1、5.1任意角和弧度制第五章三角函数目录二、知识讲解 三、小结四、练习一、上节回溯 一、上节回溯函数的应用指数函数对数函数有理数指数幂定义运算性质整数指数幂无理数指数幂指数对数定义运算性质现实背景、定义图象、性质现实背景、定义图象、性质函数零点与方程的解函数模型的应用二、知识讲解圆周运动是一种常见的周期性变化现象如图 5.1-1，O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向的旋转如何刻画点 P 的位置变化呢？POA图 5.1-1二、知识讲解5.1.1任意角现实生活中随处可见超出 0360 范围的角例如，体操中有“前空翻转体 540 度”“后空翻转体 720 度”这样的动作名称，这里不仅有超出 03
2、60 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图 5.1-2 是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向这样，OA 绕点 O 旋转所成的角与 OB 绕点 O 旋转所成的角就会有不同的方向因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广被动轮主动轮图 5.1-2二、知识讲解我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角这样，零角的始边与终边重合如果 是零角，那么 0图 5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于
3、750；图 5.1-3（2）中，正角210，负角 150，660正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角BOA750（1）图 5.1-3B2OA210（2）150660B1二、知识讲解这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle），包括正角、负角和零角设角 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成，角 由射线 OA 绕端点O 旋转而成如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 设，是任意两个角我们规定，把角 的终边旋转角，这时终边所对应的角是 二、知识讲解类似于实数 a 的相反数是 a，我们引入任意角 的相反角的概念如图 5.1-4，我们把射线
4、OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角角 的相反角记为 于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有()这样，角的减法可以转化为角的加法B2OA（1）B1B1OA（2）B2图 5.1-4二、知识讲解我们通常在直角坐标系内讨论角为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角例如，图 5.1-5 中的 30 角、120角分别是第一象限角和第三象限角如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限xyO30120图 5.1-5 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？二、知识讲
5、解将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应反之，对于直角坐标系内任意一条射线 OB（图 5.1-6），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？探究xyO32392图 5.1-6B328二、知识讲解32832360（这里 k_），39232360（这里 k_）设 S|32k 360，kZ，则 328，392 角都是 S 的元素，32 角也是 S 的元素（此时 k_）因此，所有与 32 角终边相同的角，连同 32 角在内，都是集合 S 的元素；反过来，集合 S 的任一元素显然与32 角的终边相同一般地，我们有：所有与角 终边相同的角，连同角
6、 在内，可构成一个集合 S|k 360，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 二、知识讲解例1在 0360 范围内，找出与 95012 角终边相同的角，并判定它是第几象限角解：95012129483360，所以在 0360 范围内，与 95012 角终边相同的角是 12948，它是第二象限角二、知识讲解例2写出终边在 y 轴上的角的集合解：在 0360 范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90，270 角（图 5.1-7）因此，所有与 90 角终边相同的角构成集合S1|90k 360，kZ，而所有与 270 角终边相同的角构成集合S2|270k 360，kZ，于
7、是，终边在 y 轴上的角的集合SS1S2|902k 180，kZ|901802k 180，kZ|902k 180，kZ|90(2k1)180，kZ|90n 180，nZxyO90图 5.1-7270二、知识讲解例3写出终边在直线 yx 上的角的集合 SS 中满足不等式 360720 的元素 有哪些？解：如图 5.1-8，在直角坐标系中画出直线 yx，可以发现它与 x 轴的夹角是 45，在 0360 范围内，终边在直线 yx 上的角有两个：45，225因此，终边在直线 yx 上的角的集合S|45k 360，kZ|225k 360，kZ|45n 180，nZxyO45图 5.1-8225yx二、知
8、识讲解S 中适合不等式360720 的元素 有452180315，451180135，45018045，451180225，452180405，453180585二、知识讲解5.1.2弧度制二、知识讲解ABO图 5.1-9PP1二、知识讲解探究可以发现，圆心角 所对的弧长与半径的比值，只与 的大小有关也就是说，这个比值随 的确定而唯一确定这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角ABO图 5.1-10PP1QQ1二、知识讲解ABO1 rad图 5.1-111二、知识讲解角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算如何换算呢？探究其中，的正负由角 的终边的旋转方向决定，即逆时针旋
9、转为正，顺时针旋转为负当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于 2 或小于 2 的角这样就可以得到弧度为任意大小的角一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0二、知识讲解二、知识讲解一般地，只需根据180 rad就可以进行弧度与角度的换算了二、知识讲解1.178 097 245因此，67301.178 rad二、知识讲解例5将 3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到 0.001）解：利用计算器有179.908 747 7因此，3.14 rad179.909二、知识讲解360150135度弧度45301200二、知识讲解角的概念推广后，在弧度制
10、下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图 5.1-12）图 5.1-12正角零角正实数负角负实数0二、知识讲解二、知识讲解三、小结弧度制正角负角零角象限角任意角角的集合与实数集一一对应终边相同的角：k 360，kZ弧度的概念弧度公式弧度与角度的换算 180 rad1在 0360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）5418；（2）3958；（3）1 19030答案：（1）30542，第四象限角（2）358，第一象限角（3）24930，第三象限角四、练习2写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 720360 的元素：（1）1 30318；（2）225答案：（1）|1 30318k 360，kZ，49642，13642，22318（2）|225k 360，kZ，585，225，135四、练习四、练习四、练习
