1、第三章 函数的概念与性质 尖子生必刷卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）ABCD2已知三次函数，且，则（ ）A2023B2027C2031D20353若，则（ ）A1B0C2D4设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD5黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.A的值域为BCD以上选项都不对6设函数，若存在实数，使在上的值域为，
2、则实数m的取值范围是（ ）ABCD7已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（ ）A-9B-7C-6D-48函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立则实数的取值范围是（ ）ABCD二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”.现给出下列函数，其中是“倍约束函数”的是（ ）ABCD函数是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有10已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）A的定义域为B的值域为CD若，则x的值是E.的解集为11设函数的定义域为，对于任一给定的正数p，定义函数，则
3、称函数为的“p界函数”，若给定函数，则（ ）ABCD12已知函数是偶函数，是奇函数，当时，则下列选项正确的是（ ）A在上为减函数B的最大值是1C的图象关于直线对称D在上三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13定义区间(a，b)，a，b，(a，b，a，b的长度为db-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)3，5的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=xx，g(x)=x-1，其中x表示不超过x的最大整数，x=x-x，若用d表示不等式f(x)g(x)解集区间的长度，则当时x-2009，2009，d_14已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是_15已
4、知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的最大值为_16已知函数有最小值且最小值与无关，则的取值范围是_四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17已知定义在上的函数，满足：；为奇函数；，；，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明函数在上单调递增18已知函数，函数，其中（1）若恒成立，求实数t的取值范围；（2）若，求使得成立的x的取值范围；求在区间上的最大值19已知（1）若在区间恒成立，求的取值范围；（2）当时，是否存在点，使得 的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由；20已知二次函数（1）若在的最大值为，求的值；（2）若
5、对任意实数，总存在，使得求的取值范围21已知函数，.（1）若函数在上有零点，求的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.22设，已知函数.（1）若是奇函数，求的值；（2）当时，证明：；（3）设，若实数满足，证明：.参考答案1B【解析】解：由题意，当时，又函数的值域是，当时，有解，此时，所以，所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，又，若，则，所以，此时，符合题意；若，则，所以，要使，只须，即；综上，.故选：B.2D【解析】设，则，所以，所以，所以.故选：D.3B【解析】构造函数， 由，可得，且定义域为，是奇函数，又易得为上的单调递增函
6、数故选：B4D【解析】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D5B【解析】解：设，（，且，为互质的正整数），Bx|x0或x1或x是0，1上的无理数，对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；对B、C选项：当，则，；当，则，0；当或，则，所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.6A【解析】由得，且由复合函数的单调性可知函数为减函数，故有，两式相减可得，即，则，两式相加可得，记，故有，代入可得，又因为，且均为非负数，故，则由二次函数的值域可得：
7、当或时，取到最大值，但当时，与矛盾，则取不到最小值，所以的取值范围是.故选：A.7C【解析】解：函数的图象如图所示，当时，化为，当时，由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又，则，当时由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为，又，则，当时，对于，解得，只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，舍去可得：实数的最小值是故选：C8C【解析】由题得函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，则不等式，恒成立，则，恒成立，得，得，恒成立，则且，或且，恒成立，即当时，且，或且，又当，有，得.故选：C.9ACD【解析】解：对于A选项，是任意正数时都有，是倍约
8、束函数，故A正确；对于B选项，即，不存在这样的对一切实数均成立，故B错误；对于C选项，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以，所以.故C正确对于D选项，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，且，因而由得到，即成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故D正确故选：ACD10BD【解析】由题意知函数的定义域为，故A错误；当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；当时，故C错误；当时，解得（舍去），当时，解得或（舍去），故D正确；当时，解得，当时，解得，因此的解集为；故E错误.故选：BD.11ACD【解析】，根据题意，令，所以，所以，故A正确；，故B不正确；
9、，故C正确；，故D正确.故选：ACD12BCD【解析】因为当时，则函数在上递减，又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错；因为函数是偶函数，是奇函数，所以，则，所以，则，即，所以以为周期；则，所以关于直线对称，因此当时，；当时，则，又，所以；因为偶函数关于轴对称，所以当时，；综上，当时，；又是以为周期的函数，所以，则，故B正确；因为，函数为偶函数，所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，所以在上也满足恒成立；故D正确；故选：BCD.132011【解析】f(x)=xx=x(x-x)=xx-x2，g(x)=x-1，f(x)g(x)xx-x2x-1，即
10、(x-1)xx2-1，当x0，1)时，x=0，上式可化为x1，x0，1)；当x1，2)时，x=1，上式可化为00，x1，2)；当x2，2009时，x-10，上式可化为xx+1，而xx+1，x；当x-2019，0)时，x0，上式可化为xx+1恒成立，x-2009，0）；f(x)g(x)在-2009x2009时的解集为-2009，2)，故d2011.故答案为：201114【解析】设，其判别式，所以函数一定有两个零点，设函数的两个零点为，且，由得，所以函数，当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故，当时，所以，所以，因为在上单调递增，所以在上也单调递增，因为在和上都单调递增，且函数的图
11、象是连续的，所以在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：15【解析】函数在区间上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，只要找到其中一个实数，使得的最大值最小即可，如图，函数向下平移到一定的程度时，函数的最大值最小，此时只有当时，才能保证函数的最大值最小，设函数的图象向下平移了个单位，其中，则，解得，此时函数，.因此，实数的最大值为.故答案为：.16【解析】当时，令，则，在时是增函数，无最小值当时，令，若，是减函数，则，若，当且仅当时等号成立，即时，在上递增，即时，与有关，故答案为：17（1）偶函数（2）证明见解析18（1）；
12、（2）；（3）.【解析】（1）因为恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以，解得，所以；（2）当时，所以，解得；当时，所以，因为，所以，所以无解，综上所述：的取值范围是；由可知：，当时，所以，所以；当时，的对称轴为，所以，且，所以，令，所以，所以，综上可知：.19（I）；（II）【解析】（I）因为函数的定义域为R，且是奇函数，所以，所以，所以m的值为；（II）由（I）得，所以函数是在R上的增函数，所以不等式等价于，即，所以，又，所以，所以，所以原不等式等价于恒成立，令，则，所以，令，所以在上单调递减，所以，又，所以，所以实数a的取值范围为19（1）（2）存在，解：时，若存在对称中心，则为奇函数，因
13、为奇函数，则，所以存在点为21（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，所以在上为减函数.又在上存在零点，所以，解得故的取值范围为（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为当时，不符合题意，舍去.当时，在上的值域，只需，解得当时，在上的值域为，只需，无解.综上，的取值范围为（3）当或时，在上单调递增，则；当时，解，得，故当，综上，于是的最小值为22（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】解：（1）由题意，对任意，都有，即，亦即，因此；（2）证明：因为，.所以，.（3）设，则，当时，；当时，；，所以.由得，即.当时，所以；当时，由（2）知，等号不能同时成立.综上可知.
