1、一元函数的导数及其应用复习讲义(含答案)【基础知识】一.导数定义：在点处的导数记作二.导数的几何意义函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。注意两种情况：1.曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：2.曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。三.常见函数的导数公式: ； 。四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：（1） (2) （3）（4）五.导数的应用： 1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，该区间内为增函数； 该区间内
2、为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。在该区间内单调递增在该区间内恒成立；在该区间内单调递减在该区间内恒成立；2.利用导数求极值：（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别提醒：是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点
3、的必要而不充分条件。给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数在上的最大值与最小值的步骤：求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。六.常考题型5.1导数的概念及其意义题型一：导数（导函数）的理解【例】已知：。计算：的值。解：根据导数的定义
4、得到：。变式【变式1】设在处可导，则（ ）A B C D【变式2】函数在处的导数可表示为，即（ ）ABCD题型二：导数定义中的极限的简单计算【例】已知函数在处的导数为1，则（ ）A0BC1D2【详解】因为函数在处的导数为1，则.故选：B.【变式1】若，则（ ）A4 B4 C1D1【详解】因为，所以故选：C题型三：利用导数几何意义求切线方程【例】在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标（1）在点P处曲线E的切线平行于直线；（2）在点P处曲线E的切线的倾斜角是135解：（1）设为所求的点因为切线与直线平行，所以，解得，所以，即（2）因为切线的倾斜角是135，所以其斜率为，即，解得所以，即【变式1】
5、已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）ABC或D或5.2导数的运算题型一：利用导数公式和运算法则求函数的导数1求下列函数的导数；（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）题型二：复合函数与导数的运算法则的综合应用1求下列函数的导数：（1） （2） （3）（4） （5） （6）2求下列函数的导数（1） （2） （3）；题型三：与切线有关的综合问题（切点、某点）【例】已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数过点的切线方程.【分析】（1）求导，求出切线斜率即可（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程解：（1
6、）由已知，则，故切线方程为，即（2）设切点为，则切线方程为， 代入点可得，解得或又，故切线方程为或即切线方程为或【变式1】曲线在点处的切线方程为 。【变式2】曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D.【变式3】已知函数,求曲线在点处的切线方程 【变式4】曲线在点处的切线方程为 。【变式5】曲线在点处的切线方程为 。【变式6】曲线在点处的切线方程为 。【变式7】直线与曲线相切于点，则的值为（ ）A2B1C1D2【变式8】直线是曲线的一条切线,则实数的值为_5.3.1函数的单调性题型一：利用导数求函数的单调性（不含参）【例】设函数,求的单调性。解：第一步：定义域。第二步：计算导函数的解析
7、式。决定导函数正负的部分为一次函数：。第三步：令导函数大于等于零。令。正负【变式1】函数的单调递减区间为( )（A） （B） （C） （D）【变式2】函数在上的单调减区间为（ ）ABCD【变式3】设函数的图像与直线相切于点。（1）求的值；（2）讨论函数的单调性。题型二：由函数的单调性求参数【例】若在上是减函数，则的取值范围是（ ）ABCD【详解】由题知，.若在上是减函数，则在上恒成立，由得，当时，所以.故选：C.【变式1】若在区间1,1上单调递增，求的取值范围 .【变式2】已知在R上是增加的，则的取值范围是（ ）ABC或D或题型三：由函数在区间的单调性求参数【例】若函数在区间内存在单调递增区间
8、，则实数的取值范围是（ ）ABCD【详解】若在区间内存在单调递增区间，则有解，故 令 在递增 , 故 故选：D【变式1】已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）ABCD题型四：含参分类讨论函数的单调性【例】已知函数（）。（2）求函数的单调性。解：第一步：计算定义域。第二步：计算导函数解析式。决定导函数正负的部分为一次函数：。第三步：令导函数大于等于零。令。分类讨论：（1）当时：当时：，单调递增。（2） 当时：负正5.3.2.1函数的极值题型一：求函数的极值【例】求函数的极值解:由题意，令，得或(舍去)，当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增，从而函数有极小值，无极大值【变式1】已知
9、函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.（1）求常数a，b，c的值；（2）判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.题型二：由极值求参数【例】已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）A B C D【详解】，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，即，解得或实数的取值范围是，故选:B【变式1】函数在处有极值10，则a，b的值为（ ）A，或，B，或，C，D，题型三：由极值点求参数的值或取值范围【例】函数在内存在极值点，则（ ）ABC或D或【详解】，令，由于，所以，在上递减，当时，；当时，.由于函数在内存在极值
