1、2.2.2基本不等式（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 已知x，y均为正数，xy=8x+2y，则xy有 ( )A. 最大值64B. 最大值164C. 最小值64D. 最小值1642. 函数f(x)=x+1x-2(x0)有( )A. 最大值2B. 最小值2C. 最大值0D. 最小值03. 已知x，y0且x+y=1，则p=x+1x+y+1y的最小值为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知x2-x+1x-1(x1)，在x=t时取得最小值，则t等于 ( )A. 1+2B. 2C. 3D. 45. 已知a0，b0，a+b=2，则y=1a+
2、4b的最小值是( )A. 72B. 4C. 92D. 56. 建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为()A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元7. 已知RtABC的斜边长为2.则下列关于ABC的说法中，正确的是()A. 周长的最大值为2+22B. 周长的最小值为2+22C. 面积的最大值为2D. 面积的最小值为18. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.7v+0
3、.3v2+d0，其中d0为安全距离，v为车速当安全距离d0取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )A. 135B. 149C. 165D. 1959. 若aR，则“a0”是“a+1a2”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设x，y为正数，则(x+y)(1x+4y)的最小值为( )A. 6B. 9C. 12D. 1511. 某金店用一杆不准确的天秤(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实
4、际所得黄金( )(杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂)A. 大于10gB. 小于10gC. 大于等于10gD. 小于等于10g12. 设a，b，c，d，m，n均为正实数，p=ab+cd，q=ma+ncbm+dn，则( )A. pqB. pqC. pq二、多选题13. 【多选】若正实数a、b满足a+b=1，则下列说法错误的是()A. ab有最小值14B. a+b有最小值2C. 1a+1b有最小值4D. a2+b2有最小值2214. 下列结论正确的是A. 若x0，b0，则aba+b22C. 若a0，b0，且a+4b=1，则1a+1b的最大值为9D. 若x0,2，则y=x4-x2的最大值为2三、填空题
5、15. 已知x，y均为正实数，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为_16. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为_17. 设a，b0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为18. 已知x0，则2-3x-4x的最大值为_19. 已知x，y是非零实数，且x2+3y2=4，则1x2+3y2的最小值是_20. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该
6、厂n(nN*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于_.(盈利额=总收入-总成本)四、解答题21. 若a，bR+，且满足ab=a+b+3(1)求ab的取值范围(2)求a+b的取值范围22. 若a0，b0，且1a+1b=ab(1)求a3+b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由23. (1)已知0x0，可得1x0，运用基本不等式可得f(x)的最小值，求得等号成立的条件【解答】解：由x0，可得1x0，即有f(x)=x+1x-22x1x-2=2-2=0，当且仅当x=1x，即x=1时，取得最小值0故选D3.【答案】C【解析】分析本题考查利用基本不等式求最值解题时先变形构造基本
7、不等式成立的条件，再用基本不等式求最值即可解答解：方法一：由p=x+x+yx+y+x+yy=3+yx+xy3+2=5当且仅当x=y=12时，取等号；方法二：p=(x+y)+(1x+1y)=1+(1x+1y)(x+y)=1+2+yx+xy5，当且仅当x=y=12时取等号故选C4.【答案】B【解析】分析本题考查利用基本不等式求最值将原式变形利用基本不等式求最值，并判定等号成立的条件，即可求得解答解：由题得y=xx-1+1x-1=x+1x-1=x-1+1x-1+12+1=3，当且仅当x-1=1x-1，即x=2时等号成立，则t=2故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了基本不等式的相关知识，试题
