1、3.2.1单调性与最大(小)值1|增函数与减函数的定义 增函数减函数条件一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI如果 x1,x2D ,当x1x2时,都有 f(x1)f(x2)结论那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图示图象特征函数f(x)在区间D上的图象是上升的函数f(x)在区间D上的图象是下降的特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上单调递增或单调递减时,我们就称它是增函数或减函数.如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.一般地,设函数y=f(
2、x)的定义域为I,如果存在实数M满足:xI,都有 f(x)M ,x0I,使得f(x0)=M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值;如果存在实数M满足:xI,都有 f(x)M ,x0I,使得f(x0)=M,那么我们称M是函数y=f(x)的最小值.当一个函数f(x)的图象有最低(高)点时,我们就说函数f(x)有最小(大)值.2|函数的最大值与最小值科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图回答13题.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1.该天的最高气温为25,最低气温为-5.()2.该天气温在6时至17时内随着时间
3、增加而增加.()3.该天的温差是20.()4.函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个.()提示:例如:f(x)=f(x)的最大值为1,f(x)取最大值时,x的取值集合为(0,+),有无数个值.1,0,0,0,1,0.xxx判断正误，正确的画“”，错误的画“”.5.若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.()提示:例如:f(x)=f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数,但由图象(图略)知函数f(x)在区间(1,3)上不是增函数.6.若函数f(x)在区间a,b上是增函数,则f(x)在区间a,b上的最小值是f(a),最大值是f(
4、b).(),(1,2,4,(2,3).x xxx1|如何判断或证明函数的单调性1.判断函数单调性的方法(1)图象法.根据函数图象的升降情况进行判断.(2)直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得出.(3)复合函数单调性的判断依据如下:由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x),其单调性的判断方法如下:u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)增增增增减减减增减减减增复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减.2.证明函数的单调性根据增函数、减函数的定义,按照“取值作差变形判断
5、符号下结论”进行证明.利用定义证明f(x)=x3在R上是增函数.证明 任取R上的两个实数x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(+x1x2+)=(x1-x2),x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)1时,f(x)0.(1)求f的值;(2)判断函数f(x)在(0,+)上的单调性并给出证明.12思路点拨抽象函数问题求解的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.解析 (1)对于任意正实数x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.当x=2,y=时,有f=f(2)+f,即f(2)
6、+f=0,又f(2)=1,f=-1.(2)函数f(x)在(0,+)上为增函数.证明如下:任取x1,x2(0,+),且x11,f 0,即f(x2)f(x1),f(x)在(0,+)上为增函数.1212212121221xx21xx21xx21xx2|如何利用函数的单调性解决相关函数问题 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.根据函数的单调性确定参数的取值范围1.利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1x2,由f(x1)-f(x2)0)恒成立求参数的取值范围.2.利用
7、具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求出参数的取值范围.注意:(1)若某个函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.(2)对于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)f(1-a),则实数a的取值范围是(B)A.B.C.(0,2)D.(0,+)
8、2,32,13思路点拨利用单调性结合定义域去掉“f”,进而求解不等式组.解析 函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有解得a1,故实数a的取值范围是.故选B.121 1,1 11,21 1,aaaa 232,13(1)若函数f(x)=是(-,+)上的减函数,则实数a的取值范围是(B)A.(-2,0)B.-2,0)C.(-,1 D.(-,0)(2)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-,3上单调递增,则实数a的取值范围是(-,-4 .222,1,1,1xaxa xaxx思路点拨(1)结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分界点处函数值的关系,列
9、出不等式组求解;(2)结合二次函数的单调性,先判断其图象的开口方向与对称轴,再利用单调性确定参数满足的条件.解析(1)因为f(x)=是定义在(-,+)上的减函数,所以解得-2a0.故实数a 的取值范围是-2,0).(2)因为 f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其图象开口向下,对称轴方程为x=-a-1,所以函数的单调递增区间为(-,-a-1,由f(x)在(-,3上单调递增知3-a-1,解得a-4,即实数a的取值范围为(-,-4.222,1,1,1xaxa xaxx1,0,1221,aaaaa 3|如何求二次函数在某闭区间上的最大(小)值 二次函数在某闭区
10、间上的最大(小)值问题的解法1.含参数的二次函数最大(小)值问题的解法:解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再由a的符号确定抛物线的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值;(2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数.求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.求函数f(x)=x2-2ax-1在区间0,2上的最大值和最小值.思路点拨由于
11、二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关,而题中函数图象的对称轴为直线x=a,其位置不确定,所以应按函数图象的对称轴与区间0,2的相对位置进行分类讨论.解析 f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.(1)当a0时,由图可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.(2)当0a1时,由图可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)当12时,由图可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.综上,f(x)的最大值为M(a)=f(x)的最小值为m(a)=34,1,1,1,a aa21
12、,0,1,02,34,2.aaaa a 解题模板二次函数在指定区间上的最大(小)值与二次函数图象的开口方向、对称轴位置有关,求解时要注意这两个因素.本题不是分a2三种情况讨论,而是分四种情况,这是由于抛物线的对称轴在区间0,2内时,最小值是在顶点处取得的,但最大值有可能是f(0),也有可能是f(2).求函数f(x)=x2-2x+2在区间t,t+1上的最小值g(t).思路点拨因为图象的对称轴固定,区间不定,所以可以从三个方面进行讨论:图象的对称轴在区间左侧;图象的对称轴在区间右侧;图象的对称轴在区间内.l解 析 f(x)=x 2-2 x+2=(x-1)2+1,x t,t+1 ,其 图 象 的 对 称 轴 为 直 线x=1.当 t+1 1,即 t 1 时,函 数 图 象 如 图 所 示,f(x)在 区 间 t,t+1 上 为 增 函数,所 以 g(t)=f(t)=t 2-2 t+2.综 上,可 得 g(t)=221,0,1,01,22,1.tttttt 已知函数f(x)=x2-2x+3在区间0,m上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.解析 函数 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2的图象如图所示,由图可知f(1)=2,f(0)=f(2)=3,因为在区间0,m上,f(x)min=2,f(x)max=3,所以结合图象可得1m2.
