1、第一章 集合与常用逻辑用语 尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1某小学对小学生的课外活动进行了调查调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，问接受调查的小学生共有多少人？（ ）A120B144C177D1922设集合、是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：，对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（ ），ABCD3设，与是的子集，若
2、，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ）A16B9C8D44非空集合具有下列性质：若、，则；若、，则，下列判断一定成立的是（ ）（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.A（1）（3）B（1）（2）C（1）（2）（3）D（1）（2）（3）（4）5定义，设、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分也非必要条件6已知集合其中，其中则与的关系为ABCD7若集合，则A，B，C之间的关系是（ ）ABAB=CCABCDBCA8已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以
3、再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A508B512C1020D1024二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9设非空集合满足：当xS时，有x2S.给出如下命题，其中真命题是（ ）A若m=1，则B若，则n1C若，则D若n=1，则10当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:0是任何数域的元素;若数域有非零元素,则;集合是一个数域;有理数集是一个数域;任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有ABCD11设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有ABCD12（多选）若非
4、空数集满足任意，都有，则称为“优集”已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）A是优集B是优集C若是优集，则或D若是优集，则是优集三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有_人.14已知集合和，使得，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合_.15设集合，其中为实数，令，若
5、中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_16已知集合MxN|1x21，集合A1，A2，A3满足每个集合都恰有7个元素； A1A2A3M集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为_四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17已知集合为非空数集，定义：，.（1）若集合，求证：，并直接写出集合；（2）若集合，且，求证：；（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.18设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；.若的子集满足：当且仅当时，则称为的完美
6、子集.（1）当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.19已知集合A为非空数集，定义：，（1）若集合，直按写出集合S，T（无需写计算过程）（2）若集合，且，求证：（3）若集合，记为集合A中元素的个数，求的最大值.20已知集合，集合，集合，且集合满足，.（1）求实数的值.（2）对集合，其中.定义由中的元素构成两个相应的集合，其中是有序实数对，集合和中的元素的个数分别为和，若对任意的总有，则称集合具有性质.请检验集合与是否具有
7、性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.试判断和的大小关系，并证明你的结论.21对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.（1）若，求；（2）若集合，证明：的充要条件是.22已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）写出所有满足集合A的偶数.参考答案1A【解析】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为即由容斥原理：解得：故选：A2A【解析】对于：若，存在函数
8、, “,满足， 对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项是“保序同构”;对于：若，存在函数， 对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项是“保序同构”；对于：若，存在函数满足， 对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项是“保序同构”;对于：不能找到函数，使得两个集合“保序同构”.从另一个角度来思考，前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知, 不是“保序同构”只有，所以不是“保序同构”的个数为1.故选：A3B【解析】由题意，对子集分类讨论：当集合，集合可以是，共4中结果；当集合，集合可以是，共2种结果；当集合，集合可以是，共2种结果；当
9、集合，集合可以是，共1种结果，根据计数原理，可得共有种结果.故选：B.4C【解析】由可知.对于（1），若，对任意的，则，所以，这与矛盾，（1）正确；对于（2），若且，则，依此类推可得知，（2）正确；对于（3），若、，则且，由（2）可知，则，所以，（3）正确；对于（4），由（2）得，取 ，则，所以（4）错误.故选：C.5A【解析】如图，由于，故两个阴影部分均为，于是，（1）若，则，而，成立；（2）反之，若，则由于，故选：A6A【解析】任取当同为奇数或同为偶数时， 当一奇一偶时，因为所以，所以 所以任取，所以所以故选：A7B【解析】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，；集合B中，；集
10、合C中，由与p均表示整数，且，可得AB=C故选B.8B【解析】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B9BC【解析】非空集合满足：当xS时，有x2S.当mS时，有m2S，即，解得：或；同理：当nS时，有n2S，即，解得： .对于A: m=1,必有m2=1S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B: ,必有m2=S，故必有，解得：，故B正确；对于C: 若，有，解得：，故C正确；对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC10AD【解析】当时，由数域的定义可知，若，则有，即，故是真命题;当时，由数域的定义可知，若
11、，则有，即，若，则，则， 则，故是真命题；当时，故是假命题；若，则，且时,，故是真命题；，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以是真命题.故选：.11ABD【解析】，.，.，.若，则存在使得，则和的奇偶性相同.若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，.故选ABD.12ACD【解析】对于A中，任取，因为集合是优集，则，则 ，则，所以A正确；对于B中，取，则或，令，则，所以B不正确；对于C中，任取，可得，因为是优集，则，若，则，此时 ；若，则，此时 ，所以C正确；对于D中，是优集，可得，则为优集；或，
12、则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.139【解析】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为：9.14或或.【解析】，中所有元素之和为；若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；若中有且仅有两个元素，设，则，当，时，；若中有且仅有三个元素，设，则；当，时，若中有且
13、仅有四个元素，设，则，当，时，；若中有且仅有五个元素，若，此时，中最多能有四个元素；综上所述：或或.故答案为：或或.15【解析】因为，而，故，所以，若，则或（舍），此时，故中的所有元素之积为.若，则，这与或，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则或（舍），此时，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则，则，即，无解.故答案为：.16132【解析】集合MxN|1x21，由集合A1，A2，A3满足每个集合都恰有7个元素； A1A2A3M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为
14、22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+1251同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X1+
15、X2+X3的最大值为34+27+2081；所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81132故答案为：13217（1）证明见解析，；（2）证明见解析；（3）集合A中元素的个数的最大值为1348.18（1）是完美子集，不是完美子集，理由见解析（2）（3）一定是的完美子集，理由见解析19（1），；（2）见解析；（3）1348.【解析】解：（1）根据题意，由集合，计算集合，4，；（2）由于集合，且，所以中也只包含四个元素，即，剩下的，所以；（3）设， 满足题意，其中，则，由容斥原理，中最小的元素为0，最大的元素为，实际上当，675，676，时满足题意，证明如下：设，则，1，2，依题意有，即，
16、故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即，675，676，时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是134820（1）（2）具有性质，不具有性质；，；，证明见解析.【解析】（1）由，可得，则，则或，时，不满足，时，满足题意，综上，.（2），具有性质，但，则不具有性质.，证明如下：对任意，有，则，则，若，则，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，对任意，有，则，则，若，则，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，综上.21（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）若集合, 则根据定义可得：.（2）由.充分性：设是公差为的等差数列,则 且, 所以共有个不同的值, 即.必要性：若,因为,所以中有个不同的元素：, 任意的值都与上述某一项相等.又, 且.所以, 所以是等差数列，且公差不为.22（1），；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为【解析】（1），假设，则，且，则或，显然均无整数解，综上，有：，；（2）集合，则恒有， ，即一切奇数都属于A，又，而“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）集合，成立，当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，综上，所有满足集合A的偶数为