8、难度较易【解答】解：a+b=2，y=1a+4ba+b2=a+b2a+4a+4b2b=12+b2a+2ab+252+2b2a2ab=52+2=92，当且仅当a=23，b=43时等号成立故选C6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式的实际应用以及利用基本不等式求最值，考查了学生的实际应用能力设出池底的一边长为xm，另一边则可表示为4xm，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时x的取值是否存在【解答】解：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为4xm，则总造价y=4120+80(2x+24x)2=480+320(x+4x)480+3202x4x=176
9、0(元)当且仅当x=4x，即x=2时，y取最小值为1760所以水池的最低造价为1760元故选B7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是基本不等式在三角形的周长和面积上的应用由题意ABC为，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式得出两直角边乘积的最大值和周长的最大值，即可得出答案【解答】解：设c为斜边，所以a2+b2=c2=4，(a+b)22(a2+b2)=8，a+b22，则周长公式C=a+b+c22+2，故A正确，B错误由基本不等式可知4=a2+b22ab，所以ab2，当且仅当a=b=2时取等号，面积公式S=12ab1，故面积的最大值为1，所以C，D错误，故选A8.【答案】B【解析】【分析】本
10、题考查基本不等式的运用，属于基础题把给定函数变形，利用基本不等式即可得解【解答】解：由题意得，N=1000v0.7v+0.3v2+d0=10000.7+0.3v+30v10000.7+20.330149，当且仅当0.3v=30v，即v=10时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149故选B9.【答案】C【解析】【分析】本题考查基本不等式，考查充分，必要条件的判断，属基础题依题意，根据基本不等式得a0，则a+1a2成立，由a+1a2得a0，进而可得结果【解答】解：若a0，则a+1a2a1a=2，当且仅当a=1时，等号成立，a+1a2(a-1)2a0a0，故若aR，则“a0”是“a+
11、1a2”的充要条件，故选C10.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题依题意，(x+y)(1x+4y)=1+4+yx+4xy，利用基本不等式求最值即可【解答】解：因为x，y为正数，所以(x+y)(1x+4y)=1+4+yx+4xy5+2yx4xy9，当且仅当y=2x时，等号成立，故选B11.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查基本不等式的实际应用，属于基础题设左右臂长分别为a，b，两次放入的黄金量是x，y，建立x和y的关系，由基本不等式求得x+y的范围即可【解答】解：设左右臂长分别为a，bab且a,b0，两次放入的黄金量是x，y，依题意有bx=5a，ay=5
12、b，xy=25x+y2xy，x+y10，当且仅当x=y=5时，等号成立，又ab，xy，x+y10即两次所得黄金量大于10g故选A12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了基本不等式的相关知识，试题难度较易【解答】解：q=ma+ncbm+dn=ab+cd+bcnm+admnab+cd2=p故选A13.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题利用基本不等式分别判断各个选项的对错，即可得结果【解答】解：正实数a，b满足a+b=1，由基本不等式可得a+b=12ab，ab14，当a=b=12时等号成立，故ab有最大值14，故A错误
13、，由于(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab2，a+b2，当a=b=12时等号成立，故a+b有最大值2，故B错误；1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2baab=4，当a=b=12时等号成立，故1a+1b有最小值4，故C正确；a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-12=12，当a=b=12时等号成立，故a2+b2有最小值12，故D不正确.故选ABD14.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题主要是通过不等式的基本形式进行配凑，其中C进行1的代换，D配凑成二次函数的形式进行求解，即可【解答】解：A、若x0,-1x0，所以-x+-1x2-x-1x-x
14、+1x2x+1x-2，当且仅当x=-1时取等号，故A正确；B、a0,b0，则a+b2aba+b2ababa+b22，当且仅当a=b时取等，故B正确；C、a0,b0且a+4b=1，则1a+1b=a+4b1a+1b=1+ab+4ba+4=5+ab+4ba5+2ab4ba=5+4=9，当且仅当a=2b且a+4b=1时取等号，所以1a+1b的最小值为9，故C错误；D、因为x0,2，则y=x24-x2=-x2-22+4，由x20,4，即x2=2，ymax=2，故D正确故选ABD15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了基本不等式的相关知识，试题难度容易【解答】解：xy=12x3y412x3+y422=1
