1、4.3.2 对数的运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 下列等式成立的是()A. log23log23=6B. log223=1log23C. log23=12log23D. log26-log23=log232. log56log67log78log89log910的值为 ( )A. 1B. lg5C. 1lg5D. 1+lg23. 已知3a=5b=M，且1a+1b=2，则M的值为 ( )A. 15B. 15C. 3D. 54. 计算(log54)(log1625)=( )A. 2B. 1C. 12D. 145. 已知ab=M(a0,b0,M
2、1)，且logMb=x，则logMa的值为( )A. 1-xB. 1+xC. 1xD. x-16. 若3a=2，则log38-2log36的值为( )A. a-2B. 5a-2C. 3a-(1+a)2D. 3a-a27. 设函数f(x)=logax(a0且a1)，若f(x1x2x3)=8，则f(x12)+f(x22)+f(x32)的值为( )A. 4B. 8C. 16D. 2loga88. 若方程(lgx)2+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0的两根为，则的值为( )A. lg7lg5B. lg35C. 35D. 1359. 已知logm27log94=6，则m的值为( )A. 4B.
3、 3C. 2D. 210. 若lg2=a，lg3=b，则log512的值为( )A. 2a+b1+aB. a+2b1+aC. 2a+b1-aD. a+2b1-a11. 设log34log48log8m=log416，则m的值为( )A. 2B. 9C. 18D. 2712. 若实数a，b，c满足2a=3b=6c2=2020，则下列式子正确的是( )A. 1a+1b=2cB. 2a+2b=1cC. 1a+1b=1cD. 12a+12b=2c二、多选题13. 若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子错误的为()A. logaxlogay=loga(x+y)B. logax-logay=loga(x
4、-y)C. logaxy=logaxlogayD. loga(xy)=logaxlogay14. (多选)设x，y为非零实数，a0且a1，则下列式子正确的是()A. logax2=2logaxB. logax2=2loga|x|C. loga|xy|=loga|x|loga|y|D. logaxy=loga|x|-loga|y|三、填空题15. 已知log23=a，log37=b，则log27=_(用a，b表示)16. 设lgx+lgy=2lg(x-2y)，则log4xy的值为_17. 计算：lg24+lg225+8lg2lg5=_18. 计算：(1)912log34=_(2)51+log52
5、=_(3)21-log23=_19. (1)计算：(log23+log427)(log34+log98)=_(2)计算：(log25+log4125)log32log35=_20. 已知f(3x)=4xlog23+233，则f(2)+f(4)+f(8)+f(16)=_四、解答题21. 化简下列各式(1)4lg2+3lg5-lg15；(2)1+12lg9-lg2401-23lg27+lg36522. 计算(1)13log28-14log39+log2325；(2)log7343349+log2128；(3)log39+log927+14log411623. (1)设lgm，lgn是方程x2-3x
6、+1=0的两根，求lgmn2的值(2)已知a+b=(lg2)3+(lg5)3+3lg2lg5，求3ab+a3+b3的值24. 设x，y，z均为正实数，且3x=4y=6z(1)试求x，y，z之间的关系(2)求使2x=py成立，且与p的差的绝对值最小的整数(3)比较3x，4y，6z的大小答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，本题解题的关键是熟练应用对数的性质.根据对数的运算性质依次判断可得答案【解答】A.log23log23=log232，故A错误；B.log223=log22-log23=1-log23，故B错误；C.log23=log2312=12log23，故C正确
7、；D.log26-log23=log2(63)=log22=1，故D错误故选C2.【答案】C【解析】【分析】本题考查换底公式的应用，关键是利用换底公式logab=logcblogca(c0,c1)把题中对数换为以10为底的对数，然后通过约分即可.是容易题【解答】解：log56log67log78log89log910=lg6lg5lg7lg6lg8lg7lg9lg8lg10lg9=lg10lg5=1lg5故选C3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，关键掌握性质，并学会对数式与指数式的互化，是基础题【解答】解：因为3a=5b=M0，则a=log3M,b=log5M，则有1a=lo
