1、第1节简单几何体的结构、三视图和直观图最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知 识 梳 理1.简单几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台
2、球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.3.三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图.(2)三视图的画法画三视图时，重叠的
3、线只画一条，挡住的线要画成虚线.三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图.观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置.微点提醒1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.
4、基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的A时，把x，y轴画成相交成45或135，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以A也
5、可能为135.(4)球的三视图均相同，而圆锥的主视图和左视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P6B2改编)如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是()A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案C3.(必修2P8讲解引申改编)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为()A. B. C. D.解析设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为sin 45b的平行四边形，所以.故选D.答案D4.(2019合肥
6、一中月考)如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A.圆锥 B.三棱椎C.三棱柱 D.三棱台答案C5.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.答案A6.(2018衡水月考)如图所示，图是图表示的几何体的三视图，其中图是_，图是_，图是_(写出视图名称).解析观察几何体的结构特征，不难发现其下层长为两个小
7、长方体的长，宽为两个小长方体的宽，高为两个小长方体的高.所以主视图应为，左视图为，俯视图为.答案主视图左视图俯视图考点一简单几何体的结构特征【例1】 (1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题
8、的序号是_.解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.答案(1)A(2)规律方法1.关于简单几何体的结构特征辨析关键是紧扣各
9、种简单几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】 下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则
10、截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.答案C考点二简单几何体的三视图多维探究角度1由简单几何体的直观图判断三视图【例21】 (2018黄山一模)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析截去两个三棱锥后的几何体的左视图可以看见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在左视图中为虚线，所以左视图为选项B中的图形.答案B角度2由三视图判断几何体【例22】 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱(2)(2018
11、全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.2 B.2 C.3 D.2解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS2，SN4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为2.故选B.答案(1)B(2)B规律方法1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常
12、见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据主视图或左视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】 (1)(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2019上饶模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的主视图与左视图的面积之和为()A.1 B.2C.3 D.4解析(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD
13、，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)设点P在平面A1ADD1的射影为P，在平面C1CDD1的射影为P，如图所示.三棱锥PBCD的主视图与左视图分别为PAD与PCD，因此所求面积SSPADSPCD12122.答案(1)C(2)B考点三简单几何体的直观图【例3】 已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.故选D.答案D规律方法1.画几何体的直观图一般采用斜二测
14、画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形.【训练3】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.2 B. C. D.1解析恢复后的原图形为一直角梯形，所以S(11)22.故选A.答案A思维升华1.画三视图的三个原则：(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.(2)摆放规则：左视图在主视图的右侧，俯视图在主视图的正下方.(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和
15、棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.易错防范1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.简单几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列说法中，正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的
16、所有棱长都相等解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确.故选C.答案C2.某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形.答案A3.(2019延安模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥 B.四棱锥C.四棱台 D.三棱台解析因为主视图和左视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥.故选A.答案A4.
17、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案B5.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆
18、锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.答案D6.(2018肇庆二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为()A. B. C.5 D.3解析由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥PABCD.其中PA底面ABCD，四棱锥PABCD的底面是边长为3的正方形，高PA4.连接AC，易知最长的棱为
19、PC，且PC.故选B.答案B7.某几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A. B. C. D.解析由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故正确.答案A8.(2019长沙月考)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A.8 B.4 C.4 D.4解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA平面ABC，DB平面 ABC，ABAC，PAABAC4，DB2，则易得SPACSABC8，SCPD12，S梯形ABDP12，SBCD424，故选D.答案D二、填空题9.(2018
20、龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为_.解析因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.答案210.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的主视图的面积等于_.解析由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为.答案11.(2018兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其主视图和左视图是全等的等腰三角形，则主视图的周长为_.解析由题意知，主视图就是如图所示的截面PE
21、F，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO，又PA，于是解得PO1，所以PE，故其主视图的周长为22.答案2212.(2018南昌NCS项目联考)已知圆台和正三棱锥的组合体的主视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的左视图的面积为_.解析由题意可得左视图如图所示，上面是一个三角形，其底为1，高为2，三角形的面积S12；下面是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，梯形的面积S2(24)26，所以组合体的左视图的面积SS1S26.答案能力提升题组(建议用时：15分钟)13.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的
22、块数是()A.8 B.7 C.6 D.5解析画出直观图，共六块.答案C14.(2019泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是()A.圆弧 B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分解析根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.答案D15.如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的各个面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号).解析空间四边形DOEF在正方体的面DCCD及其对面ABBA上的正投影是；在面BCCB及其对面ADDA上的正投影是；在面ABCD及其对面ABCD上的正投影.答案16.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCDABCD.故该四棱柱的体积VSh(12)11.答案
