1、4 4 角平分线角平分线 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角片做的角分成两个相等的角你有什你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1（对折）（对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD，BC=DC 将点将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿AC画一条射线画一条射线AE，AE就是角平就是角平分线，你能说明它的道理吗？分线，你能说明它的道理吗？活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又
2、该怎么办呢？2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）仪或量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作法：作法：以为圆心，适当以为圆心
3、，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则则射线射线OC即为所求即为所求 1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：结论：作平角的平分线即可平分平角，作平角的平分线即可平分平角，由此也得到由此也得到过直线上一点作这条直线的垂过直线上一点作这条直线的垂线的方法线的方法活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质（1）实验）实验：将：将AOB对折，再折出一个直角三角对折，再折出一个直角
4、三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5（2 2）猜想）猜想：角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等.证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形
5、的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E 求证：求证：PD=PEPD=PE 探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动5（3）验证）验证猜想猜想（4）得）得到到角平分角平分线的性质：线的性质：活活 动动5 利 用 此 性 质利 用 此 性 质怎样书写推理过怎样书写推理过程？程？(几何语言几何语言)1=2，PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P
6、 PA AOOB BC CE EDD12OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线，的平分线，P 是是OC上任上任意一点，问意一点，问PE=PD？为？为什么？什么？CPPD，PE没有垂直没有垂直OA，OB，它，它们不是角平分线上任一点这个角们不是角平分线上任一点这个角两边的距离，所以不一定相等两边的距离，所以不一定相等 如 图：在 如 图：在 A B C 中，中，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求证：；求证：CF=EB ACDEBF 分析分析：要证：要证CF=EB，首先我们想到的是要证，首先我们想到的是要证它们所在的
7、两个三角形全等，即它们所在的两个三角形全等，即RtCDF RtEDB.现已有一个条件现已有一个条件BD=DF（斜边相等），（斜边相等），还需要我们找什么条件还需要我们找什么条件DC=DE（因为角的平分线的性质）（因为角的平分线的性质）再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线及画一条已知直线的垂线2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等 3：角平分线的性质的应用：角平分线的性质的应用BOACDPE1.如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，PD=PE PDOA，PEOB,2.如图，在如图，在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长的长EDCBA3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DEAB于于E，则：，则：(1)图中相等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？(2)哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？(3)若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长的周长 EDCBA
