(2)解：(i)设GCF，则DCG90，GCGF，GCFGFC，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADGCDG45，又DGDG，ADGCDG(SAS)，AGCGGF，DAGDCG90，AGD18045(90)45，BGFDBCGFB45，AGF180(45)(45)90，AGF是
17、等腰直角三角形，GFA45；(ii)如解图，连接FH，AH，第4题解图AB3，BF1，在RtABF中，AF，FC4，MHAE，EAFFMG90，由(2)(i)知AGF是等腰直角三角形，MG是AF的垂直平分线，AMFM，AHFH，AH2AD2DH2，FH2FC2CH2，AD2DH2FC2CH2，即9(3CH)216CH2，CH，MH.类型二折叠问题1. (1)EFBF；证明：如解图，分别延长AD，BF交点记为点M.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，2C，M1.F为CD的中点，DFCF，MDFBCF，FMFB，即F为BM的中点，BFBM.BEAD，BEM90，在RtBEM中，EFBM，EFBF
18、；第1题解图一题多解如解图，过点F作FMEB于点M，则EMF90.BEAD，AEB90，AEBEMF，ADFM.四边形ABCD是平行四边形，ADFMBC.，F为CD的中点，M为BE的中点，即EMMB.FMEB，FM垂直平分EB.EFBF；第1题解图(2)AGBG；证明：如解图，由折叠的性质可知：12CFC，FCFC.F为CD的中点，FCFDCD，FC FD.34.CFC34，4CFC.41，DGFB.四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DCAB，四边形DGBF为平行四边形BGDF，BGAB，AGBG；第1题解图一题多解如解图，连接CC交FB于点N.由折叠的性质可知：FCFC，CCFB.CNB
19、90.点F为CD的中点，FCFDCD，FCFD.12.FCFC. FCCFCC.在DCC中，1DCCDCC180.12FCCFCC180.222FCC180.2FCC90，DCC90，DCCCNB，DGFB.四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCAB.四边形DGBF是平行四边形BGDF，BGAB，AGBG.第1题解图(3)解：.【解法提示】如解图，过点M作MEAB于点P，ABCD，SABCDABBH20，AB5，BH4，由折叠的性质得ABAB，AH1，BC2，CH2，四边形ABCD是平行四边形，AC，AA，AC，又APMCHB，AMPCBH，设MPx，则APx，ABCD，ABAB，ABA9
20、0，ABMMBP45，PBMPx，AB5，xx5，解得x.AC，AHNCHB，ANHCBH，NH2，S四边形BHNMSAMBSANH512.第1题解图2. (1)证明：四边形ABCD是正方形，ABDA，ABE90DAQ，QAOOAD90，AEDQ，ADOOAD90，QAOADO，ABEDAQ(ASA)，DQAE，GFAE，DQGF，FQDG，四边形DQFG是平行四边形，GFDQ，由全等的性质得AEDQ，AEFG；(2)解：k.理由如下：如解图，过点G作GMAB于点M，由折叠的性质得AEGF，AOFGMFABE90，BAEAFO90，AFOFGM90，BAEFGM，ABEGMF，AMGDDAM9
21、0，四边形AMGD是矩形，GMAD，k；第2题解图(3)解：如解图，过点P作PNBC交BC的延长线于点N.FBGC，FEGP，CGPBFE，tanCGPtanBFE，设BE4k，BF3k，则EFAF5k，ABBFAF3k5k8k，FG2，AE，在RtABE中，(4k)2(8k)2()2，k或k(舍)，BE，BF2，EFAF，AB，k，BC4，CEBCBE4，ADPEBC4，EBFFEPPNE90，FEBEPN，FEBEPN，即，解得NE，NP，CNENCE，CP.第2题解图3. 解：(1)90，5；【解法提示】由折叠的性质得PDAC，PDA90.B90，BC4，AB8，AC4.点D是边AC的中
22、点，ADAC2.又BPDA90，AA，ADPABC，即，解得AP5.(2)四边形CDEP是菱形，点D是边AC的中点，AC4，CPCDADAC2.B90，BC4，BP2，APABBP826，如解图，过点P作PQAC于点Q，第3题解图BAQP90，AA，AQPABC，即，解得AQ，QP，DQAQAD，PD2，；(3)3或2.【解法提示】分两种情况讨论：如解图，当C、E位于AB异侧时，设DE交AB于点F，过点P作PGAC于点G，点D是边AC的中点SAPDSCPDSPAC.PDE与ABC重叠部分的面积为S1，PAC的面积为S2，S1S2，SPFDSPAC，SPFDSAPD，点F是AP的中点，由折叠的性
