1、第五章 三角函数 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络本章知识网络重点重点 1 正确理解角的概念，三角函数概念，有效掌握弧度制公式及其应用正确理解角的概念，三角函数概念，有效掌握弧度制公式及其应用【三角函数值与象限关系】例 1（1）若tan0，则（）A.sin0 B.cos0 C.sin20 D.cos20解：由tan0，可知在第一或第三象限，此时sin与cos同号，所以sin22sincos0，故选 C（2）已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角 B第二或第三象限角 C第三或第四象限角 D第一或第四象限角解：costan0,cos与tan异号，故选
2、C【角度与弧度的认知】（3）将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是()A.3 B3 C.6 D6解：分针拨快 10 分钟，决定了分针转动的方向是顺时针，即转过的弧度数是负的因为分针拨快 60 分钟时转过弧度数为2，所以拨快 10 分钟转过的弧度数为3，故 选 B（4）已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为 150 mm，从动轮N的直径为 300 mm，若主动轮M顺时针旋转2，则从动轮N逆时针旋转()A.8 B.4 C.2 D解：设从动轮N逆时针旋转rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以150300222，解得4，故选 B.【弧
3、度制下的扇形公式】（5）已知扇形的周长C为 16 cm，求当它的半径R和圆心角取何值时，才能使扇形的面积S最大？最大面积是多少？解：由题意可知216162RllR ，则方法一：2211(162)8(4)1622SlRR RRRR 当4R 时，扇形的面积最大，最大面积为162cm，此时162 424lr 方法二：21111 1622(162)(162)2()422442RRSlRR RRR当且仅当1622RR，即4R 时，扇形的面积最大，最大面积为162cm，此时162 424lr 重点重点 2 汇聚三角公式，熟悉三角恒等变换的各种方式汇聚三角公式，熟悉三角恒等变换的各种方式【同角三角函数的基本
4、关系】例 2（1）若2sincos5，则tan（）A.12 B.2 C.12 D.2解：由已知cos2sin5，代入22sincos1中得22sin(2sin5)1，即2(5sin2)02 55sin,cos55 ，所以tan2，故选 B【诱导公式及其应用】（2）（多项选择题）（多项选择题）已知sin(2)23sincos1cos(),(0,),则的值为（）A.3 B.23 C.43 D.6 解：由已知条件得cos23sincos1cos.即23sin2sin0.解得3sin2或sin0 由0知3sin2，从而3或23，故选 AB【两角和与差的正弦、余弦与正切公式及其应用】（3）若13(0,)
5、,(,0),cos(),cos()2243423，则cos()2（）A.33 B.33 C.5 39 D.69解：cos()cos()()cos()cos()sin()sin()24424424423(,),(,)444424 2，所以2 26sin(),sin()43423132 265 3cos()233339，故选 C（4）已知2tantan()74，则tan（）A.2 B.1 C.1 D.2解：2tantan()74，tan12tan71tan，令tan,1tt，则1271ttt，整理得2440tt，解得2t，即tan2，故选 D.（5）已知tan()2,4则2sinsincos1的值
6、为（）A3B45 C85D165解：方法一：由tan()24，得tan121tan，解得tan3,2sinsincos1 22222sinsincossincossincos222tantan18tan15，故选 C方法二：由tan()24，得tan3,可求得31sin,cos1010 所以22331168sinsincos1()()1105101010 ，故选 C（6）已知sinsin()13，则sin()6（）A.12 B.33 C.23 D.22解：由已知得13sinsincos122，即33sincos122，313sincos223，所以3sin()63，故选 B.【二倍角的正弦、余
7、弦与正切公式及其应用】（7）若1tan2，则cos22sin2（）A.2 B.1 C.1 D.2 解：方法一：由1tan02，在第一或第三象限，得52 5sin,cos55或52 5sin,cos55 ，所以2cos22sin22cos12 2sincos 22 552 52()141555 ，故选 B或者：所以2cos22sin212sin2 2sincos 2552 512()41555 ，故选 B【说明】52 5sin,cos55 代入结果也相同.方法二：2222cossin2 2sincoscos22sin2sincos，2222111()41tan4tan2211tan1()12 ，
8、故选 B（8）若cos(0,),tan222sin，则tan（）A 1515 B.55 C.53 D.153解：由已知，方法一：2sin22sincoscostan2cos21 2sin2sin方法二：222222sin22tan2sincos2sincoscoscostan2sin1tancossin1 2sin2sin1cos(0,)2，cos0，22sin11 2sin2sin，解得1sin4，215cos1 sin4，sin15tancos15.故选 A.【辅助角公式及其应用】.（9）函数1()sin()cos()536f xxx的最大值为（）A65 B1 C35 D15 解：方法一：
