1、|三角变换公式名称内容半角公式sin=;cos=;tan=辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+),其中sin=,cos=降幂与升幂公式sin2=;cos2=;cos 2=cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2;tan 2=212cos212cos21();11()1sincoscossincoscos 有理形式 无理形式22ab22bab22aab122cos122cos221tantan 名称内容积化和差公式(1)sin cos=sin(+)+sin(-);(2)cos sin=sin(+)-sin(-);(3)cos cos=cos(+)+cos(-);(4)s
2、in sin=-cos(+)-cos(-)和差化积公式(1)sin+sin=2sincos;(2)sin-sin=2cossin;(3)cos+cos=2coscos;(4)cos-cos=-2sinsin12121212续表222222221.cos=.()提示:只有当-+2k+2k(kZ),即-+4k+4k(kZ)时,cos=.2.对于任意R,sin=sin 都不成立.()提示:当=2k(kZ)时,等式成立,但一般情况下不成立.3.对任意R都有sin+cos=2sin.()4.若56,cos=a,则cos=.()提示:56,即为第三象限角,cos=-.21cos222221cos22123
3、32412a453,424412a判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|半角公式的运用 利用半角公式求值的思路(1)看角:看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号做准备.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常利用tan=计算,涉及半角公式的正、余弦值时,常利用sin2=,cos2=计算.(4)下结论:结合(2)求值.2sin1cos1cossin21cos22 1cos2已知且sin=,求sin,cos,tan 的值.5,3245222解析解析 解法一:,且sin=,cos=-,sin=-=-,cos=-=-,从而tan=2.解法二:sin 与cos 的求法同
4、解法一.5,324535 253,42231522 5523152552sin2cos222tan=2.21cossin31545 2|三角恒等式的证明与三角函数式的化简1.三角恒等式证明的常用方法(1)由因导果法:证明的方式一般是化繁为简;(2)左右归一法:证明等号两边都等于同一个式子;(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“=1(右边0)”;(5)分析法:即执果索因法,从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到符合已知条件或出现明显的事实为止,就可以断定原等式成立.2.化简三角函数式的基
5、本思路三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面,其基本方法是统一角,统一左边右边三角函数的名称.常用方法:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,弦切互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化等.在具体实施过程中,应着重抓住“角”的统一,通过观察角、函数名、项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.化简的结果应满足以下几点:能求值尽量求值;函数名称尽量少;项数尽量少;次数尽量低;分母、根号下尽量不含三角函数.(1)求证:+=;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=,求证:=.1sincos1sincos1sincos1sin
6、cos2sincoscosaBbabB 22tan2tan2ABabab思路点拨思路点拨(1)等式的左边较复杂,将左边化简得到右边,可以先化简分式再通分,也可以先通分再化简.(2)易得tan2=,tan2=,所以所证结论等价于:=,由条件分别计算1-cos A,1+cos A即可得到结论.2A1cos1cosAA2B1cos1cosBB1cos1cosAA()(1cos)()(1cos)abBabB证明证明 (1)证法一:左边=+=+=右边.所以原等式成立.证法二:左边=222sin2sincos2222cos2sincos222222cos2sincos2222sin2sincos222si
7、n2cos2cos2sin21cossin222sin22(1sincos)(1sincos)(1sincos)(1sincos)=右边.所以原等式成立.(2)因为cos A=,所以1-cos A=,1+cos A=,22222(1sin)2cos(1sin)cos244sin2sin2sin2sincoscosaBbabB()(1cos)cosabBabB()(1cos)cosabBabB因此=,而=tan2,=tan2,1cos1cosAA()(1cos)()(1cos)abBabB1cos1cosAA222sin22cos2AA2A1cos1cosBB222sin22cos2BB2B所以
8、tan2=tan2,即=.2Aabab2B22tan2tan2ABabab化简:.42212cos2cos22tansin44xxxx思路点拨思路点拨从角的角度考虑到+x与-x互余,从函数名称的角度考虑到切化弦,从运算的角度考虑到降次、消项和逆用公式,综合考虑这些因素逐步运用公式,达到化简的目的.44解析解析 原式=cos 2x.22212sincos22sincos44cos4xxxxx21(1 sin 2)22sincos44xxx21cos 22sin22xx12如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形是全等三角形,设AA1H1=.
9、3|辅助角公式的运辅助角公式的运用用问题问题1.你能用表示线段A1H1吗?提示:由题意可得AA1+A1H1+AH1=A1H1cos+A1H1+A1H1sin=4,所以A1H1=,.2.如何求A1H1的最值?提示:先利用辅助角公式把分母化为一个角的同一三角函数,再求解.41sincos0,21.(1)公式形式:asin+bcos=sin(+)或asin+bcos=cos(-)其中sin=,cos=.(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.2.应用辅助角公式可将不同名的三角函数式的和(差)转化为一个三角函数式,从而可结合三角函数的
10、有关知识解决问题.在实际解题时,要注意灵活掌握该公式,合理引入辅助角,确定各量之间的关系,实现“合二为一”.22ab2222sin,cosbaabab其中22ab22aab22bab已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.6x,3 4 思路点拨思路点拨先利用三角恒等变换将函数f(x)化为f(x)=Asin(x+)+B的形式,再根据三角函数的性质求解.解析解析 (1)由已知,得f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=.(2)因为x,所以2x-,所以sin,f(x),所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.1cos22x1cos 232x1213cos2sin222xx1234141226x22,3 4 65,63 26x31,213,24,3 4 3412
