1、13.1.2线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质 在在106国道某段的国道某段的同侧，有两个工厂同侧，有两个工厂A、B，为了，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？院址应选在何处？106 国国 道道ABAB知识回顾知识回顾 经过经过线段线段中点中点并且并且垂直垂直于于这条线段的直线，叫做这条线段的直线，叫做这条这条线段的线段的 1.什么是线段的垂直平分线？什么是线段的垂直平分线？探究探究 如图，直线如图，直线l 垂直平分线
2、段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3，到到点点A 与点与点B 的的距离之间的数量关系距离之间的数量关系相等相等动手做一做：动手做一做：1.在纸上任意画一条线段AB线段是轴对称图形线段是轴对称图形你发现什么了吗？你发现什么了吗？直线直线l 是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线3.在折痕上任取一点P，连接PA，PB4.度量PA、PB，你有什么新发现吗？PA=PB2.对折AB，使得A、B两点重合探究探究 如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上上的点，请猜想点的点，请猜想点P1，P2，P3，到点到
3、点A 与点与点B 的的距离之间距离之间的数量关系的数量关系相等相等你能将这个发现用文字你能将这个发现用文字语言描述出来吗？语言描述出来吗？线段线段垂直平分线上的点与这垂直平分线上的点与这条线段条线段两个端点的两个端点的距离距离相等相等思考：思考：几何画板演示：几何画板演示：线段线段垂直平分线上的点与这垂直平分线上的点与这条线段条线段两个端点的距离两个端点的距离相等相等线段线段垂直平分线的性质：垂直平分线的性质：已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC=CB，点点P 在在l 上上求证：求证：PA=PB证明：证明：lAB，PCA=PCB 又又 AC=CB，PC=PC，PCA
4、PCB（SAS）PA=PB符号语言：符号语言：CA=CB，lAB，点点P P在直线在直线l上上 PA=PB线段线段垂直平分线的性质：垂直平分线的性质：线段线段垂直平分线上的点与这垂直平分线上的点与这条线段条线段两个端点的距离两个端点的距离相等相等点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB 在在106国道某段的国道某段的同侧，有两个工厂同侧，有两个工厂A、B，为了，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？院址应选在何处？106 国国 道道
5、AB解：解：ADBC，BD=DC，AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线，AB=AC 点点C 在在AE 的垂直平分线上，的垂直平分线上，AC=CE课堂练习课堂练习 如图，如图，ADBC，BD=DC，点点C 在在AE 的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什的长度有什么关系？么关系？AB+BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB=AC=CEAB+BD=CE+CD=DE 线段线段垂直平分线上的点与这垂直平分线上的点与这条线段条线段两个端点的距离两个端点的距离相等相等线段线段垂直平分线的性质：垂直平分线的性质：点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB反过来反
6、过来，如果，如果PA=PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线上呢？上呢？思考：思考：几何画板演示：几何画板演示：探究探究 如果如果PA=PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的垂直平的垂直平分线分线上呢？上呢？已知：已知：如图，如图，PA=PB求证：求证：点点P 在线段在线段AB 的的垂直平分线上垂直平分线上证明：证明：过点过点P作作直线直线lAB，垂足垂足为为C则则PCA=PCB=90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又又 PCAB，点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的
7、垂直平分线上已知：已知：如图，如图，PA=PB求证：求证：点点P 在线段在线段AB 的的垂直平分线上垂直平分线上证明证明：取：取AB的中点的中点C，过，过P，C作直线作直线 AC=BCAC=BC 在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA=PB，PC=PC，PCA PCB（SSSSSS）PCA=PCB=90即即 PCAB，点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上逆定理：逆定理：与一条线段两个端点距离与一条线段两个端点距离相等相等的点，的点，在这条线段的在这条线段的垂直平分线垂直平分线上上点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB符号语言：符号语言：PA=PB，点点P 在线段在线段A
8、B 的垂直的垂直平分线上平分线上探究探究 你你能再找一些到线段能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗两端点的距离相等的点吗？能？能找到多少找到多少个呢？个呢？在在线段线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上上的点的点与与A，B 的距离都相等；反过来的距离都相等；反过来，与，与A，B 的距的距离相等的点都在直线离相等的点都在直线l上上，所以直线，所以直线l 可以可以看成与两点看成与两点A、B 的距离相等的所有点的的距离相等的所有点的集合集合 探究探究 想一想：如何利用想一想：如何利用直尺直尺和和圆规圆规，经过已知直线外一点作这条直线的垂线，经过已知直线外一点作这条直线的垂线呢？呢？已知：已
9、知：直线直线AB和和AB外一点外一点C.求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.12作法作法：(1)任取一点任取一点K，使使点点K与点与点C 在在直线直线AB的两旁；的两旁；(2)以点以点C为圆心，为圆心，CK长为半长为半径作弧，交径作弧，交AB于点于点D和和E；(3)分别以点分别以点D和点和点E为圆心，以大于为圆心，以大于 DE的长的长为为半径作半径作弧弧,两弧相交于点两弧相交于点F；(4)作直线作直线CF.直线直线CF就是所求作的垂线就是所求作的垂线.探究探究 想一想：如何利用想一想：如何利用直尺直尺和和圆规圆规，经过已知直，经过已知直 线外一线外一点作这条直线的垂线呢？点
10、作这条直线的垂线呢？已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C.求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.为什么直线为什么直线CF就是所求作的垂线？就是所求作的垂线？CD=CE，FD=FE，C、F都在都在DE的垂直平分线上的垂直平分线上CF垂直平分垂直平分DECFAB.思考：思考：解解:直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线的垂直平分线AB=AC，点点A 在线段在线段BC 的的垂直平分线上垂直平分线上MB=MC，点点M 在线段在线段BC 的的垂直平分线上垂直平分线上直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线 如图，如图，AB=AC，MB=MC直线直线AM
11、 是是线段线段BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？并说明理由？并说明理由.课堂练习课堂练习能力提升能力提升:如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知AC=27AC=27，线段，线段ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于点于点E E，BCEBCE的周长等于的周长等于5050，求，求BCBC的长的长.解：解：DEDE是是ABAB垂直平分线垂直平分线AE=BEAE=BEBCEBCE的周长等于的周长等于5050BE+EC+BC=50BE+EC+BC=50AE+EC+BC=50AE+EC+BC=50，即，即AC+BC=50AC+BC=50BC=50-AC=23B
12、C=50-AC=23 如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别为C、D求证：（1）OC=OD；（2）OE是线段CD的垂直平分线能力提升能力提升:OOE E是是AOBAOB的平分线的平分线,ECOAECOA，EDOBEDOBODE=OCE,DE=CEODE=OCE,DE=CE又又OE=OEOE=OERtRtODERtODERtOCEOCE（HLHL）OCOC=ODOD证明证明:(1):(1)(2)DE=CE,OCDE=CE,OC=ODOD点点E E、O O 在线段在线段CDCD 的的垂直平分线上垂直平分线上即即OEOE是线段是线段CDCD的垂直平分线的垂直平分线PA=PBP
13、A=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等小结小结 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等的距离相等.与与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上段的垂直平分线上.3 3、线段的垂直平分线的集合定义线段的垂直平分线的集合定义1 1、性质定理：性质定理：2 2、逆定理：逆定理：作业作业布置布置:数学作业本数学作业本
