1、第七章 随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征知识梳理知识点一离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值的概念一般地，若 X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpnipi为随机变量X的均值离散型随机变量的均值的性质若YaXb，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aXb)aE(X)b.证明如下：如果YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量因此P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以Y的分布列为Yax1bax2baxibaxnbPp1p2pipn于是有E(Y)(ax1b)p1(ax2b
2、)p2(axib)pi(axnb)pna(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b，即E(aXb)aE(X)b.离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系均值是随机变量可能取值关于_概率的加权平均数，它综合随机变量的取值和取值的概率，反映随机变量取值的_水平若YaXb，其中a，b是_(X是随机变量)，则Y也是_变量，且有E(aXb)aE(X)b.如下：如果YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量因此P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以Y的分布列为Yax1bax2baxibaxnbPp1p2pipn于是E(Y)(ax1b)p1(ax
3、2b)p2(axib)pi(axnb)pna(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b，即E(aXb)aE(X)b.(1)区别：随机变量的_是一个常数，不依赖于样本的抽取，样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的_而_(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的_，样本平均值越来越接近于_的均值知识点二离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如表所示Xx1x2xnPp1p2pn我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2，(xnE(X)2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度我们称
4、D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为(X)离散型随机变量方差的性质1设a，b为常数，则_2D(c)0(其中c为常数)课后小练1某大学为了解学生对两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的生中随机抽取了人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为分，得到的相应数据整理如下表：分数图书频数图书频数学生对图书的“评价指数”如下表：分数评价指数3（1）从两本图书都阅读过的学生中任选人，试估计其对图书“评价指数”为的概率；（2）从对图书“评价指数”为的学生中任选人进一步访谈，
5、设为人中评分在内的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（3）试估计学生更喜好哪一本图书，并简述理由.2三阶魔方为的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱然后在最短的时间内复原.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据：（天）1234567（秒）99994532302421现用，作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒（精确到1秒）；（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次
6、，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望.参考数据（其中）.参考公式：184.50.370.55对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.32020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A
7、点的命中率为，在B点的命中率为，且他们每次套圈互不影响.（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望；（3）在（2）的条件下，若，求的取值范围4某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间，内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率（1）求频率分布直方图中的值，规定评分不低于80分为非常满意，6080分为基本满意，低于60分为
8、不满意，记游客非常满意的概率为市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为，且这次调查得分恰为分的概率为，求；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组若从该小组中抽取2人进行咨询记2人中非常满意人数为，求的分布列和数学期望5某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200
9、元小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123空调台数20303020用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；（2）请问小李选择哪种质保方案更合算6某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天
10、晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.72020年，新冠病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研究工作某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压）是否与更容易感染新冠病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如下表：感染新冠病毒未感染新冠病毒合计
11、不患有重大基础疾病15患有重大基础疾病25合计30（1）请填写列联表，并判断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染新冠病毒；（2）在抽样调查过程中，发现某样本小组5人中有1人感染新冠病毒，需要通过化验血液来确定感染者，血液化验结果呈阳性即为感染者，呈阴性即未感染下面是两种化验方法：方法一：逐一检验，直到检出感染者为止；方法二：先取3人血液样本，混合在一起检验，如呈阳性则逐一检验，直到检出感染者为止；如呈阴性，则检验剩余2人中任意1人的血液样本求方法一的化验次数大于方法二的化验次数的概率；用X表示方法二中化验的次数，求X的数学期望0.0500.0100.0013.8416.63510.
12、828附：，其中参考答案1（1）；（2）分布列见解析，；（3）图书，理由见解析.【详解】（1）由频数分布表可知：对图书评分的学生中，“评价指数”为的学生所占的频率为，从两本图书都阅读过的学生中任选人，估计其对图书“评价指数”为的概率为. （2）由题意得：的所有可能取值为，则，的分布列为：的数学期望为.（3）设学生对图书的“评价指数”为，对图书的“评价指数”为从阅读过两本图书的学生中任取一位，估计的分布列为：所以；估计的分布列为：；，学生更喜好图书.2（1），13秒；（2）分布列见解析，.【详解】（1）由题意可知：，所以，因此关于的回归方程为，所以最终每天魔方还原的平均速度约为13秒.（2）由题
13、意可知：的可能取值为3，4，6，9，所以的分布列为3469所以数学期望为.3（1）；（2）分布列答案见解析，；（3）.【详解】解：（1）设“甲至少命中2次”为事件，则，故甲至少命中2次的概率为.（2）由题意知，的分布列为0235的分布列为0235（3），即的取值范围是4（1）；（2）分布列见解析；期望为【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，解得，游客满意的概率，由题意可知调查的人数为2人或3人或4人，若调查的人数为2人，则，若调查的人数为3人，则，若调查的人数为4人，则（2）由（1）可得非常满意有50.42人，故的所有可能取值为0，1，2，所以的分布列为：012数学期望5（1）；（2）方案二
14、【详解】（1）由题意，根据100台这种空调质保期内两年内维修次数的统计表，可得两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为：（2）方案一的维修费用期望为：元，维修总费用为：元，方案二的维修费用期望为：元维修总费用为：元，故方案二更合算6（1）；（2）.【详解】（1）依题意.所以该社区能举行4场音乐会的概率为:.（2）的可能取值为，所以的分布列为：3.7（1）填表见解析；有；（2）；（次）【详解】解：（1）列联表完成如下图感染新冠病毒未感染新冠病毒合计不患有重大基础疾病101525患有重大基础疾病20525合计302050所以有99%的把握认为患重大基础疾病更容易感染新冠病毒（2）记表示依方法一需化验i次，表示依方法二需化验j次，A表示方法一的化验次数大于方法二的化验次数，依题意知与相互独立，由于所以即的可能取值为2，3，所以（次）