23、质得SEPDSCPD，SEPDSPAC，SPFDSEPD，点F是DE的中点，四边形AEPD是平行四边形，EPAD2，AEDPDE，由折叠的性质得CPEP2，PDCPDE，AEDPDC，BP2，APABBP6，与(2)同理，AGPABC，解得AG，GP，DG，tanAEDtanPDC3；如解图，当C、E位于AB同侧时，设PE交AC于点F，过点D作DKAB于点K，点D是边AC的中点，ABC90，DK是ABC的中位线，DKBC2，AKAB4，与同理得四边形AEDP是平行四边形，由折叠的性质得CDED，CDEDAP2，AEDAPD，PKAPAK24，tanAEDtanAPD2.综上所述，tanAED的
24、值为3或2.第3题解图4. (1)(i)证明：AECP，AFCQ，AC90，AEFCPQ，AEFCPQ，由翻折的性质得，AEG2AEF，CPH2CPQ，AEGCPH；(ii)解：四边形EGPH是平行四边形；理由：如解图，延长PH，交AD延长线于点M，四边形ABCD为矩形，ADBC，MCPH，由(1)知AEGCPH，AEGM，EGPH，EGAECPPH，四边形EGPH是平行四边形；第4题解图(2)解：如解图，设AP与EF交于点I，AB12，AD9，AECP5，BP4，tanBAP，由翻折的性质得，EFAP，AIIG，BAPAPB90，AEFPAE90，PAEAPB，AEFBAP，设AIx，EI3
25、x，在RtAEI中，x29x225，解得x(负值已舍)，AG2AI，AP4，PGAPAG3，四边形EGPH是平行四边形，四边形EGPH的周长为2(53)106；第4题解图(3)解：如解图，连接CH、 FP，延长EF交CB延长线于点K, 第4题解图由翻折的性质得，CHPQ，CPPH5，PGEH，CHEF，CPPH5，PHCPCH，PHCPHK90，PCHK90，KPHK，KPPH5，KBKPBP1，CKAD，BFKAFE，AB12，BF2，AF10；S四边形NHMG8.【解法提示】FK2BK2BF25，FP2BP2BF220，PK225，FK2FP2PK2PFK90，HFKF，由折叠的性质可得，
26、MHNMGN90，EGHP，FMHMGN90，HMG90，四边形HNGM是矩形，tanEFG.FH，HM1，FM2，FGAF10，MGFGFM1028，矩形NHMG面积为188.类型三旋转问题1. 解：(1)DAMP；理由如下：ACB90，B30，BAC60，DDMA60.由旋转的性质得DMP60，即DMAAMP60，DAMP；(2)如解图，连接CD，ACB90，点M是AB的中点，CMABBMAM，MCBB30，AMCBMCB60，AMC为等边三角形，AMCDMD，DMDAMDAMCAMD，DMADMC.在MDA与MDC中，MDAMDC(SAS)，ADCD，MCDMAD120，ACDMAC60
27、，CDAB，BC3CP，CPBP.CDBM，CDPBMP，设CDADt，则BM4t，AB8t.在RtABC中，cosB，BC4t，4；第1题解图(3)如解图，连接CD，当点D与点A点重合时，点D与点C重合，当点D与点A不重合时，由(2)知ACD60，点D在直线CD上运动，作点A关于直线CD的对称点A，DCA60，ACAC，DCMDCA180，M，C，A三点共线，AMD的周长为AMADMDAMADMDAMCAMC，AMD的周长最小值为3AC6.第1题解图2. 解：(1)由旋转的性质得ACAC2，ACB90，AB，AC2，BC，mAC，ABC90，cosACB，ACB30，ACAACBACB60；
28、(3分)(2)M为AB的中点，PCBMAC，由旋转的性质得MACA，APCB，tanPCBtanA，PBBC.PBCACB90，BPCCPQ，BQBPCB，tanBQBtanPCB，BQ2，PQPBBQ；(6分)(3)存在(7分)理由：由(1)知BC.由旋转的性质得ACAC2，BCBC.S四边形PABQSPCQSACBSPCQACBCSPCQ，SPCQ最小时，S四边形PABQ最小，易知SPCQPQBCPQ.如解图，取PQ的中点G，连接CG，PCQ90，第2题解图CGPQ.当CGPQ时，CG与CB重合，取最小值，最小值为，此时PQ的长度最小，CG，PQ2CG2.SPCQ23，S四边形PABQ最小
