1、3.4 函数的应用（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一单选题1. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)= ( )A. -3B. -1C. 1D. 32. 设函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中正确的是( )A. fxgx是偶函数B. fxgx是奇函数C. fxgx是奇函数D. fxgx是奇函数3. 已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=x2+1x，则f(-1)= ( )A. 2B. 1C. 0D. -24. 已知a，b，cR，函数f
2、(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)f(1)，则 ( )A. a0，4a+b=0B. a0，2a+b=0D. a0，2a+b=05. 设fx=x,0x1是R上的增函数，则实数a的取值可以是( )A. 0B. -2C. -1D. -3三填空题13. 画出一般对勾函数y=ax+bx(a0,b0)的图象，并写出其性质(1)定义域：_(2)值域：_(3)奇偶性：_(4)单调区间：_14. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4x,1x10,2x+10,10x100,xN,1.5x,x100,其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录
3、用人数为人15. 已知函数f(x)=x-4,x2,x2-4x+3,x2,则不等式f(x)400其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)20. 已知函数f(x)=ax2+1x，且f(1)=-1(1)求函数f(x)的解析式，并判断它的奇偶性(2)判断函数f(x)在区间(0,+)上的单调性，并证明21. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台
4、时，Cx=12x2+40x(万元)，当年产量不小于80台时，Cx=101x+8100x-2180(万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润22. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图2的抛物线段表示(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g
5、(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价各种植成本的单位：元/102，时间单位：天)答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查奇函数和偶函数的性质，属基础题，直接代入计算可得f(-1)-g(-1)的值，进而利用奇偶性即可得到f(1)+g(1)的值【解答】解：f(x)-g(x)=x3+x2+1，f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(-1)=f(1)，g(-1)=-g(1)，f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=1，故选C2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的
6、判定，属于基础题利用函数的奇偶性的定义进行判定即可【解答】解：因为fx为奇函数，gx为偶函数，所以fxgx为奇函数，fxgx为奇函数，fxgx为偶函数，fxgx为偶函数，故选B3.【答案】D【解析】【分析】本题考查奇函数的性质，属基础题，根据函数的解析式求得f(1)的值，根据奇函数的性质得到f(-1)的值【解答】解：由题意知f(1)=12+11=2，f(x)是奇函数，f(-1)=-f(1)=-2，故选：D4.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次函数对称轴和开口方向的知识，首先判断出对称轴，再判断开口方向【解答】解：由f(0)=f(4)，得f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=-b2a=
7、2，4a+b=0，又f(0)f(1)，f(x)先减后增，a0，故选A5.【答案】C【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，考查转化思想分类讨论以及计算能力属于基础题利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可【解答】解：当0a1，fa=a，fa+1=2a+1-1=2a，fa=fa+1，a=2a，解得a=14或a=0(舍去)f1a=f4=24-1=6当a1时，a+12，fa=2a-1，fa+1=2a+1-1=2a，2a-1=2a，无解当a=1时，a+1=2，f1=0，f2=2，不符合题意综上，f1a=6故选C6.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数值的求法，注意奇函数的性质，属于较易
8、题目【解答】解：f(x)=x+1x-1，f(a)=2，f(a)=a+1a-1=2，a+1a=3f(-a)=-a-1a-1=-3-1=-4，故选A7.【答案】B【解析】【分析】本题考查对勾函数的图象与性质，属于基础题直接画出对勾函数f(x)=x+4x的图象的大致形状，由图象得答案【解答】解：函数f(x)=x+4x的定义域为x|x0函数的图象如图，由图可知，函数f(x)在定义域上无最小值，故A错误；函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，故B正确，D错误；函数f(x)在定义域上无最大值，故C错误故选B8.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查奇偶函数图象的对称性，把原函
9、数解析式变形得fx=x+1+1x讨论即可，属于基础题【解答】解：fx=x+1+1x，可设y=y-1，x=x得到y=1x+x，所以y与x成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为(0,0)即y=0，x=0得到y=1，x=0所以函数y的对称中心为(0,1)故选B9.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性的判断及应用，属基础题依题意，令fx=-2xx2+4，根据单调性的定义判断f(x)在(-1,2)单调递减，得-12a+125，进而求得结果【解答】解：令fx=-2xx2+4，设-1x1x20,x1x20，所以fx1-fx20，所以函数f(x)在(-1,2)单调递减，所以x(-1,2)时，-12f
10、x25，即-12a+125，得-32at22，t1-t20,t1t24gt1-gt2=t1+1t1-t2-1t2=t2-t11-t1t2t1t20，所以gt在2,+)上递增，gtmin=g2=52，所以函数f(x)=x2+5x2+4的最小值为52故选C11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式，属于中档题列出处理成本函数yx，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量x.设该单位每月获利为S，则S=100x-y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解【解答】解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx=12x+80000x-200
