1、第二章 一元函数微分学及其应用第一节第一节 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分第二节第二节 导数的应用导数的应用第一节 一元函数的导数与微分一、导数的定义一、导数的定义二、求导法则和基本求导公式二、求导法则和基本求导公式三、函数的微分三、函数的微分1.导数的定义导数的定义 引例引例一、导数的定义 M,N为曲线为曲线C上不同点，作割线上不同点，作割线MN当点当点N沿曲线沿曲线C趋于点趋于点M时，如果割线时，如果割线MN绕点绕点M旋旋转而趋于极限位置转而趋于极限位置M，直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的切线处的切线 T0 xxoxy)(xfy CNM极限位置即极限位置即.0,0
2、 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 导数的概念导数的概念,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处
3、取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy
4、 关于导数的说明：关于导数的说明：2.左、右导数左、右导数3.可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)
5、()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即4.求导举例求导举例例例2 2.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(
6、lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee oxy)(xfy T0 xM几何意义：几何意义：)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 5.导数的几何意义导数的几何意义定理定
7、理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、求导法则和基本求导公式求导法则和基本求导公式1.导数的运算法则导数的运算法则例例1 1.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22secc
8、os1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2.反函数的求导法则反函数的求导法则11()()0,(),1().()yxxyIyyxIxy如果函数在某区间 内单调、可导且那么它的反函数在对应区间内也可导 且有即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3.基本初等函数的求导法则基本初等函数的求导法则xxxxxxxCtansec)(secsec)(t
9、ancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc4.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为
10、初等函数.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?y xF.和 之间的关系以(x,y)=0的形式表现的函数称为隐函数5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数、隐函数和由参数方程确定的函数的导数 隐函数的导数隐函数的导数隐函数求导过程隐函数求导过程:.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,)
11、()(中中在方程在方程 tytx参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即6.高阶导数高阶导数.)()(,)()(lim)(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三阶导数的导数称为四阶导数三
12、阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数的概念高阶导数的概念记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf 由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例sin,yx设解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22
13、cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得求正弦函数与余弦函数的求正弦函数与余弦函数的n阶导数阶导数.高阶导数的计算高阶导数的计算三、函数的微分1.微分的定义微分的定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有
14、有定定义义设设函函数数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy(微分的实质微分的实质).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1)必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数2.可导与可微的关系可导与可微的关系(2)充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00
15、 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可微可微可导可导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数3.微分的运算法则微分的运算法则dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1)基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan
16、sin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2)微分的四则运算法则微分的四则运算法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc3)复合函数的微分法则复合函数的微分法则4.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用,0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy .)(0 xxf 00 xxxxdyy 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值0();f xxx求在点附近的近似值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(,1)0(nff xffxf)0()0()(.1nx