29、值3.(10分)3. 解：【探究1】设BCx.矩形ABCD绕点A顺时针旋转90得到矩形ABCD，点A，B，D在同一直线上，ADADBCx，DCABAB1，DBADABx1.BADD90，DCDA，又点C在DB的延长线上，DCBADB，解得x1，x2(不合题意，舍去)BC；【探究2】线段DM与DM相等；理由：如解图，连接DD.DMAC，ADMDAC，由旋转及矩形的性质得ADAD，ADCDAB90，DCAB，ACDDBA(SAS)，DACADB，ADBADM.ADAD，ADDADD，MDDMDD，DMDM；第3题解图【探究3】MN2PNDN.证明：如解图，连接AM.DMDM，ADAD，AMAM，A
30、DMADM(SSS)，MADMAD.AMNMADNDA，NAMMADNAP，NDANAP，AMNNAM，MNAN.在NAP与NDA中，ANPDNA，NAPNDA，NAPNDA，AN2PNDN，MN2PNDN.第3题解图4. (1)证明：ABC和ADE均是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DEAD，BADCAE，在ADB和AEC中，ADBAEC(SAS)，BDCECDDE，BDCDAD；(2)解：AB，AD1，BAD90，tanABD，ABD30，ADBCDP60.同(1)可证ADBAEC，ABDACE30，ADAC，DPC180CDPACE90.CDACADABAD1，PC
31、CDcos30(1)；(3)解：如解图，以点A为圆心，AD长为半径画圆，第4题解图ABC和ADE均为等腰直角三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC90，DABEAC，ADBAEC(SAS)，当CE在A下方且与A相切时，BCP最小，此时PB最小，AEEC，ADBAEC90，四边形ADPE是正方形，BPC90，PBC是直角三角形，且斜边BC为定值，EC，BDCE，四边形AEPD是正方形，PDPEAD1，PBBDPD1，PCECPE1，SPBCPBPC(1)(1)，当线段PB最小时，PBC的面积为.类型四图形形状变化问题1. (1)证明：ABC和DEC均为等边三角形，ACBDCE60，CACB，C
32、DCE，ACBBCDDCEBCD，ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)；(2)解：ADBE.理由如下：ABC和DEC均为等腰直角三角形，ABCDEC90，ABBC，DEEC，ACBDCE45，ACBBCDBCDDCE，即ACDBCE，ACDBCE，ADBE；(3)解：ACBAED90，BACDAE30，AB5，AE3，BE4，tanDAEtan30，DEAE3，BDBEDE4，BACDAE30，BACCADDAECAD，即BADCAE，cos30，CAEBAD，cos30，CEBD(4)2.2. 解：(1)EFBEDF.理由如下：如解图，延长CD至点G，使得DGBE.四边形
33、ABCD为正方形，ABAD，BADCADG90，ABEADG.AEAG，12.又EAF45，1345，2345，EAFGAF，AFAF，AFEAFG，EFGFDGDFBEDF; 第2题解图(2)如解图，分别在AB、AD上取点M、N，使得BMBE，DNDF，连接EM、FN.BMEBEM，DNFDFN，四边形ABCD是菱形，B120，BD120，BAD60，BME1330，AME150，EAF30，1230，32.同理得DNF30，ANF150，ANFAME，AMEFNA，菱形的四边都相等，BMBE，DNDF，MBENDF120，AMCE，ANCF，FNDF，MEBE，CECF3BEDF；第2题解
34、图(3)如解图，连接AC，在AC上取一点O，使得OFOC，作OPFC交FC于点P，作BQAC于点Q，BFFC13，BFFCBC8 cm，BF2 cm，FC6 cm，PCFC3 cm，OCP30，OC2OF，AC2QC2BCcos308 cm，BACBAFFAC30，EAFEABBAF30，FACEAB.OFCOCF30，AOFOFCOCF2OCF60.ABC120，ABE60，AEBAFO.，FO2cm，AB8 cm，AOACOC6 cm，BE cm.第2题解图3. (1)解：SAS；(2)证明：如解图，延长AD至点A，使ADAD，连接BA，第3题解图AD是ABC的中线，BDCD，在ADC和ADB中，ADCADB(SAS)，CADA，ACAB，又AEEF，CADAFE，AAFE，又AFEBFD，BFDA，BFAB，BFAC；(3)证明：如解图