10、点，所以.故选：B【变式1】若，且函数在处取得极值，则的最大值为（ ）A9B6C3D2题型四：导数（导函数）与极值或极值点的关系【例】函数f(x)的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（ ）A在(1，2)上函数f(x)为增函数B在(3，4)上函数f(x)为减函数C在(1，3)上函数f(x)有极大值Dx3是函数f(x)在区间1，5上的极小值点【详解】根据导函数图象知，x(1，2)时，0，x(2，4)时，0.f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x2是f(x)在1，5上的极大值点，x4是极小值点.所以D选项结论错误，ABC选项结论正确.故选：D
11、【变式1】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ）A1个B2个C3个D4个5.3.3函数的最值题型一：函数的最值与极值的关系【例】已知函数（1）当时，求函数的极大值与极小值（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值【解析】（1）当时，所以令，则或当和时，当时，则在和上单调递增，在上单调递减所以的极大值为；的极小值为（2）由题,由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值即为的极小值因为,所以因为，则，所以【变式1】函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）A是函数的极值点B是函数的最
12、小值点C在区间上单调递增D在处切线的斜率大于零【变式2】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【变式3】函数的导函数的图象如图所示，则（ ）A是函数的极大值点B在区间上单调递增C是函数的最小值点D在处切线的斜率小于零题型二：不含参函数的最值问题【例】已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）ABCD【详解】，由得或，故函数在上单调递增；由得，故函数在上单调递减，故函数的最大值为故又，故当时，函数取得最小值为-37故选：D.变式【变式1】函数在上的最大值为（ ）ABCD【变式2】函数在
13、上的最小值为（ ）ABCD题型三：含参函数的最值问题【例】若，对任意的都有，则的取值范围为（ ）ABCD【详解】由得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以，依题意可得，解得.故选：C.【变式1】 已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.一元函数的导数及其应用复习讲义教师版【基础知识】一.导数定义：在点处的导数记作二.导数的几何意义函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。注意两种情况：1.曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：2.曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方
14、程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。三.常见函数的导数公式: ； 。四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：（1） (2) （3）（4）五.导数的应用： 1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，该区间内为增函数； 该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。在该区间内单调递增在该区间内恒成立；在该区间内单调递减在该区间内恒成立；2.利用导数求极值：（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作。极大
15、值和极小值统称为极值。（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别提醒：是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”
16、。（2）求函数在上的最大值与最小值的步骤：求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。六.常考题型5.1导数的概念及其意义题型一：导数（导函数）的理解【例】已知：。计算：的值。解：根据导数的定义得到：。变式【变式1】设在处可导，则（ ）A B C D【变式2】函数在处的导数可表示为，即（ ）ABCD题型二：导数定义中的极限的简单计算【例】已知函数在处的导数为1，则（ ）A0BC1D2【详解】因为函数在处的导数为1，则.故选：B.【变式1】若，则（ ）A4 B4 C1D1【详解】因为，所以故选：C题型三：利用导数几何意义求切线方程【例】
17、在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标（1）在点P处曲线E的切线平行于直线；（2）在点P处曲线E的切线的倾斜角是135解：（1）设为所求的点因为切线与直线平行，所以，解得，所以，即（2）因为切线的倾斜角是135，所以其斜率为，即，解得所以，即【变式1】已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）ABC或D或5.2导数的运算题型一：利用导数公式和运算法则求函数的导数1求下列函数的导数；（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）题型二：复合函数与导数的运算法则的综合应用1求下列函数的导数：（1） （2） （3）（4） （5） （6）2求下列函数的导数
