1、4.3.1 对数的概念对数的概念 背景背景知识知识1：在：在16世纪，随着世纪，随着哥白尼哥白尼“日心日心说说”的盛行，天文学也蓬勃发展的盛行，天文学也蓬勃发展.欧洲人渐渐热欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识，需要对庞大的需要更准确的天文知识，需要对庞大的“天天文数据文数据”进行快速和准确的计算进行快速和准确的计算.但那时候还但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法提没有计算机，人们迫切需要找到一种方法提高运算效率高运算效率.那该怎么办呢？那该怎么办呢？实例引入实例引入1544年，德国数学家斯蒂菲尔研究了下面的两行
2、数：年，德国数学家斯蒂菲尔研究了下面的两行数：背景背景知识知识2：苏格兰数学家苏格兰数学家纳皮尔纳皮尔就花了就花了20多年的时多年的时间编制出这样的表格，不过他选取的底数不是间编制出这样的表格，不过他选取的底数不是2，而，而是一个较复杂的数是一个较复杂的数.后来英国数学家后来英国数学家布里格斯布里格斯专程拜访了纳皮尔，建议专程拜访了纳皮尔，建议将底数改为将底数改为10，符合人们使用十进制的习惯，符合人们使用十进制的习惯.于是，他于是，他花了大量时间和精力，终于在花了大量时间和精力，终于在1624年编制了以年编制了以10为底为底的表格，以供人们计算较大的数据的表格，以供人们计算较大的数据.恩格斯
3、把恩格斯把对数的发明对数的发明与与解析几何的创始解析几何的创始、微积分的微积分的建立建立并称为并称为17世纪数学的三大成就世纪数学的三大成就 截止到截止到1999年底，我国人口约年底，我国人口约13亿如果今后能将人口年平均增亿如果今后能将人口年平均增长率控制在长率控制在1，那么经过多少年后，我国人口将达到，那么经过多少年后，我国人口将达到18亿？亿？20亿？亿？30亿？亿？实例引入实例引入分析：分析：根据题意，经过根据题意，经过x年后，我国人口数年后，我国人口数y为：为：要解决这个问题实际上就是求当要解决这个问题实际上就是求当 y=18，y=20，y=30时，时，相对应的相对应的x值是多少值是
4、多少 就是从就是从 分别求出分别求出x即即已知已知底数底数和和幂幂的值求的值求指数指数这就是要学习的这就是要学习的对数对数问题问题xxx01.11330,01.11320,01.11318 ).(01.113%)11(13亿亿xxy logarithm形成概念形成概念问题：问题：如何将如何将ax=N中的中的x准确表示出来呢？准确表示出来呢？(1)已知已知a+x=N，求，求x x=N-a(2)已知已知ax=N(a0)，求，求x x=Na(3)已知已知xn=N，求，求x (4)已知已知ax=N，求，求x？引入减法引入减法引入除法引入除法nNx 引入什么引入什么引入开方引入开方对数的概念对数的概念形
5、成概念形成概念 一般地，如果一般地，如果 ax=N(a0,且且a1)，那么数，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数，的对数，记作：记作：x=logaN(a0,且且a1,N0),其中其中a叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数.xNNaax log底数底数真数真数指数指数幂幂底数底数对数对数形成概念形成概念常用对数：常用对数：我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做常用函数为底的对数叫做常用函数.为了简便，为了简便，N的常用对数的常用对数log10N简记作简记作lgN.例如：例如：log105，简记作，简记作lg5；log103.5，简记作简记作lg3.5自然对数：自然对数：在科学
6、技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫自然对数为底的对数叫自然对数.为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数logeN简记作简记作lnN.例如：例如：loge3，简记作，简记作ln3；loge10，简记作简记作ln10背景知识背景知识3：对数是指数的逆运算对数是指数的逆运算.但有趣的是，在数学史上，对数却但有趣的是，在数学史上，对数却是先于指数被发现的是先于指数被发现的.1614年，纳皮年，纳皮尔发明了对数和对数表尔发明了对数和对数表.1637年，法年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了
7、数晚了20多年，当时人们并没有发多年，当时人们并没有发现指数和对数之间的关系现指数和对数之间的关系.后来，数后来，数学家欧拉才提出学家欧拉才提出“对数源于指数对数源于指数”，这一说法得到了数学家们的广泛认这一说法得到了数学家们的广泛认可可.至此，对数逐渐得到完善，成为至此，对数逐渐得到完善，成为我们今天所用的对数我们今天所用的对数.伽利略伽利略 拉普拉斯拉普拉斯形成概念形成概念底数底数幂幂真数真数指数指数对数对数指数式和对数式的关系相互转化指数式和对数式的关系相互转化概念深化概念深化讲解范例讲解范例 例例1、将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：6255)1(44625log5 64
8、12)2(66641log2 73.5)31)(3(mm 73.5log31底数不变底数不变幂幂真数真数指数指数对数对数 303.210ln)6(201.0lg)5(416log)4(2116)21(4 01.0102 10303.2 e练习：课本练习：课本P123页练习页练习1 1、把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式、把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式 82)1(338log2 me3)2(3ln m 3127)3(313131log27 81134 4811log)6(3n 3.210932 29log)4(3 3.2lg)5(n练习：课本练习：课本P123页练习页练习2 概念
9、深化概念深化 问题：根据对数的定义，计算：问题：根据对数的定义，计算：5log2822)5();1,0(log)4();1,0(1log)3(;1log)2(;8log)1(aaaaaaa(1)负数与零没有对数负数与零没有对数(2)loga1=0，logaa=1对任意对任意a0且且a1都有都有a0=1loga1=0；a1=alogaa=1(3)对数恒等式对数恒等式如果把如果把ax=N中的中的x写成写成logaN，则有，则有概念深化概念深化NaNa log例例2、求求下列各式中下列各式中x的值：的值：；32log)1(64 x；68log)2(x;100lg)3(x.ln)4(2xe 解：解：；
10、32log64 x(1)因为因为所以所以；1614)4(64232332 x,68log x(2)因为因为；22)2(82161361 x所以所以,86 x,100lgx(3)因为因为所以所以,10010 x,10102 x2 x于是于是(4)因为因为，xe 2ln所以所以，xe 2lnxee 2于是于是.2x练习：求下列各式的练习：求下列各式的x533log)4(91log)3(4log)2(281log)1(278 xxxxx=932 x32 x353 x练习：课本练习：课本P123页练习页练习3巩固应用巩固应用例例3、求下列各式中、求下列各式中x的值的值(1)lg(lnx)=0(2)lg
11、(lnx)=1(3)log7log3(log2x)=0练习练习1、求下列各式中、求下列各式中x的值的值(1)log264;(2)log927巩固应用巩固应用练习练习2、已知、已知loga2=m，loga3=n，则，则a3m-2n=_98(1)对数的由来对数的由来(2)对数的定义对数的定义(3)常用对数与自然对数常用对数与自然对数N的常用对数的常用对数log10N简记作简记作lgN.N的自然对数的自然对数logeN简记作简记作lnN.课堂小结课堂小结(4)loga1=0，logaa=1(5)对数恒等式对数恒等式NaNa logxNNaax log底数底数真数真数指数指数幂幂底数底数对数对数作业布置作业布置P123 1、2、3
