1、1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3【知识拓展】1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、
2、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那
3、么这个圆柱的侧面积是2S.()1(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cm D. cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2 cm.2(2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34答案D解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S212212222434.3(2016全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A12 B.C8 D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的
4、表面积为4R2(2R)212，故选A.4九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为()A1丈3尺 B5丈4尺C9丈2尺 D48丈6尺答案B解析设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为Vr2h2 0001.623r213.33，所以r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为2r54,54尺5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.5.如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥PACC1A1的体积为_答案解析设点P到平面ABC，平面A1B1C1
5、的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为hh1h2，又记SSABC，则三棱柱的体积为VSh1.而从三棱柱中去掉四棱锥PACC1A1的剩余体积为VVPABCSh1Sh2S(h1h2)，从而VV1.题型一求空间几何体的表面积例1(1)(2017淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D18(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案(1)A(2)12解析(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6(4)2()221.故选A.(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，
6、得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2016大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_答案26解析该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为SS长方体表2S半圆柱底S圆柱轴截面S半圆柱侧24121224212212126.题型二求
7、空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例2(2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D1答案C解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，V1113，故选C.命题点2求简单几何体的体积例3(2016江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积为_m3.答案312解析由PO12 m，知O1O4PO1
8、8 m因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解(1)(2016四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该
9、三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_(2)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B. C1 D.答案(1)(2)C解析(1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h1，则体积VSh(21)1.(2)在正ABC中，D为BC的中点，则有ADAB，2.又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高AD1.题型三与球有关的切、接问题例4已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点
10、都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.引申探究1已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体的
11、表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA
12、a，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.答案A解析如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，该球的表面积为4r24()2.15巧用补形法解决立体几何问题典例(2016青岛模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_思想方法指导解答本题时可用“补形法”完成“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成
13、一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.答案961(2016合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124 B188C28 D208答案D解析由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为22242242208，故选D.2(2016大同模拟)一个几何
14、体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()A. B. C. D(4)答案B解析由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为.则V.故选B.3(2015山东)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D2答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，
15、ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.4(2015安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B2C12 D2答案B解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，该四面体的表面积为S表2212()22，故选B.5(2016湖北优质高中联考)甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1，V2，则V1V2等于()A14B13C23D1答案B解析由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V1，V22234，所以V1V213.
16、故选B.6(2015课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛 C36斛 D66斛答案B解析由题意知米堆的底面半径为尺，体积VR2h(立方尺)所以堆放的米大约为22(斛)7(2016北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_答案解析由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S，高h1
17、，所以四棱柱体积VSh1.8(2016新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足ABCD，ACADBCBD2，则四面体ABCD的外接球的表面积是_答案7解析(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.ACADBCBD2，AECD，BECD.在RtAED中，CD，AE.同理BE.取AB的中点为F，连接EF.由AEBE，得EFAB.在RtEFA中，AFAB，AE，EF1.取EF的中点为O，连接OA，则OF.在RtOFA中，OA.OAOBOCOD，该四面体的外接球的半径是，外接球的表面积是7.9. (2016三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A
18、，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.则三棱锥PABC体积的最大值为_答案解析VPABCPOSABC，当ABC的面积最大时，三棱锥PABC体积达到最大值当COAB时，ABC的面积最大，最大值为211，此时VPABCPOSABC.10(2016武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案3解析方法一由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V1243.方法二由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1
19、，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V1263.11(2016全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E
20、，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体N-BCM的体积VN-BCMSBCM.*12.(2016湖北七校联考)如图所示，在空间几何体ADEBCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD平面CDEF，ADDC，ABADDE2，EF4，M是线段AE上的动点(1)试确定点M 的位置，使AC平面MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF将几何体ADEBCF分成两部分，求空间几何体MDEF与空间几何体ADMBCF的体积之比解(1)当M是线段AE的中点时，AC平面MDF.理由如下：连接CE交DF于点N，连接MN.因为M，N分别是AE，CE的中点，所以MNAC.又因为MN平面MDF，AC平面MDF，所以AC平面MDF.(2)将几何体ADEBCF补成三棱柱ADEBCF，如图所示，三棱柱ADEBCF的体积为VSADECD2248，则几何体ADEBCF的体积VADEBCFVADEBCFVFBBC82.因为三棱锥MDEF的体积VMDEF1，所以VADMBCF，所以两几何体的体积之比为14.
