1、第五章 三角函数 尖子生必刷卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）ABCD2已知函数，现给出如下结论：是奇函数；是周期函数；在区间上有三个零点；的最大值为.其中所有正确结论的编号为（ ）ABCD3已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）ABCD4在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）ABCD5已知，且，则（ ）ABCD6若不等式对x恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ）ABCD7已知函数的图象关于点及直线
2、对称，且在不存在最值，则的值为（ ）ABCD8已知，若在区间上单调时，的取值集合为，对不等式恒成立时，的取值集合为，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A点是的对称中心B直线是的对称轴C在区间上单调减D的图象向右平移个单位得的图象10如图，已知函数（其中，）的图象与轴交于点，与轴交于点，.则下列说法正确的有（ ）A的最小正周期为12BC的最大值为D在区间上单调递增11已知函数（其中，），恒成立，且在区间上单调，则下列说法
3、正确的是（ ）A存在，使得是偶函数BC是奇数D的最大值为312已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合其中是“互垂点集”集合的为（ ）ABCD三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是_14已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_15已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_.16已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则_.四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17已知函数，(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个
4、单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围18已知函数（1）当时，求函数的最大值与最小值；（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数19已知函数在内取得一个最大值和一个最小值,且当时,有最大值3,当时,有最小值(1)求函数的解析式;(2)是否存在实数m满足若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由20函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，.（1）求函数的解析式.（2）求函数的单调递增区间.（3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值）；若不存在，请说明理由.21设函数为偶函数.（1） 求的值；（2）若的最小值为，求的最大
5、值及此时的取值；（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.22已知函数.（1）证明函数在上为减函数；（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.参考答案1A【解析】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，当，则，求得；当，方程在区间上有1个根，不满足题意；当，求得；当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，当，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意综上，可得，故
6、选：A2A【解析】对于中，函数的定义域为关于原点对称，由，所以是奇函数，所以正确.对于中，假设存在周期，则，所以 ，存在，使得，而，由于，故，所以所以，可得，所以，矛盾，所以函数，没有周期，所以错误.对于中，函数，函数的零点为方程，可得或，即，所以在区间上有三个零点，故正确.对于中，函数，若，则，若，则，所以，和，两者不会同时成立，即和不可能同时成立，故的最大值不是，所以错误；则四个命题中正确的为；故选：A.3D【解析】令，解得，而函数在区间上单调递增，所以，解得，当时，因为在区间上有且仅有一个解，所以，解得.综上所述，的取值范围是.故选：D.4A【解析】由，可得，因为，得，即，又由（定值），
7、即，即恒成立，可得，解得，.故选：A5A【解析】且，.又，.当时，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.6D【解析】由，则，当或时，即或时，当时，即时，所以当或时，当时，设函数，则在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故选：D.7C【解析】函数的图象关于点及直线对称.则.在不存在最值，则，故时满足条件，.，则.当时满足条件，故.故选：.8A【解析】，可知函数周期，由题可知函数在区间上单调，故该区间长度需小于等于半个周期，及，对于不等式，；设，；不等式等价于恒成立，及，对于，及集合，“”是“”的充分非必要条件，故选：A
8、9CD【解析】由图知：且，则，可得，又过，得，又，当时，.综上，.A：代入得：，故错误；B：代入得：，故错误；C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；D：，故正确；故选：CD10ACD【解析】由题意可得：，把代入上式可得：，.解得，可得周期，解得.可知：不对，解得，函数，可知正确. 时，可得：函数在单调递增.综上可得：ACD正确.故选：ACD11BCD【解析】，则，故，则，故，当时，在区间上单调，故，故，即，故，故，综上所述：或，故CD正确；或，故或，不可能为偶函数，A错误；当时，故；当时，故，综上所述：，B正确；故选：BCD.12BD【解析】由题意，对于，使得成立即对于任意点，在中存在
9、另一个点，使得中，当点坐标为时，不存在对应的点所以所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，在中存在另一个点，使得所以是“互垂点集”集合，中，当点坐标为时，不存在对应的点所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：BD13【解析】解：，其中，因为函数对任意，都有，所以的最大值为，所以，即，所以，所以，因为，所以，若在，上的值域为，所以结合正弦函数的性质可知，解得，即实数的取值范围是，故答案为：，14【解析】由，可得，解得，因为在区间内没有零点，所以，且，即且，因为，分别
10、取，1,2,3，的取值范围是，故答案为：15或【解析】解: 令.则由可得 则.要使其既有最小值又有最大值若最大值为 则,解得 若最大值为,则,解得.综上所述: 或.故答案为: 或.16【解析】对任意实数,都有令则因为是定义域为的单调函数所当时,函数值唯一,即代入可得,即化简可得,经检验可知为方程的解而为单调递减函数,为单调递增函数所以两个函数只有一个交点,即只有一个根为所以而所以故答案为: 17(1)5/6 ；(2)（2,32/2）【解析】(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数，因为，所以，因为，所以，又因为得到的图象在上单调递增，所以，解，所以的最大值为.(2
11、) ，令，因为，所以，所以，令，显然不是其方程的解，所以得，画出函数和函数的图象，如下图，则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意；当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意；当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意；当时，对应的，而此时对应的只有两个解，不满足题意；当时，令，得或 ，此时对应的，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意；当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意；故的取值范围为.18（1）；（2）【解析】（1）当时，当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ；（2）的图像的对称轴为 ，要使在区间上单调，那么，或
12、，即或，又，所以.19（1）；（2）.【解析】(1)由题意可知:,则,因为点在此函数图象上,;(2),而在上是增函数,且且,解得: 的取值范围是,解得: 的取值范围是20（1）；（2）.（3）存在，【解析】（1）由题意，可得，所以，所以，所以.由点在函数图象上，得，因为，所以，所以.（2）当时，即时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为.（3）由题意，实数满足，解得.因为，所以，同理，由（2）知函数在上单调递增，若，只需，即成立即可，所以存在，使成立.21（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）【解析】（1）因为， 是偶函数，所以 对一切恒成立，所以.（2）由（1）知 ， 因为其最小值
13、为，所以 ，所以， 当时，取得最大值， 此时；（3）由（2）知：，因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,所以，所以，所以，则，即，又因为， 所以，当时， ，在处取得最大值，不符合题意；当时， 在取不到最小值，不符合题意；当时， ， 在处取得最小值，的图象关于点中心对称，所以的最小值为.22（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.【解析】（1）， 又，因为，故，故即，所以函数在上为减函数. （2）的满足的不等关系有：即，故，解得，故函数的定义域为，该定义域关于原点对称.令又，故为奇函数.（3）令，因为，故.故在上不等式能成立即为存在，使得，所以在上能成立，令，则且，由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，所以a的取值范围为.
