1、4.4.3 不同函数增长的差异-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()A. y=1100exB. y=100lnxC. y=100xD. y=1002x2. 三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )A. y1，y2，y3B. y2，y1，y3C. y3，y2，y1D. y1，y3，y23.
2、 下列四种说法中，正确的是()A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B. 对任意的x0，xnlogaxC. 对任意的x0，axlogaxD. 不一定存在x0，当xx0时，总有axxnlogax4. 下列散点图中，有可能用函数y=a+blgx(b0)来模拟的是()A. B. C. D. 5. 设函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x(4,+)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是( )A. f(x)增长最快，h(x)增长最慢B. g(x)增长最快，h(x)增长最慢C. g(x)增长最快，f(x)增长最慢D. f(x)增长最快，g(x)增长最慢6. 有一
3、组实验数据如下：x1.993.04.05.16.12y1.54.047.512.518.27现在从下列函数中选一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是( )A. y=log2xB. y=log12xC. y=x2-12D. y=2x-127. 函数y=2x-x2的大致图象是( )A. B. C. D. 8. 当a1时，有下列结论：指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数y=logax，当a越大时，其函数值的增长越快；对数函数y=logax，当a越小时，其函数值的增长越快其中正确的结论是( )A. B. C. D.
4、9. 某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/平方米增加到了4800元/平方米，则这6年间平均每年的增长率是()A. 600元B. 50%C. 32-1D. 32+110. 某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1x4,xN*)之间关系的是 ()A. y=100xB. y=50x2-50x+100C. y=502xD. y=100x二、多选题11. 如图所示是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y=at，且蔓延3个月时，浮萍面积为8m2.下
5、列叙述正确的是( )A. 第5个月时浮萍面积就会超过30m2B. 浮萍面积从4m2蔓延到12m2要经过1.5个月C. 每月增加的浮萍面积相等D. 若浮萍面积为2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3三、填空题12. 用洗衣机洗衣服时，假设每次能洗去污垢的23，则要使留在衣服上的污垢不超过衣服上最初污垢量的1，则至少要洗次13. 在最近的30天内，某商品的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)=t+10(0t30,tN)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t+35(05)(单位：万元).假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，请根
6、据上述统计规律，完成下列问题(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本)(2)甲厂生产多少百台产品时，可使盈利最多?答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是函数增长速度，由指数函数中底数大于1的情况下，增加速度呈现一种指数爆炸模式，就是增加速度非常快可得结果.是容易题【解答】解：因为指数函数中底数大于1的情况下，增加速度非常快，而e2，故增加速度最快的是A故选A2.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数，对数函数，幂函数在相同情况下，函数值的变化快慢情况，掌握相应变化规律即可函数值的增长速度最快为指数函数，其次为幂函数，最后为对数函数，据此求出结果【解答】解
7、：函数值的增长速度最快为指数函数，其次为幂函数，最后为对数函数由列表可知，增加最快的是y2，其次为y1，最后为y3则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为y3，y2，y1，故选C3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质、对数函数及其性质、幂函数的相关知识，试题难度较易【解答】解：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较对于B，C，当0a1，n0时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxnlogax，但若去掉限制条件“a1，n0”，则结论不成立故选D4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查对数函数
8、的图象，属于基础题根据对数函数的图象及b0，结合选项即可判断【解答】解：根据函数f(x)=lgx的图象及b0，结合选项可知，有可能用函数y=a+blgx(b0)来模拟的是选项C故选C5.【答案】B【解析】【分析】本题考查幂指对函数的增长快慢的比较，属基础题，根据幂指对函数规律做出比较即可得出结论【解答】解：在x(4,+)时，指数函g(x)=2x增长的最快，对数函数h(x)=log2x增长的最慢，幂函数f(x)=x2的增长速度介于g(x)和h(x)之间，故选B6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数模型的选择，属于基础题选择x，计算对应的函数值，对照题设中实验数据，偏离程度较大的可排除，进而可