9、化简1 13316()(sincos)cossinsin(),5 222253f xxxxxxmax6()|5f x，故选 A方法二：利用诱导公式cos()cos()cos()sin()66233xxxx得116()sin()cos()sin()sin()sin()53653353f xxxxxx，max6()|5f x，故选 A（10）若02，且sin3cos，则的取值范围是()A.(,)3 2 B.(,)3 C.4(,)33 D.3(,)32解：由已知sin3cos0，得sin()03，所以22,3kkkZ 即422,33kkkZ，又02 所以433，故选 C重点重点 3 熟悉三角函数的图
10、象和性质，掌握图象变换及其应用熟悉三角函数的图象和性质，掌握图象变换及其应用【三角函数的性质及其应用】例 3（1）若函数21()sin()2f xxxR，则()f x是（）A最小正周期为2的奇函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数 D最小正周期为的偶函数 解：112()(1 cos2)cos2,222f xxx T，且为偶函数，故选 D（2）设0a，对于函数sin()(0)sinxaf xxx，下列结论正确的是（）A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值解：因为sin()1sinsinxaaf xxx，由(0,)x得sin(0,1x又
11、0a，所以当sin1x 时，()f x有最小值，无最大值，故选 B（3）若动直线xa与函数()sinf xx和()cosg xx的图象分别交于,M N两点，则|MN的最大值为（）A1 B2 C3 D2解：方法一：在同一坐标系中作出()sinf xx和()cosg xx在0,2 的图象，可知在34x或74x时，max|2MN，故选 B方法二：|sincos|2sin()|24MNxxx，取等号时有最大值，故选 B（4）（多项选择题）（多项选择题）设函数()cos()3f xx，则下列结论正确的的是（）A()f x的一个周期为2 B()f x的图象关于直线对称C()f x的一个零点为6x D()f
12、 x在(,)2单调递减解：由已知函数的周期为2(,0)TkkZ k，当1k 时，2T，故 A 正确；88()cos()cos31333f，故 B正确，或者或者：()f x的对称轴为3xkkZ，即()3xkkZ，当3k 时为83x，故 B 正确；因为3()cos()cos06632f，所以6x是()f x的一个零点，故 C 正确或者或者：使()cos()cos()033f xxx，所以,()326xkxkkZ，故 C正确，利用五点作图法画出函数()cos()3f xx的图象，易知 D 错误，综上，选择 ABC（5）关于函数1()sinsinf xxx有如下四个命题：()f x的图象关于y轴对称
13、()f x的图像关于原点对称()f x的图像关于直线2x对称 ()f x的最小值为 2其中所有真命题的序号是_解：由已知1()sinsinf xxx是奇函数，图象关于原点对称，所以命题错误；命题正确；83x对于命题，11()sin()cos22cossin()2fxxxxx，11()sin()cos22cossin()2fxxxxx，则()()22fxfx，所以，函数()f x的图象关于直线2x对称，命题正确；对于命题，当0 x时，sin0 x，则1si)n02sin(xf xx，命题错误.答案：.【正弦型、余弦型等函数图象的变换】（6）为得到函数cos(2)3yx的图象，只需将函数sin2y
14、x的图像（）A向左平移512个长度单位 B向右平移512个长度单位C向左平移56个长度单位 D向右平移56个长度单位解：首先化成同名函数，再进行图象变换方法一：化为正弦：55cos(2)sin(2)sin(2)sin2()332612yxxxx，故选 A方法二：化为余弦：sin2cos(2)cos(2)cos2()224yxxxx，又cos(2)cos2()36yxyx，由46xx ，即512321212xx 向左平移个单位，故选 A（7）若函数()sin()(0)f xx 的部分图象如图，则（）A.5 B.4 C.3 D.2解：根据正弦型函数图象关系，0 x到04x的距离为周期的一半所以00
15、2(),42442TxxT，故选 B.（8）函数()sin(),(,f xAxA 是常数，0,0)A的部分图象如图所示，则(0)f_.解：由图可知：72,2,41234TAT利用五点作图法知 2,33()2sin(2)3f xx6(0)2sin32f，答案：62（9）将函数sin3cos()yxx xR的图象向左平移(0)m m 个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A.12 B.6 C.3 D 65解：由已知得2sin()3yx，向左平移m个单位得2sin()3yxm，所得到的图象关于y轴对称，则为偶函数，即余弦函数，所以,()326mkmkkZ，所以6m为最小，故选 B