15、2122=3，当且仅当x3=y4=12，即x=32，y=2时，等号成立，xy的最大值为316.【答案】xa+b2【解析】【分析】本题考查了比较大小的相关知识，试题难度较易【解答】解：由题意得(1+x)2=(1+a)(1+b)，所以1+x=1+a1+b1+a+1+b2=1+a+b2，所以xa+b2，当且仅当a=b时等号成立17.【答案】32【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题利用基本不等式，即可求出a+1+b+3的最大值【解答】解：由题意，a，b0，a+b=5，所以(a+1+b+3)22(a+1+b+3)=18，当且仅当a+1=b+3时，等号成立，a+1+b+3的最大值为32
16、，故答案为3218.【答案】2-43【解析】【分析】由函数y=2-3x-4x(x0)变形为y=2-(3x+4x)，再由基本不等式求得t=3x+4x43从而有y=2-(3x+4x)2-43得到结果本题主要考查函数最值的求法，一般有两种方法，一是函数法，二是基本不等式法，本题应用的是基本不等式，法要注意一正，二定，三相等【解答】解：函数y=2-3x-4x(x0)y=2-(3x+4x)由基本不等式得t=3x+4x43y=2-(3x+4x)2-43故函数y=2-3x-4x(x0)的最大值是2-43故答案为：2-4319.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题依题意，(1x2+
17、3y2)(x2+3y2)=1+3y2x2+3x2y2+9，利用基本不等式求最值即可【解答】解：因为(1x2+3y2)(x2+3y2)=1+3y2x2+3x2y2+910+23y2x23x2y2=16，所以当且仅当3y2x2=3x2y2，即x=y=1时，1x2+3y2有最小值，最小值为4，故答案为420.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论【解答】解：设该汽车第n年的营运费为an，万元，则数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，则an=2
18、n+1，则该汽车使用了n年的营运费用总和为Tn=n2+2n，设第n年的盈利总额为Sn，则Sn=20n-(n2+2n)-16=-n2+18n-16，年平均盈利额P=18-(n+16n)18-216=10，当且仅当n=4时，等号成立当n=4时，年平均盈利额取得最大值故答案为421.【答案】解：(1)由ab=a+b+32ab+3，得ab-2ab-30，即(ab+1)(ab-3)0.因为ab0，所以ab-30，即ab3.所以ab9，当且仅当a=b,ab=a+b+3,即a=b=3时，等号成立所以ab的取值范围是9,+)(2)因为aba+b2，所以ab=a+b+3a+b22，即(a+b)2-4(a+b)-
19、120，即(a+b+2)(a+b-6)0因为a+b+20，所以a+b6，当且仅当a=b=3时，等号成立所以a+b的取值范围是6,+)【解析】本题考查利用基本不等式求最值、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(1)正数a，b满足ab=a+b+3，可得ab=a+b+32ab+3，解不等式即可(2)正数a，b满足ab=a+b+3，可得a+b+3=aba+b22，解不等式即可22.【答案】解：(1)由ab=1a+1b2ab，得ab2，且当a=b=2时等号成立故a3+b32a3b342，且当a=b=2时等号成立所以a3+b3的最小值为42(2)由(1)知，2a+3b26ab43由于
20、436，从而不存在a，b，使得2a+3b=6【解析】本题考查了利用基本不等式求最值的相关知识，试题难度较易23.【答案】解：(1)0x43，x(4-3x)=133x(4-3x)13(3x+4-3x2)2=43，当且仅当x=23时取等号(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动，2x+4y22x4y=22x+2y=223=42，当且仅当x=2y=32时取等号2x+4y的最小值为42【解析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题(1)0x43，则x(4-3x)=133x(4-3x)，再利用基本不等式的性质即可得出(2)由点(x,y)在直线x+2y=3上移动，可得2x+4y22x4y=22x+2y
21、，即可得出24.【答案】解：设该楼房每平方米的平均综合费用为y元，依题意得y=3000+50x+8000100004000x=50x+20000x+3000(x12,xN*)，y=50x+20000x+3000250x20000x+3000=5000(元)当且仅当50x=20000x，即x=20时，等号成立，所以当x=20时，f(x)取得最小值5000元所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元【解析】本题主要考查函数最值的求法，一般有两种方法，一是函数法，二是基本不等式法，本题应用的是基本不等式法要注意一正，二定三相等，注意等号成立的条件
