1、优秀领先 飞翔梦想 成人成才难点专题：二次函数的综合性问题(选做)代几结合，突破最值及点的存在性问题类型一二次函数中的线段(和、差)或周长最值问题1如图，已知抛物线yx2mx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线的对称轴直线l上的一个动点，当PAPC的值最小时，求点P的坐标2如图，已知抛物线ya(x1)23(a0)与y轴交于点A(0，2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；(2)若某一次函数的图象经过A，B两点，试求出该一次函数的表达式；(3)试在x轴上求一点P，使得PAB的周长取最小值类型二二次函数与三
2、角形的综合一、特殊三角形的存在性问题3(2017怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标4阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P的坐标为(xp，yp)由xpx1x2xp，得xp，同理得yp，所以AB的中点坐标为P.由勾股定理得AB2|x2x1|2|y2y1|2，所以A，B两点间的距离公式为AB.注：上述公式对A，B在平面直角坐
3、标系中其他位置也成立解答下列问题：如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且BOOC3AO，连接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是等腰三角形？若存在，试求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由二、面积问题5(2017齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点(1)求此抛物线的表达式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且SABP4SCOE，求P点坐标类型三二次函数与特殊四边形的综
4、合6二次函数yx2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数yx2的图象上，四边形OBAC为菱形，且OBA120，则菱形OBAC的面积为_7(2017临沂中考)如图，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB.(1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与解析1解：(1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线yx2mx3中，得03
5、23m3，解得m2.yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为(1，4)(2)连接BC交抛物线的对称轴直线l于点P，再连接AP，则此时PAPC的值最小设直线BC的表达式为ykxb，由(1)知点C的坐标为(0，3)，将点B(3，0)，C(0，3)代入ykxb中，得解得直线BC的表达式为yx3.当x1时，y132，当PAPC的值最小时，点P的坐标为(1，2)2解：(1)把A(0，2)代入ya(x1)23得2a(01)23，解得a1.B为顶点，B点的坐标为(1，3)(2)设该一次函数的表达式为ykxb，将A，B两点的坐标代入表达式得该一次函数的表达式为yx2.(3)将A点关于x轴的对称点记作A，则
6、A(0，2)，连接AB交x轴于点P，则P点即为所求设直线AB的表达式为ymxn，将A，B两点的坐标代入表达式得解得直线AB的表达式为y5x2.当y0时，x，P点的坐标为.3解：(1)点A(1，0)，B(5，0)在抛物线yax2bx5上，抛物线的表达式为yx24x5.(2)令x0，则y5，C(0，5)，OCOB，OBCOCB45.OA1，OB5，AB6，BC5.要使以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，则有或，如图当时，CDAB6，D(0，1)；当时，CD，D.综上所述，点D的坐标为(0，1)或.4解：(1)抛物线yax2bx3交y轴于点C，点C的坐标为(0，3)，OC3.BOOC3AO，BO
7、3，AO1，点B的坐标为(3，0)，点A的坐标为(1，0)该抛物线与x轴交于A，B两点，解得抛物线的表达式为yx22x3.(2)存在由(1)知抛物线为yx22x3，对称轴为直线x1.设P点的坐标为(1，m)B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)，BC3，PB，PC.PBC是等腰三角形，分以下三种情况：当PBPC时，m1，P点的坐标为(1，1)；当BCPB时，3，m，P点的坐标为(1，)或(1，)；当BCPC时，3，m3，P点的坐标为(1，3)或(1，3)综上所述，符合条件的P点坐标为(1，1)或(1，)或(1，)或(1，3)或(1，3)5解：(1)将点A(1，0)和点B(3，0)代入y
8、x2bxc得解得抛物线的表达式为yx22x3.(2)令x0，则y3，C(0，3)yx22x3(x1)24，D(1，4)(3)设P(x，y)(x0，y0)，由(2)知y(x1)24，即抛物线的对称轴为直线x1，易知AB4，CO3，SCOE13，SABP4y2y.又SABP4SCOE，2y4，y3，即x22x33，解得x10(不合题意，舍去)，x22，P(2，3)62解析：连接BC.四边形OBAC为菱形，ACABCOBO，BCOA.OBA120，CABCOB60，OBC，ABC均是正三角形设OA2a，BC2b，点B的坐标为(b，a)，ab2.易知CAO30，tanCAO，ab，b1，a.菱形OBA
9、C的面积为OABC2a2b2ab2.7解：(1)令x0，则y3，C(0，3)，OC3.OC3OB，OB1，B(1，0)把A(2，3)，B(1，0)代入yax2bx3，得抛物线的表达式为yx22x3.(2)连接AC，作BHAC交AC的延长线于H，如图.A(2，3)，C(0，3)，AHx轴，H(1，3)，BH3，AH3，BAC45.设D(0，m)，则OD|m|.BDOBAC，BDO45，ODOB1，|m|1，m1，点D的坐标为(0，1)或(0，1)(3)由(1)知抛物线的对称轴为直线x1.设M(c，c22c3)，N(1，n)，要使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，需分以下两种情况讨论：以AB为边，则ABMN，ABMN.如图，过M作ME对称轴直线x1于E，过点A作AFx轴于F，记直线AB与对称轴的交点为K，AFEK，BKEBAF.ABMN，MNEBKE，MNEBAF.又NEMAFB，NMAB，NMEABF，NEAF3，MEBF3，|c1|3，c4或c2，则c22c35，M(4，5)或(2，5)；以AB为对角线，BNAM，BNAM，如图，则N在x轴上，M与C重合，M(0，3)综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(4，5)或(2，5)或(0，3) 第 6 页 共 6 页
