1、第七章 随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布知识梳理知识点一n重伯努利试验及其特征1n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地_进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验2n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验_做n次(2)各次试验的结果_知识点二:二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(Xk)_，k0,1,2，n.称随机变量X服从二项分布，记作_知识点三二项分布的均值与方差二项分布的均值与方差(1)二项分布的均值:在n次独立重复试验中,若XB(n,p)，则_(2) 二项分布的方差:若离散型随机变
2、量X从二项分布，即XB(n,p),则D(X)=np(1-p).知识点四超几何分布定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为(_)其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从_超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN , 则p是N件产品的次品率，而是抽取的 n件产品的次品率,则E( Xn )=p,即_课后小练12020年第七次全国人口
3、普查摸底工作从10月11日开始，10月31日结束从11月1日开始进入普查的正式登记阶段普查员进入每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息整个登记工作持续到12月10日结束某社区对随机抽取的住户普查长表信息情况汇总，并按照住户人均年收入情况绘制出如下的频率分布直方图（假设该社区内住户人均年收人均在0到12万之间）：（1）若抽取的住户中，家庭人均年收人在万元的恰好有32户，则该社区共有住户约多少户（2）若从抽取的住户中人均年收人不高于8万元的住户中按照分层抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保健情况进行调查，用X表示抽
4、取的4户中家庭收入不少于6万元的住户数，求随机变量X的分布列与数学期望2核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X，求X的概率分布列；（2）方案二：
5、4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y，求Y的概率分布列.3某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）（1）若每个元件正常工作的概率（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；（ii）计算（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出
6、现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润4讲课中国行动（20192030年）包括15个专项行动，其中全民健身行动提出鼓励公众每周进行3次以上、每次30分钟以上中等强度运动，或者累计150分钟中等强度75分钟高强度身体活动.日常生活中要尽量多动，达到每天6千步10千步的身体活动量.某高校从该校教职工中随机抽取了若干名，统计他们的人均步行数（均在2千步14千步之间），得到的数据如下表：日均步行数/千步人数1224249频率0.08
7、0.160.40.160.06（1）求，的值；（2）“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不低于千步的教职工进行奖励，为了使全校30%的教职工得到奖励，试估计的值；（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机收取3人，设这3人中日均步行数不低于10千步的人数为，求的分布列和数学期望.5为了解企业职工对工会工作满意度情况之间的关系，某企业工会按性别采用分层抽样的方法，从全体企业职工中抽取容量为200的样本进行调查被抽中的职工分别对工会工作进行评分，满分为100分，调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分随后，企业工会将
8、男、女职工的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男职工评分结果的频数分布表分数区间频数33163820为了便于研究，工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：分数满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意（1）求m的值；（2）为进一步改善工会工作，让职工满意，从评分在的男职工中随机抽取2人进行座谈，记这2人中对工会工作满意度“一般”的人数为X，求X的分布列与数学期望；（3）以调查结果的频率估计概率，从该企业所有职工中随机抽取一名职工，求其对工会工作“比较满意”的概率6在新的高考改革形式下，全国某些省市年入学的高一学生都进行了选科
9、，为了解学生的选科情况，某中学对已经选了(语文、数学、外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有种组合：化学+生物，生物+地理，化学+地理，生物+政治，化学+政治，政治+地理.假设学生选择每种组合是等可能的.（1）每名学生若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记分，若文理皆有(其余种组合)记分，且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲、乙、丙名学生，记总得分为，求的分布列及数学期望；（2）如图所示的条形图显示了该校名学生另外两门学科选择情况的统计结果.教学班要求每班人数不低于人，且不超过人，若低于人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两
10、门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，也不出现含个组合的混合班，试通过条形图，以频率估计概率，预测全校名学生的组班情况，请给出一个较合理的编班方案，指明最少需要组成几个混合班，是什么样的组合.参考答案1（1）1600户；（2）分布列见解析；期望为【详解】解：（1）依题意，由频率分布直方图可知，所以，所以抽取的住户中，家庭人均年收入在万元的比重恰好为，又恰好为32户，所有住户共计约为160户，进而可得该社区共有住户约1600户（2）依题意，在家庭人均年收入不高于8万元的住户中分层抽样抽取10户，可知10户中，收入在是1户，是2户，是3户，是4户，其中不少于6万的占4户，再从这10
11、户中随机抽取4户对其住房和医疗保健情况进行调查，所有X的可能值为0，1，2，3，4所以，；，故随机变量X的分布列为：X01234P所以2（1）答案见解析；（2）答案见解析.【详解】（1）方案一例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，所以，所以X的分布列为01234（2）方案二：4例平均分成两组化验，每一组两个样本检测，若呈阴性，则检验次数为1，概率为若呈阳性，则检验次数为3，概率为所以的分布列为2463（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析【详解】（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工
12、作的概率均为，所以，所以，所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为0123控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；（ii）由题意知：；（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量0设备运行概率所以升级改造后单位时间内产量的期望为；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为，即；因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为；所以，即，所以当时，
13、单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当时，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润4（1），；（2）；（3）分布列见解析，.【详解】（1）由题意得：，解得：；则，解得：.（2）日均步行数在内的频率为：，日均步行数在内的频率为，则，解得：.当时，全校的教职工能够得到奖励.（3）由题意知：该校得到奖励的教职工在全校教职工中所占的比例为，日均步行数不低于千步的教职工在得到奖励的教职工所占的比例为，的分布列为：数学期望.5（1）；（2）分布列见解析，1；（3）.【详解】
14、解：（1）因为，所以（2）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2则，所以随机变量X的分布列为X012P故X的数学期望（3）设事件随机抽取一名职工，对工会工作服务“比较满意”因为样本人数200人，其中男职工共有80人，所以样本中女职工共有120人由频率分布直方图可知，女职工对工会工作服务“比较满意”的人数共有：人由频数分布表，可知男职工对工会工作“比较满意”的共有16人，所以随机抽取一名职工，对工会工作“比较满意”的概率为6（1）分布列见解析，；（2）答案见解析.【详解】（1）选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)的概率为， 即记分的概率为，因而记分的概率为，易知的可能取值为、，且，
15、 的分布列为：； （2）分情况进行讨论：组合：人中选择的有人，其频率为，预测全校名学生选择的人数为，独立成一个班，剩下人，组合：人中选择的有人，其频率为，预测全校名学生选择的人数为，独立成八个50人的班，剩下人，组合：人中选择的有人，其频率为，预测全校名学生选择的人数为，独立成十个班，组合：人中选择的有人，其频率为，预测全校名学生选择的人数为，独立成二个班，至少剩下人，组合：人中选择的有人，其频率为，预测全校名学生选择的人数为，独立成一个班，至少剩下人，组合：人中选择的有人，其频率为，预测全校名学生选择的人数为，独立成一个班， 化学+生物化学+政治生物+地理生物+政治人人人人减小混合班个数，把中独立班的人数调整为47到49人，剩下的学生组合成一个混合班，把剩下的学生组合成一个混合班(组成的独立成八个班中每班减少人).