9、确定结果【解答】解：取x=4.0，可得log24=2,log124=-2,42-12=7.5,24-12=7.5，可排除AB；取x=6.12，得6.122-1218.23,26.12-12=11.74，排除D故最恰当的一个函数是y=x2-12故选C7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数图象的应用，考查特殊值法在选择题中的应用，属于基础题根据特殊值即可排除选项BCD，得到结果【解答】解：当x=2或4时，y=0，所以函数的图象与x轴的正半轴有两个交点，排除BC；当x=-2时，y=2-2-(-2)230，故A正确;当y=4时，由4=2t1知t1=2，当y=12时，由12=2t2知t2=log21
10、2=2+log23.t2-t1=log231.5，故B错误;浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快， C错误;对于D，t1=log22=1，t2=log24=2，t3=log28=3，即t1+t2=t3，故D正确综上可得AD正确12.【答案】5【解析】【分析】本题以实际问题为载体，考查指数函数模型，考查解不等式，属于基础题由题意，设至少要洗n次，则(13)n1%，解不等式即可【解答】解：由题意，设至少要洗n次，则(13)n1%(nN*)，-nlog310-2(nN*)，n5，故答案为513.【答案】506【解析】【分析】本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是把实际问题转
11、化为数学问题进行求解日销售额h(t)=f(t)g(t)，利用配方法可求这种商品的日销售额的最大值【解答】解：由题意可得，日销售额h(t)=f(t)g(t)=(t+10)(35-t)(0t30,tN)，h(t)=-(t-252)2+20254，t=12或13时，日销售额取得最大值为506元故答案为：50614.【答案】y=180(1+x)10【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，涉及指数函数模型，正确理解题意是解题的关键，属于基础题，由题意，根据1年后的价格，2年后的价格，类推可得10年后的价格【解答】解：1年后的价格为180+180x=180(1+x)(万元)，2年后的价格为180(1+x)
12、+180(1+x)x=180(1+x)(1+x)=180(1+x)2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1+x)10万元15.【答案】y=x2【解析】【分析】本题考查函数增长速度的概念，清楚二次函数、一次函数，以及对数函数增长速度的关系可以知道一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，从而可得出y=x2的增长速度大于y=xlnx的增长速度【解答】解：y=x2=xx，y=xlnx；一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度；xx的增长速度大于xlnx的增长速度；y=x2的增长速度较快故答案为：y=x216.【答案】y=log2x【解析】【分析】本题考查了对数函数与幂函数之间的增长差异，属于
13、基础题作出函数y=log2x与y=x2图象可得答案【解答】解：作出函数y=log2x与y=x2图象：故可得函数y=log2x与y=x2在区间(1,+)上增速较慢的是y=log2x，故答案为：y=log2x17.【答案】2ln21024【解析】【分析】本题考查指数对数的综合应用，涉及利用指数式与对数式的转换解指数方程，对数恒等式及其运算，由题意可得，在函数y=ekt中，当t=0.5时，y=2，可求k的值，然后利用所求的函数解析式可得当t=5时的函数值【解答】解：因为该病菌30分钟可繁殖为原来的2倍，所以在函数y=ekt中，当t=0.5时，y=2，所以2=e0.5k，k=2ln2，y=e2tln2
14、当t=5时，y=e25ln2=e10ln2=eln210=210=1024，故答案为2ln2；102418.【答案】解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元【解析】本题考查函数模型的应用，根据题目条件列表观察即可19.【答案】解：(1)P1：y1=axn，过点(1,54)，(4,52)，54=a52=a4na=54n=12，y1=54x，P2：y2=bx+c，过点(0,0)，(4,1)，c=0b=14，y2=14x.x0,+)(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为10-x万元，总利润为y万元则y=54x+14(10-x)=-14(x-52)
15、2+6516，当且仅当x=52即x=254=6.25时，ymax=6516，此时投资乙商品为10-6.25=3.75万元，答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润【解析】(1)根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式(2)将企业获利表示成对产品甲投资x的函数，将函数配方转化为关于x的二次函数，求出对称轴，求出函数的最值本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关20.【答案】解：曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x，曲
16、线C2对应的函数是h(x)=x12，曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1由题图知，当xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当fxf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x)【解析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图像以及性质，属于中档题由指数函数、对数函数、幂函数的图像特征进行判断，由性质得增长21.【答案】解：(1)由题意得G(x)=3+x，又R(x)=-0.4x2+4.2x+0.2(0x5),11.2(x5),f(x)=R(x)-G(x)=-0.4x2+3.2x-2.8,0x5,8.2-x,x5.(2)当x5时，函数y=f(x)单调递减，f(x)5即可得到；(2)分别讨论0x5，x5的函数的单调性，即可得到最大值
