1、1.3.3函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数 自主学习自主学习 新知突破新知突破1借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念概念2弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件必有最大值和最小值的充分条件3会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值1如图为如图为yf(x)，x a，b 的图象的图象 问题问题1 试说明试说明yf(x)的极值的极值 提示提示1 f(x1)，
2、f(x3)为函数的极大值，为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函为函数的极小值数的极小值 问题问题2 你能说出你能说出yf(x)，x a，b 的最值吗？的最值吗？提示提示2 函数的最小值是函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，中最小的，函数的最大值是函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的中最大的2函数函数yg(x)，yh(x)在闭区间在闭区间 a，b 的图象都是一的图象都是一条连续不断的曲线条连续不断的曲线(如图所示如图所示)问题问题 两函数的最值分别是什么？两函数的最值分别是什么？提示提示 yg(x)的最大值为极大值，最小值为的最大值为极大值，最小值为g
3、(a)，yh(x)的最大值为的最大值为h(a)，最小值为，最小值为h(b)一般地，如果在区间一般地，如果在区间 a，b 上函数上函数yf(x)的图象是一条的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有连续不断的曲线，那么它必有_与与_函数的最大函数的最大(小小)值值 最大值最大值最小值最小值1函数最值的理解函数最值的理解(1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较在整个定义域上的情况，是对整个区间
4、上的函数值的比较(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值没有极小值(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值成为
5、最值，最值只要不在端点处取必定是极值1求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的内的_；2将函数将函数yf(x)的的_与与_处的函数值处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是比较，其中最大的一个就是_，最小的一，最小的一个就是个就是_求函数求函数f(x)在闭区间在闭区间 a，b 上的最值的步上的最值的步骤：骤：极值极值各极值各极值端点端点最大值最大值最小值最小值2求函数最值需注意的问题求函数最值需注意的问题(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点求出导数为
6、零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值大值和最小值(2)若函数在闭区间若函数在闭区间 a，b 上连续单调，则最大、最小值上连续单调，则最大、最小值在端点处取得在端点处取得(3)若连续函数若连续函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内只有一个极值点内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值例如在时，这个点的函数值必然是最值例如在(，)上函数上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值只有一个极值，那么这个极值也就是最值1函数函数f(x)4xx4在在x 1，2 上的最大值、最小值上的最大值、最小值分别是分别是()Af(1)
7、与与f(1)Bf(1)与与f(2)Cf(1)与与f(2)Df(2)与与f(1)解析：解析：f(x)44x3，f(x)0，即即44x30 x1，f(x)1，f(x)4xx4在在x1时取得极大值，时取得极大值，且且f(1)3，而，而f(1)5，f(2)8，f(x)4xx4在在 1，2 上的最大值为上的最大值为f(1)，最小值为，最小值为f(2)，故选，故选B.答案：答案：B2函数函数f(x)2xcos x在在(，)上上()A无最值无最值 B有极值有极值C有最大值有最大值 D有最小值有最小值解析：解析：f(x)2sin x0恒成立，所以恒成立，所以f(x)在在(，)上单调递增，无极值，也无最值上单调
8、递增，无极值，也无最值答案：答案：A合作探究合作探究 课堂互动课堂互动 求函数的最值求函数的最值 求下列函数的最值求下列函数的最值 思路点拨思路点拨 要求区间要求区间 a，b 上函数的最值，只需求出函上函数的最值，只需求出函数在数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可(1)f(x)2x312x，导数法求函数最值要注意的问题：导数法求函数最值要注意的问题：(1)求求f(x)，令，令f(x)0，求出在，求出在(a，b)内使导数为内使导数为0的的点，同时还要找出导数不存在的点点，同时还要找出导数不存在的点(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点
9、，导数为比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的的点及区间端点的函数值，其中最大者便是点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在在 a，b 上的最上的最大值，最小者便是大值，最小者便是f(x)在在 a，b 上的最小值上的最小值特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论作商或分类讨论 1求下列各函数的最值求下列各函数的最值(1)f(x)x42x23，x 3，2；(2)f(x)x33x26x2，x 1，1 解析：解析：(1)f(x)4x34x，令令f(x)4x(x1)()(x1)0得得x1，或，或x0，或，或x1.