16、.（10）若将函数2sin2yx的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A.()26kxkZ B.()26kxkZ C.()212kxkZ D.()212kxkZ解：由已知将函数2sin2yx的图象向左平移12个单位长度得2sin2()2sin(2)126yxx其对称轴为2,62xkkZ，即,26kxkZ，故选 B二、拓展思维，熟知方法重点重点 4 三角函数与其它应用的交融三角函数与其它应用的交融【三角函数与函数零点】例 4（1）函数()2sinsin2f xxx在0,2 的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解：由()2sinsin22sin2sincos2sin(1
17、 cos)0f xxxxxxxx，得sin0 x 或cos1x，0,2 x，0 x、或2()f x在0,2 的零点个数是 3，故选 B（2）设函数()sin()(0)5f xx，已知()f x在0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：()f x在(0,2)有且仅有 3 个极大值点 ()f x在(0,2)有且仅有 2 个极小值点()f x在(0,)10单调递增 的取值范围是12 29,)5 10，其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.解：当0,2 x时，,2555x，()f x在0,2 有且仅有 5 个零点，（锁定右端点的位置）5265，1229510，故正确，由5265，知,2555x时
18、，令59,5222x时取得极大值，故正确；由于极小值点不确定，可能是 2 个也可能是 3 个，故不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，对于，当(0,)10 x时，(2),5510 x，若()f x在(0,)10单调递增，则(2)102，即3，1229510，故正确故选 D（3）函数()cos(3)6f xx在0,的零点个数为_解：190,3,666xx,由已知，有3,62x或33,62x或53,62x 解得47,999x，所以零点个数为 3 个，或者作图分析看满足条件的点的个数更快！（4）在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是_.
19、解：方法一：由已知得sinsin()2sinsinABCBC，即tantan2tantanBCBC又tantantantan()1tantanBCABCBC ，所以tantantantantantanAABCBC 所以tantantantantantantan2tantan2 2tantantanABCABCABCABC，所以tantantan8ABC 当且仅当tan2tantanABC时取等号，即最小值为 8.方法二：由sin2sinsinABC得sincoscossin2sinsinBCABBC两边同时除以coscosBC得tantan2tantanBCBC又tantantantan()1
20、tantanBCABCBC ，所以tantantantantantantan1tantanBCABCBCBC 令tantantBC，则tantan2tantan2BCBCt，由已知，tan0,tan0,tan0ABC所以tantantan01tantan0,10,11tantanBCABCttBC 所以222tantantan11ttABCttt 2222tantantan11111()24ABCttt ，2111111,(0,1),()244ttt 当2t 时，tantantanABC的最小值是 8方法三：令tantan,tantan2mBCmBC21tantantan2212mmABCmm
21、m，令2um，则2mu2(2)44tantantan4248uABCuuuuu当且仅当4uu，即2u 时取等号，所以tantantanABC的最小值是 8三、感悟问题，提升能力1.函数()sin(2)2sincos()f xxx的最大值为_.解：由已知()f x sin()2sincos()xxsincos()xcossin()x2sincos()xcossin()xsincos()x=sin()x=sin x，即()sinf xx，因为xR，所以()f x的最大值为 1.答案：12.已知函数()2cos()f xx的部分图象如图所示，则()2f_.解：由已知，得31332,241234TTT
22、，()2cos(2)f xx方法一：因为232，所以6，于是()2cos(2)6f xx 所以5()2cos(2)2cos32266f 方法二：当1312x时，131322,2()126xkkkZ，令1k 可得：6，所以()2cos(2)6f xx，5()2cos(2)2cos32266f.答案：3.3.如果函数3cos(2)yx的图象关于点4(,0)3中心对称，那么|的最小值为（）A.6 B.4 C.3 D.2 解：小心了，这是余弦函数的题，从而4132()()326kkZkkZ当2k 时，|的最小值为64.已知函数()sin(2)f xx，其中为实数，若()|()|6f xf对xR恒成立，
23、且()()2ff，则()f x的单调递增区间是（）A.,()36kkkZ B.,()2kkkZC.2,()63kkkZ D.,()2kkkZ解：由()()2ff，（kZ），可知sin()sin(2)，得sinsin，即sin0，方法一：若()|()|6f xf对xR恒成立，则|()|sin()|163f，所以,32kkZ，,6kkZ.所以72,6kkZ，代入()sin(2)f xx，得()sin(2)6f xx，由3222262kxk，得263kxk，故选 C.方法二：由|()|sin()|163f，得sin()13，所以232k，即26k 或232k，即526k，当sin0时，有526k，5
