1、5.2.1三角函数的概念1|三角函数的定义1.设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).(1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数 ,记作sin,即y=sin;(2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数 ,记作cos,即x=cos;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切 ,记作tan,即=tan(x0).=tan(x0)也是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切函数.由此我们可以推广到一般情况:设是一个任意角,在的终边上任取一点P(异于原点),其坐标为(x,y),且OP=r=(O为坐标原点),则sin=,cos=yxyxyx22xyyr ,tan
2、=(x0).2.正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.正弦函数y=sin x,定义域为 R ;余弦函数y=cos x,定义域为 R ;正切函数y=tan x,定义域为 .xryx|,Z2x xkk1.图形表示2.记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.2|三角函数值在各象限的符号sin(+k2)=sin ,cos(+k2)=cos ,tan(+k2)=tan ,其中kZ.3|公式一4|特殊角的三角函数值0sin 010-1cos 10-10tan 01-1-06432233456321222323222123222121222323333331.三角函数值的大小与点P(x,y)在终
3、边上的位置无关.()2.若sin 0,则是第一或第二象限角.()提示:若角的终边落在y轴的非负半轴上,也有sin 0,此时不是第一或第二象限角.3.终边相同的角的同名三角函数值相等.()4.若角是第二象限角,且P(x,y)是其终边上异于原点的一点,则cos=.()提示:根据三角函数的定义可知cos=,这里有x0),则sin=,cos=,tan=.当已知的终边上一点求的三角函数值时,用该方法更方便.2.当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.3.三角函数值是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角的终边位置决定,即三角函数值的大小只
4、与角有关.22xyyrxryx(1)求=-的正弦、余弦和正切值;(2)已知角终边上一点P(x,3)(x0),且cos=x,求sin,tan 的值.561010思路点拨(1)作单位圆,利用三角函数的定义求解;(2)利用cos=x求出x,利用三角函数的定义求解.|xOP1010解析 (1)如图,在直角坐标系中作=-,则的终边与单位圆的交点坐标为,所以sin=-,cos=-,tan=.(2)由题意知r=|OP|=,由三角函数的定义得cos=.因为cos=x,所以=x,解得x=0或x=1.又因为x0,所以x=1.5631,2256125632563329x xr29xx 101029xx 1010当x
5、=1时,P(1,3),此时sin=,tan=3.当x=-1时,P(-1,3),此时sin=,tan=-3.223133 101031223(1)33 101031(1)判断sin 2cos 3tan 4的符号;(2)若sin tan 0,且cos tan 0,cos 30,所以sin 2cos 3tan 40,知sin 与tan 同号,故是第一或第四象限角,由cos tan 0,知cos 与tan 异号,故是第三或第四象限角.综上可知,是第四象限角,所以sin 0,所以sin cos 0.2|公式一的应用1.公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等.利用它可将任意角的三角函数值,转化为0
6、,2)范围内的角的三角函数值,再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的.2.利用公式一化简求值的步骤:(1)定形:将已知的任意角写成2k+的形式,其中0,2),kZ.(2)转化:根据公式一,转化为求角的某个三角函数值.(3)求值:求出角的三角函数值.计算下列各式的值:(1)sin(-1 395)cos 1 110+cos(-1 020)sin 750;(2)sin+cos tan 4.116125思路点拨利用公式一,把角化为0,2)范围内的角,再利用特殊角的三角函数值求解.解析 (1)原式=sin(-4360+45)cos(3360+30)+cos(-3360+60)sin(2360+30)=sin 45cos 30+cos 60sin 30=+=+=.(2)原式=sin+costan(4+0)=sin+cos tan 0=.2232121264141642622562512