8、gM3,1b=logM5又1a+1b=2，故logM3+logM5=2.即logM15=2，故M=15故选B4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度容易【解答】解：(log54)(log1625)=lg4lg5lg25lg16=2lg2lg52lg54lg2=15.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数运算的基本性质，属于基础题，可以直接求解【解答】根据题意，有logMab=logMa+logMb=logMM=1，又logMb=x，于是得到logMa=1-x，故本题选项为A6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质、对数与对数运算，先表示出a=l
9、og32，结合对数的运算性质，从而得到答案【解答】解：3a=2，a=log32，log38-2log36=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2故选A7.【答案】C【解析】【分析】本题考查对数函数的基本运算性质，可以利用对数运算直接求解，属于基础题【解答】根据题意，有fx1x2x3=logax1x2x3=logax1+logax2+logax3=8，于是根据对数运算性质容易得到fx12+f(x22)+f(x32)=2(logax1+logax2+logax3)=28=16，故选C8.【答案】D【解析】【分析】本题的考点是对数的运算性质，考查利用根与系数关系与对数的运算法
10、则求值，属于基础题由题可得lg，lg二次方程x2+(lg5+lg7)x+lg5lg7=0的两个根，得出对数关系，并化简即可【解答】解：方程(lgx)2+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0的两根为、，lg，lg是一元二次方程x2+(lg5+lg7)x+lg5lg7=0的两根，lg+lg=-(lg5+lg7)，lg=-lg35，的值是135，故选D9.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对数的运算，考查计算能力，属于基础题利用对数的运算法则，结合换底公式求解即可【解答】解：1ogm271og94=6，可得31ogm31og32=6，即：1ogm31og32=2，可得1ogm3=21og23
11、=log23，所以m=2，故选D10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的运算，熟练掌握对数的换底公式和对数的运算性质是解题的关键利用换底公式和对数的运算性质即可算出属于基础题【解答】解：因为lg2=a，lg3=b，所以log512=lg12lg5=2lg2+lg31-lg2=2a+b1-a故选C11.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了对数的运算，属于较易题利用对数的运算公式直接求解即可【解答】解：因为log34log48log8m=log416，则log3m=log442=2，即log3m=log332，解得m=9，故选B12.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数与
12、对数运算，根据对数运算的运算性质进行求解即可【解答】解：a=log22020,b=log32020,c2=log62020，1a=1log22020=lg2lg2020,1b=lg3lg2020,2c=lg6lg2020，所以1a+1b=2c13.【答案】ABCD【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度较易【解答】解：因为a0，a1，x0，y0，xy，所以：对于A、取x=3，y=1，则logaxlogay=loga3loga1=0，而loga(x+y)=loga(3+1)=2loga20，因此A错误；对于B、因为logax-logay=logaxy，因此B错误；对于C、因为
13、logaxy=logax-logay，因此C错误；对于D、因为loga(xy)=logax+logay，因此D错误故选ABCD14.【答案】BD【解析】【分析】本题考查的知识点是对数的运算性质，熟练掌握对数的运算性质及及其推论是解答对数化简求值类问题的关键属于较易题目【解答】解：对于A.logax2=2logax，所以A不正确，显然B正确；对于C，loga|xy|=loga|x|+loga|y|，所以C不正确；对于D由对数的运算性质，正确；故选BD15.【答案】ab【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，关键是利用对数的换底公式.是容易题【解答】解：log27=log37log32=log37