24、()sin(2)6f xx由5222226263kxkkxk，得263kxk，故选 C.5.已知函数()2co()sf xx的部分图象如图所示，则满足条件74()()()()043f xff xf的最小正整数 x 为_解：由已知，得31332,241234TTT，()2cos(2)f xx因为232，所以6，于是()2cos(2)6f xx 所以7711()2cos(2()2cos()14463f，()2cos()032f所以()1)()0f xf x，可得()1f x 或()0f x 因为(1)2cos(2)2cos()1626f，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x，
25、即cos(2)06x，解得,36kxkkZ，令0k，可得536x，可得x的最小正整数为 2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x，又(2)2cos(4)06f，符合题意，可得x的最小正整数为 2.答案：2.6.已知点1122(,(),(,()A xf xB xf x是函数()2sin()(0,0)2f xx 图象上的任意两点，角的终边经过点(1,3)P，且当12|()()|4f xf x时，12|xx的最小值为3.（1）求函数()f x的解析式；（2）求函数()f x的单调递增区间；（3）当0,6x时，不等式()2()mf xmf x恒成立，求实数m的取值范围解：（1）因为角的
26、终边经过点(1,3)P，所以tan3 又02，所以3.因为当12|()()|4f xf x时，12|xx的最小值为3.所以23T，即223，所以3，所以()2sin(3)3f xx（2）由232,232kxkkZ，得252,183183kkxkZ，故函数()f x的单调递增区间为252,()183183kkkZ（3）当0,6x时，3()1f x，于是2()0f x，则“()2()mf xmf x恒成立”等价于“()212()2()f xmf xf x 恒成立”由3()1f x，得()2()f xf x的最大值为13.所以实数m的取值范围是1,)3.7.设函数()sin()sin()62f xx
27、x，其中03，已知()06f.（1）求；（2）将函数()yf x的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位长度，得到函数()yg x的图象，求()g x在3,44上的最小值解：（1）因为()sin()sin()62f xxx31sincoscos22xxx 33sincos3sin()223xxx 所以()3sin()0663f，即,63kkZ，所以62,kkZ又03，所以2.（2）由（1）得()3sin(2)3f xx，将函数()yf x的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)得13sin(2)3sin()233yxx，再将得到的图象
28、向左平移4个单位长度，得3sin()3sin()4312yxx所以()3sin()12g xx因为3,44x，所以2,1233x，所以3sin(),1122x 所以当123x，即4x 时，()g x取得最小值32.8.已知00,2x x是函数22()cos()sin(0)6f xxx的两个相邻的零点（1）求()12f的值；（2）若关于x的方程4 3()13f xm在0,2x上有两个不同的解，求实数m的取值范围解：（1）由已知11()1 cos2()(1 cos2)262f xxx 1cos(2)cos223xx333sin2cos2sin(2)4423xxx由题意可知，00()222Txx，所
29、以T，22，即1，所以3()sin(2)23f xx所以333()sin(2)sin122123222f（2）原方程可化为4 33sin(2)1323xm，即2sin(2)13xm设2sin(2)3yx，由0,2x，得42,333x，所以3sin(2),132x 当0 x 时，2sin33y，当12x时，y的最大值为 2，要使方程在0,2x上有两个不同的解，需使312m，即311m，所以实数m的取值范围是 31,1).夯实、拓展、感悟与提升第五章 三角函数 章节复习 目录 CONTENT本本章章知知识识网网络络一、夯实双基，逐层认知重点重点1 正确理解角的概念，三角函数概念，正确理解角的概念，
30、三角函数概念，有效掌握弧度制公式及其应用有效掌握弧度制公式及其应用 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点2 汇聚三角公式，熟悉三角恒等变换的各种方式汇聚三角公式，熟悉三角恒等变换的各种方式 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点3 熟悉三角函数的图象和性质，熟悉三角函数的图象和性质，掌握图象变换及其应用掌握图象变换及其应用 目录
31、CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点4 三角函数与其它应用的交融三角函数与其它应用的交融二、拓展思维，熟知方法 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT三、感悟问题，提升能力 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENTA good beginning is half done良好的开端是成功的一半
