1、 平面的基本性质平面的基本性质 如果一条直线上的两点在一个平面内，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上那么这条直线上所有的点所有的点都在这个平面都在这个平面内内 lBAlBlA,公公 理理 1 1 如果两个平面有一个公共点，那么它们还如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。条过这个公共点的直线。公理公理2公理公理3 确定一平面不共线CBACBA,经过不在同一条直线上的三点，有经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面且只有一个平面 公理公理1 1 如果如果一条直线一条直线上的两点在一
2、个平面内，上的两点在一个平面内，那么这条直线上那么这条直线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内公理公理2 2 如果如果两个平面两个平面有一个公共点，那么它们有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。条过这个公共点的直线。公理公理3 3 经过不在同一条直线上的经过不在同一条直线上的三点三点，有且只，有且只有一个平面有一个平面 推论推论1 1 经过一条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外外的一点，的一点，有且只有一个平面有且只有一个平面 推论推论2 经过两条经过两条相交相交直线，有且只有一个平面直线，
3、有且只有一个平面推论推论3 经过两条经过两条平行平行直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面推论推论2 经过两条经过两条相交相交直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面 推论推论3 经过两条经过两条平行平行直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面 推论推论1 1 经过一条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外外的一点，有的一点，有且只有一个平面且只有一个平面 例例1 1 直线直线ABAB、BCBC、CACA两两相交，交点分别为两两相交，交点分别为A A、B B、C C，判断这三条直线是否共面，并说明理由。判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图如图)解解：这三条直线共面，因为直线
4、：这三条直线共面，因为直线AB和直线和直线AC相交于点相交于点A，所以，所以直线直线AB和和AC确定一个确定一个 平面平面.(推论推论2)因为因为BAB，CAC，所以，所以B，C，故，故BC (公理公理1)因此直线因此直线AB，BC，CA都在平面都在平面内，即它们共面内，即它们共面.例题讲解例题讲解其它其它解法解法反馈练习反馈练习1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（个数是（）A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D1 1或或3 3D D2 2.空间四点中，三点共线是这四个点共面的空间四点中，三点共线是这四个点共面的()()A.
5、A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.B.必要但不充分条件必要但不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既非充分条件，也非必要条件既非充分条件，也非必要条件 3 3.下列各个条件中，可以确定一个平面的是下列各个条件中，可以确定一个平面的是()()A.A.三个点三个点 B.B.两条不重合的直线两条不重合的直线C.C.一个点和一条直线一个点和一条直线D.D.不共点的两两相交的三条直线不共点的两两相交的三条直线 AD D4 4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端是否共面？是否共面？1.公理公理3的三个推论：的三个推论：推论推论1
6、经过一条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外外的一点，有且的一点，有且只有一个平面只有一个平面 推论推论2 经过两条经过两条相交相交直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面推论推论3 经过两条经过两条平行平行直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面2.公理公理3及其三个推论的作用是及其三个推论的作用是确定平面确定平面3.证明若干个点、线共面的方法证明若干个点、线共面的方法(先证其中某些点、线确定一个平面先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、再证剩余点、线落在此平面内线落在此平面内)五、五、【小结小结】1 1、高中数学第二册、高中数学第二册(下下A A)课本课本P8P8 ：T7T
7、7、8 8、9 9三条直线两两相交，由这三条直线所确三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（定平面的个数是（）A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D1 1或或3 3看一看看一看下列各个条件中，可以确定一个平面的是下列各个条件中，可以确定一个平面的是 A.A.三个点三个点 B.B.两条不重合的直线两条不重合的直线 C.C.一个点和一条直线一个点和一条直线 D.D.不共点的两两相交的三条直线不共点的两两相交的三条直线怎样用两根拉紧的细怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条线来检验桌子的四条腿的底端是否共面？腿的底端是否共面？经过一条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外外的一点，
8、有且只有一个平面的一点，有且只有一个平面 空间四点中，三点共线是这四个点共面的空间四点中，三点共线是这四个点共面的()A充分但不必要条件充分但不必要条件 B必要但不充分条件必要但不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既非充分条件，也非必要条件既非充分条件，也非必要条件推论推论2 经过两条经过两条相交相交直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面 证明：设直线证明：设直线a a、b b相交于点相交于点C,C,在在a a、b b上分别取不同于点上分别取不同于点C C的点的点A A和点和点B B，点，点A A，B B，C C是不在同一条直线上的三点（否是不在同一条直线上的三点（否则与则与a a、
9、b b为两条相交直线矛盾）由公理为两条相交直线矛盾）由公理3 3，过，过A A、B B、C C三点三点有且只有一个平面有且只有一个平面，因为，因为a a、b b各有两点在平面各有两点在平面内，所内，所以直线以直线a a、b b在在内，因此过直线内，因此过直线a a、b b有平面有平面。因为点因为点A A、B B、C C分别在直线分别在直线a a、b b上，所以它们在过上，所以它们在过a a、b b的平面内。由由公理的平面内。由由公理3 3，过，过A A、B B、C C三点的平面只有一个，三点的平面只有一个，过直线过直线a a、b b的平面只有一个。的平面只有一个。推论推论3 经过两条经过两条平
10、行平行直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面 证明：设直线证明：设直线a a、b b满足满足a a平行于平行于b b，由平行线的定义，由平行线的定义，直线直线a a、b b在同一平面内，这就是说，过直线在同一平面内，这就是说，过直线a a、b b有平有平面面。设点设点A A为直线为直线a a上任一点，则点上任一点，则点A A在直线在直线b b外，点外，点A A和直线和直线b b在过直线在过直线a a、b b的平面的平面内，由公理内，由公理3 3的推论的推论1 1，过点过点A A和直线和直线b b的平面只有一个。过直线的平面只有一个。过直线a a、b b的平面只的平面只有一个。有一个。推论
11、推论1 经过一条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外外的一点，有且只有一个平面的一点，有且只有一个平面 求证：过点求证：过点A和直线和直线a可以确定一个平面可以确定一个平面 所以经过点所以经过点A和直线和直线a有且只有一个平面有且只有一个平面 唯一性唯一性:如果经过点如果经过点A和直线和直线a的平面还有一个平面的平面还有一个平面，那么，那么A，B ，因为，因为B，C，所以，所以B，C.(公理公理1)故故不共线的三点不共线的三点A，B，C既在平面既在平面内又在平面内又在平面内内.所以平面所以平面和平和平面面重合重合.(公理公理3)解法二解法二:因为因为A在直线在直线BC外，所以过点外，所以过点
12、A和直线和直线BC确定确定平面平面.(推论推论1)，因为，因为A，BBC，所以，所以B.故故AB，同，同理理AC ，所以，所以AB，AC，BC共面共面.解法三解法三:因为因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面三点可以确定平面.(公理公理3)因为因为A，B，所以，所以AB .(公理公理1)同理同理BC ，AC ，所以，所以AB，BC，CA三直线共面三直线共面.例题讲解例题讲解证共面问题，可先由公理证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合重合怎样的直线怎样的直线a a我们就说它在平面外？我们就说它在平面外？