14、log23=ab故答案为ab16.【答案】1【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度一般【解答】解：由lgx+lgy=2lg(x-2y)，得lg(xy)=lg(x-2y)2，因此xy=(x-2y)2，即x2-5xy+4y2=0，得xy=4或xy=1，又x0，y0，x-2y0，xy1，log4xy=117.【答案】4【解析】【分析】本题考查了对数的运算，是基础题.直接根据对数的运算性质可得答案【解答】解：lg24+lg225+8lg2lg5=lg24+lg225+2lg4lg25=(lg4+lg25)2=lg1002=22=4故答案为418.【答案】(1)4 (2)10 (3
15、)23【解析】【分析】本题考查了指数与指数幂的运算、对数与对数运算，属于基础题【解答】解：(1)原式=3log34=4(2)原式=5log552=5log510=10(3)原式=2log223=23故答案为(1)4， (2)10，(3)2319.【答案】354；54【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，(1)根据对数的运算性质，即可得到结果；(2)根据对数的运算性质，即可得到结果。【解答】解：(1)(log23+log427)(log34+log98)=(log23+32log23)(2log32+32log32)=52log2372log32=354;(2)(log25+log4125)l
16、og32log35=log25+32log25log322log35=52log5212log25=5420.【答案】972【解析】【分析】本题考查了用换元法求函数的解析式问题，是基础题设t=3x，用t表示x，求出f(t)，即是f(x)的解析式【解答】解：函数f(3x)=4xlog23+233，设t=3x，则x=log3t，f(t)=4log3tlog23+233=4lgtlg3lg3lg2+233=4lgtlg2+233=4log2t+233，即f(t)=4log2t+233；则f(2)+f(4)+f(8)+f(16)=4(log22+log24+log28+log216)+2334=972
17、故答案为97221.【答案】解：(1)原式=lg24+lg53-lg15=lg1612515=lg10000=4(2)原式=lg10+lg3-lg240lg10-lg9+lg365=lg18lg8=-1【解析】本题考查指数的运算，对数的运算性质，即对logaM-logaN=logaMN,logaM+logaN=logaMN,logaMn=nlogaM的考查.是基础题22.【答案】解：(1)原式=13log223-14log332+53=133-142+53=1-12+53=136(2)原式=log7(737-23)+log227=3-23+7=283(3)原式=2log332+log3233+
18、(4-1)log4116=4+32+4log4116-1=4+32+16=432【解析】本题考查对数的运算性质，解决问题的关键是熟练掌握各个性质，并学会合理使用23.【答案】(1)解：根据题意，lgm，lgn是方程x2-3x+1=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，得到lgm+lgn=3lgmlgn=1,于是有lgmn2=lgm-lgn2=lgm+lgn2-4lgmlgn=32-4=5；(2)解：利用立方和公式a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，得到a+b=lg2+lg53-3lg2lg5lg2+lg5-1=1，因此3ab+a3+b3=a+b3-3aba+b-1=1【解析】(1)本
19、题主要结合一元二次方程根与系数关系，对数的化简运算，是基础题根据题意和一元二次方程根与系数的关系，容易得到lgm+lgn=3，lgmlgn=1，再结合平方和公式有lgmn2=lgm-lgn2=lgm+lgn2-4lgmlgn，容易求出答案；(2)本题主要考查立方和公式及对数运算性质，是基础题利用立方和公式a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，容易得到，利用已知条件和lg2+lg5=1，容易化简得到a+b=1，于是容易算出3ab+a3+b3的值也为124.【答案】解：(1)令3x=4y=6z=t，取常用对数得，xlg3=ylg4=zlg6=lgt，则x=lgtlg3,y=lgtlg4,z=l
20、gtlg6，所以1x=lg3lgt,1y=lg4lgt=2lg2lgt,1z=lg6lgt=lg2+lg3lgt，所以1z-1x=12y;(2)p=2xy=2lg4lg3=log316，因为2=log39log316log327=3，且log327-log31614y16z，所以6z4y3x【解析】本题考查指对数的互化以及对数的大小比较，属于较难题(1)令3x=4y=6z=t，取常用对数得x=lgtlg3,y=lgtlg4,z=lgtlg6，结合对数的性质即可得到关系；(2)首先求出p=2xy=2lg4lg3=log316，利用对数的性质即可找出最近的整数值；(3)由(1)得到13x=lg33lgt,14y=lg44lgt,16z=lg66lgt，比较分子的大小后即可得到结论