10、当当x变化时，变化时，f(x)及及f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：当当x3时，时，f(x)取最小值取最小值60；当当x1或或x1时，时，f(x)取最大值取最大值4.x3(3，1)1(1，0)0(0，1)1(1，2)2f(x)000f(x)60极大极大值值4极小极小值值3极大极大值值45(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在在 1，1 内恒大于内恒大于0，f(x)在在 1，1 上为增函数上为增函数故故x1时，时，f(x)最小值最小值12；x1时，时，f(x)最大值最大值2.即即f(x)的最小值为的最小值为12，最大值为，最大值为2.已知函数的最值求参数已
11、知函数的最值求参数 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的符号的影响，因此，需要进行分类讨论本题是运用最值的定义，的影响，因此，需要进行分类讨论本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值的方程，从而得出参数的值 2已知函数已知函数f(x)
12、ax36ax2b在在 1，2 上有最大值上有最大值3，最小值，最小值29，求，求a，b的值的值解析：解析：依题意，显然依题意，显然a0.因为因为f(x)3ax212ax3ax(x4)，x 1，2，所以令所以令f(x)0，解得，解得x10，x24(舍去舍去)(1)若若a0，当，当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：由上表知，当由上表知，当x0时，时，f(x)取得最大值，所以取得最大值，所以f(0)b3.又又f(2)16a3，f(1)7a3，故，故f(1)f(2)，所以当所以当x2时，时，f(x)取得最小值，即取得最小值，即16a329，a2.x1(1，0)0(
13、0，2)2f(x)0f(x)7ab极大值极大值16ab与最值有关的恒成立问题与最值有关的恒成立问题已知函数已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在在x1处取处取得极值得极值3c，其中，其中a，b，c为常数若对任意为常数若对任意x0，不等式，不等式f(x)2c2恒成立，求恒成立，求c的取值范围的取值范围 思路点拨思路点拨 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，一般地
14、，f(x)恒成立恒成立 f(x)max；f(x)恒成立恒成立 f(x)min.3已知函数已知函数f(x)x33x29xc，当，当x 2，6 时，时，f(x)2|c|恒成立，求恒成立，求c的取值范围的取值范围解析：解析：f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)随随x的变化如下表：的变化如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极大值c5极小值极小值c27而而f(2)c2，f(6)c54，当当x 2，6 时，时，f(x)的最大值为的最大值为c54，要使要使f(x)2|c|恒成立，只要恒成立，只要c542|c|即可，即可，当当c
15、0时，时，c5454；当当c0时，时，c542c，c18.c(，18)(54，)，此即为参数，此即为参数c的取值范的取值范围围求函数求函数f(x)x33x29x5，x 5，6 的最大值和的最大值和最小值最小值【错解错解】f(x)3x26x9.令令f(x)3x26x90，解得解得x1或或x3.当当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：从上表可知，函数从上表可知，函数f(x)的最大值为的最大值为10，最小值为，最小值为22.x(5，1)1(1，3)3(3，6)f(x)00f(x)1022【错因错因】错解的原因在于忽视闭区间端点的函数值将错解的原因在于忽视闭区间端
16、点的函数值将f(x)的各极值与函数端点值的各极值与函数端点值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值如果仅仅是求最值，还就是最大值，最小的一个就是最小值如果仅仅是求最值，还可将上面的办法简化，只需将所有可能为极值点的函数值与端可将上面的办法简化，只需将所有可能为极值点的函数值与端点函数值进行比较，最大的即为最大值，最小的即为最小点函数值进行比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值函数值函数f(x)在闭区间上一定存在最大值与最小值，且一定不在闭区间上一定存在最大值与最小值，且一定不要忽略端点的函数值要忽略端点的函数值【正解正解】由由f(x)的定义域为闭区间的定义域为闭区间 5，6，而，而f(5)150，f(6)59，与函数的极值比较，可知函数，与函数的极值比较，可知函数f(x)的最大的最大值为值为59，最小值为，最小值为150.高效测评高效测评 知能提升知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