18、（1） （2） （3）；题型三：与切线有关的综合问题（切点、某点）【例】已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数过点的切线方程.【分析】（1）求导，求出切线斜率即可（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程解：（1）由已知，则，故切线方程为，即（2）设切点为，则切线方程为， 代入点可得，解得或又，故切线方程为或即切线方程为或【变式1】曲线在点处的切线方程为 。【变式2】曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D.【变式3】已知函数,求曲线在点处的切线方程 【变式4】曲线在点处的切线方程为 。【变式5】曲线在点处的切线方程为 。【变式6】曲线在点处
19、的切线方程为 。【变式7】直线与曲线相切于点，则的值为（ ）A2B1C1D2【变式8】直线是曲线的一条切线,则实数的值为_5.3.1函数的单调性题型一：利用导数求函数的单调性（不含参）【例】设函数,求的单调性。解：第一步：定义域。第二步：计算导函数的解析式。决定导函数正负的部分为一次函数：。第三步：令导函数大于等于零。令。正负【变式1】函数的单调递减区间为( )（A） （B） （C） （D）【变式2】函数在上的单调减区间为（ ）ABCD【变式3】设函数的图像与直线相切于点。（1）求的值；（2）讨论函数的单调性。题型二：由函数的单调性求参数【例】若在上是减函数，则的取值范围是（ ）ABCD【详解
20、】由题知，.若在上是减函数，则在上恒成立，由得，当时，所以.故选：C.【变式1】若在区间1,1上单调递增，求的取值范围 .【变式2】已知在R上是增加的，则的取值范围是（ ）ABC或D或题型三：由函数在区间的单调性求参数【例】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）ABCD【详解】若在区间内存在单调递增区间，则有解，故 令 在递增 , 故 故选：D【变式1】已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）ABCD题型四：含参分类讨论函数的单调性【例】已知函数（）。（2）求函数的单调性。解：第一步：计算定义域。第二步：计算导函数解析式。决定导函数正负的部分为一次函数：。第三步：令导
21、函数大于等于零。令。分类讨论：（1）当时：当时：，单调递增。（3） 当时：负正5.3.2.1函数的极值题型一：求函数的极值【例】求函数的极值解:由题意，令，得或(舍去)，当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增，从而函数有极小值，无极大值【变式1】已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.（1）求常数a，b，c的值；（2）判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.题型二：由极值求参数【例】已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）A B C D【详解】，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，即，解得或
22、实数的取值范围是，故选:B【变式1】函数在处有极值10，则a，b的值为（ ）A，或，B，或，C，D，题型三：由极值点求参数的值或取值范围【例】函数在内存在极值点，则（ ）ABC或D或【详解】，令，由于，所以，在上递减，当时，；当时，.由于函数在内存在极值点，所以.故选：B【变式1】若，且函数在处取得极值，则的最大值为（ ）A9B6C3D2题型四：导数（导函数）与极值或极值点的关系【例】函数f(x)的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（ ）A在(1，2)上函数f(x)为增函数B在(3，4)上函数f(x)为减函数C在(1，3)上函数f(x)有极大值Dx3是函数f(x)在区
23、间1，5上的极小值点【详解】根据导函数图象知，x(1，2)时，0，x(2，4)时，0.f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x2是f(x)在1，5上的极大值点，x4是极小值点.所以D选项结论错误，ABC选项结论正确.故选：D【变式1】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ）A1个B2个C3个D4个5.3.3函数的最值题型一：函数的最值与极值的关系【例】已知函数（1）当时，求函数的极大值与极小值（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值【解析】（1）当时，所以令，则或当和
24、时，当时，则在和上单调递增，在上单调递减所以的极大值为；的极小值为（2）由题,由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值即为的极小值因为,所以因为，则，所以【变式1】函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）A是函数的极值点B是函数的最小值点C在区间上单调递增D在处切线的斜率大于零【变式2】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【变式3】函数的导函数的图象如图所示，则（ ）A是函数的极大值点B在区间上单调递增C是函数的最小值点D在处切线的斜率小于零题型二：不含参函数的最值问题【例】已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）ABCD【详解】，由得或，故函数在上单调递增；由得，故函数在上单调递减，故函数的最大值为故又，故当时，函数取得最小值为-37故选：D.变式【变式1】函数在上的最大值为（ ）ABCD【变式2】函数在上的最小值为（ ）ABCD题型三：含参函数的最值问题【例】若，对任意的都有，则的取值范围为（ ）ABCD【详解】由得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以，依题意可得，解得.故选：C.【变式1】 已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.