11、212x80000x-200=200，当且仅当12x=80000x，即x=400时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元设该单位每月获利为S，则S=100x-y=100x-12x2-200x+80000=-12x-3002-35000，因为400x600，所以当x=400时，S有最大值-40000元，故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损故选AD12.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了分段函数的单调性，是中档题由分段函数f(x)=-x2-ax-5,x1ax,x1是R上的增函数，得到不等式组-a21a1是R上的增函数，-a21a0时，对于函数y=ax+bx
12、，则有y2axbx=2ab，这里不等号当且仅当ax=bx，即x=ba时取到等号，故y2ab，x10(舍去)；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40100，不合题意故答案为：2515.【答案】(1,4)【解析】【分析】本题考查分段函数求不等式，属基础题可以利用函数的图象求得不等式的解集，也可以分段求出不等式的解集，然后取并集【解答】解法一：当x2时，f(x)=x-40的解集为2,4)；当x2时，不等式f(x)=x2-4x+30的解集为(1,2)综上所述，不等式f(x)0的解集为(1,4)故答案为：(1,4)解法二：分段函数的图象如图，得出不等式f(x)0的解集是(
13、1,4)故答案为：(1,4)16.【答案】160【解析】【分析】本题考查基本不等式的实际应用，属基础题，设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，将y表示为x的函数，利用基本不等式求最值即可【解答】解：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为4xm，依题意，得y=204+102x+24x=80+20x+4x80+202x4x=160(当且仅当x=4x，即x=2时取等号)，所以该容器的最低总造价是160元17.【答案】R【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题由题意，可得函数f(x)为
14、奇函数，利用定义法可得函数f(x)在(0,+)上是增函数，由此可得函数的值域【解答】解：函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+)，关于原点对称，且f(-x)=-x+3x=-(x-3x)，即f(-x)=-f(x)，函数f(x)为奇函数，对于任意x1，x2(0,+)，设x1x2，则：f(x1)-f(x2)=x1-3x1-(x2-3x2)=x1-x2+3x2-3x1=x1-x2+3(x1-x2)x1x2=(x1-x2)(1+3x1x2)，x1，x2(0,+)且x1x2，x1-x20，1+3x1x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，函数f(x)=t+4t，再利用均值不等式求解即可【解答】
15、解：由题意可知x-10，即x1，令t=x-1，则x=t2+1(t0)，f(x)=t+4t2t4t=4，当且仅当t=4t，即t=2，x=5时，等号成立，故fmin(x)=4，答案为：419.【答案】解：(1)由于每月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而fx=-12x2+300x-20000,0x400,60000-100x,x400.(2)当0x400时，fx=-12x-3002+25000，当x=300时，有最大值25000；当x400时，f(x)=60000-100x是减函数，f(x)60000-10040025000当x=300时，f(x)取最大值每月生产300台仪器时，利润最
16、大，最大利润为25000元【解析】本题考查了函数模型的应用的相关知识，试题难度一般20.【答案】解：(1)依题意，a+1=-1得a=-2，f(x)=-2x2+1x=-2x+1x，因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+)，且f(-x)=2x-1x=-f(x).所以f(x)是奇函数(2)f(x)在区间(0,+)上单调递减证明：设任意0x1x2，则f(x1)-f(x2)=-2x1+1x1+2x2-1x2=(x2-x1)(2+1x1x2)因为0x10且2+1x1x20.所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0,+)上单调递减【解析】本题考查函数解析式确定，考查函数奇偶性与单调性的判断，属基础题(
17、1)依题意，得a=-2，再根据奇函数定义判断即可(2)f(x)在区间(0,+)上单调递减，根据减函数的定义证明即可21.【答案】解：(1)当0x80时，y=100x-(12x2+40x)-500=-12x2+60x-500，当x80时，y=100x-(101x+8100x-2180)-500=1680-(x+8100x)，于是y=-12x2+60x-500,0x801680-(x+8100x),x80(2)由(1)可知当0x80时，y=-12(x-60)2+1300，此时当x=60时y取得最大值为1300(万元)，当x80时，y=1680-(x+8100x)1680-2x8100x=1500，
18、当且仅当x=8100x即x=90时y取最大值为1500(万元)，综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题(1)通过利润=销售收入-成本，分0x80、x80两种情况讨论即可；(2)通过(1)配方可知当0x80时，当x=60时y取得最大值为1300(万元)，利用基本不等式可知当x80时，当x=90时y取最大值为1500(万元)，比较即得结论22.【答案】解：(1)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-t,0t2002t-300,200t300由图
19、二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=1200(t-150)2+100,0t300(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=-1200t2+12t+1752,0t200-1200t2+72t-10252,200t300，当0t200时，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100所以，当t=50时，h(t)取得区间0,200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【解析】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力(1)观察图一可知此函数是分段函数(0,200)和(200,300)的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可(2)要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h(t)也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可
