1、第十一讲 函数与方程第十一讲 函数与方程一、知识点详解一、知识点详解知识点 1 函数的零点与方程的根知识点 1 函数的零点与方程的根对于一般函数)(xfy)(xfy，我们把使得0)(xf的实数x，叫做函数)(xfy 的零点。这样函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf的实数解，也就是函数)(xfy 的图像与x轴的公共点的横坐标。重点强调重点强调：零点不是点，是一个实数；等价关系：)(xfy 函数有零点0)(xf有实数根函数)(xfy 图像与x轴有公共点；求函数零点的步骤：令 0)(xf解方程 0)(xf写出零点.知识点 2 零点存在定理知识点 2 零点存在定理 如 果 函 数)(xfy 在 区
2、 间ba,上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线，并 且 有0)()(bfaf，那么函数)(xfy 在区间ba,内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根.备注：存在性定理只能判出有零点，定理不成立不能说没有零点；不能判出零点的个数；知识点 3 用二分法解方程近似根知识点 3 用二分法解方程近似根二分法求零点：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步
3、骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax）；若)(1xf)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx）；（4）判断是否达到精度；即若|ba，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤 24.注意：注意：二分法的条件)(af)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.判断函数判断函数 yf x零点个数的常用方法：零点个数的常用方法：(1)直接法：令 0,f x 则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2
4、)零点存在性定理法：判断函数在区间,a b上是连续不断的曲线，且 0,f a f b 再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三、例题解析三、例题解析例例 1：函数零点所在区间：函数零点所在区间（1）方程3lgxx的解所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)
5、【答案】C【解析】解：构建函数()3f xxlgx，函数的定义域为(0,)f（2）210lg，f（3）30lg方程3xlgx的解所在区间是(2,3)（2）方程260 xex的解一定位于区间()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(5,6)【答案】A【解析】解：令()26xf xex，则f（1）40e，f（2）220e，f（1）f（2）0，方程260 xex的解一定位于区间(1,2)（3）已知2()22xf xx，则在下列区间中，方程()0f x 有实数解的是()A(3,2)B(1,0)C(2,3)D(4,5)【答案】B【解析】解：13(1)2022f，(0)0110f ，在(1,0)内方程(
6、)0f x 有实数解（4）下列函数图象中，能用二分法求零点的是()ABCD【答案】【答案】故选：C【解析】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除AB 和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除 只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，例例 2：函数零点个数：函数零点个数（1）函数()24f xmx，若在 2，1内恰有一个零点，则m的取值范围是()A 1，2B1，)C(，21，)D 2，1【答案】C【解析】解：函数()24f xmx，若在 2，1内恰有一个零点，可得：(2)ff（1）0并且
7、0m，可得：(44)(24)0mm，解得(m，21，)（2）已知函数21,0()4,1xxf xxx，若()1f x ，则【答案】故答案为：2或5【解析】解：函数21,0()4,1xxf xxx，若()1f x ，可得11x ，解得2x 1x 时，241x，解得5x（3）函数2()25f xlnxxx的零点的个数是()A0B1C2D3【答案】C【解析】解：定义域为(0,)，求零点个数，即求225lnxxx解的个数2(1)6lnxx，可知图象有两个交点，即2()25f xlnxxx有两个零点例例 3：数形结合、函数零点综合：数形结合、函数零点综合已知函数221,0()2,0 xxf xxx x，
8、若函数()()g xf xm有三个零点，则实数m的取值范围是()A(,0)B(1,)C(0,1)D0，1【答案】C【解析】解：画出函数221,0()2,0 xxf xxx x的图象，如下图函数()()g xf xm有 3 个零点即()yf x与ym有 3 个交点即可根据图象可知01m三、课堂练习三、课堂练习A 级级1函数2()1f xlnxx的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)2.函数121xyx的零点为0 x，则0 x所在的区间为()A(1,0)B1(0,)2C1(2，1)D3(1,)23.设函数223,1()22,1xxf xxxx，若0()1f x，
9、则0 x等于()A2B1C1D2 或14函数221logyxx 的零点所在的区间为()A(0.5,2)B(0.5,1)C0.5，1D0.5，25下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()ABCDB 级级1函数241()lnf xxex在区间(k，1)()kkN内有零点，则(k)A1B2C3D42.已知函数21()()log3xf xx，若实数0 x是方程()0f x 的解，且100 xx，则1()f x的值()A等于 0B不大于 0C恒为正值D恒为负值3 若函数22()21f xxmxm在区间0，1上恰有一个零点，则m的取值范围为()A 1，01，2B 2，10，1C 1，1D 2，24设函
10、数3yx与1()2xy 的图象的交点为0(x，0)y，则0 x所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)5已知关于x的函数2(6)2(1)1ymxmxm恒有零点（1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为4，求m的值C 级级1定义一种运算,a a babb ab，若2()2|43|xf xxx，当()()g xf xm有 5 个零点时，则实数m的取值范围是()A(0,1)B0，1C(1,3)D1，32函数2()log2f xxx的零点所在区间为m，1()mmZ，则m的值为()A1B0C1D23已知函数()f x是R上的偶函数，且(1)(1)fxfx，当0
11、x，1时2()f xx，则函数()yf xlgx的零点有（个)四、课后作业四、课后作业A 级级1.函数()25xf xx的零点所在区间为()A(2,3)B(1,2)C(0,1)D(1,0)2.函数()4xf xex的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)3函数2233(2)()(1)(2)xxf xlogxx，若01)(af，则a的值是()A2B1C1 或 2D1 或24.三个函数()22xf xx，3()8g xx，2()log2h xxx的零点依次为a，b，c，则(abc)A6B5C4D3B 级级1已知函数()3f xax在区间0，2上有零点，则实数a的取值范
12、围是2已知函数()2xf xm在(1,2)x内有零点，则m的取值范围是3若函数2()logf xxxk在区间(2,3)上只有一个零点，则k的取值范围是4已知函数2,0()21,0 xxxf xx，若函数()()g xf xb有两个零点，则实数b的取值范围是()A01bB0b C20b D10b C 级级1已知函数32,2()(1),2xf xxxx，若关于x的方程()f xk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是2.已知函数1|1|,(,2)()1(2),2,)2xxf xf xx，则函数()()1F xxf x的零点个数为()A7B6C5D4第十一讲 函数与方程第十一讲 函数与方程一、知识点
13、详解一、知识点详解知识点 1 函数的零点与方程的根知识点 1 函数的零点与方程的根对于一般函数)(xfy)(xfy，我们把使得0)(xf的实数x，叫做函数)(xfy 的零点。这样函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf的实数解，也就是函数)(xfy 的图像与x轴的公共点的横坐标。重点强调重点强调：零点不是点，是一个实数；等价关系：)(xfy 函数有零点0)(xf有实数根函数)(xfy 图像与x轴有公共点；求函数零点的步骤：令 0)(xf解方程 0)(xf写出零点.知识点 2 零点存在定理知识点 2 零点存在定理 如 果 函 数)(xfy 在 区 间ba,上 的 图 象 是 连 续 不 断 的
14、一 条 曲 线，并 且 有0)()(bfaf，那么函数)(xfy 在区间ba,内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根.备注：存在性定理只能判出有零点，定理不成立不能说没有零点；不能判出零点的个数；知识点 3 用二分法解方程近似根知识点 3 用二分法解方程近似根二分法求零点：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf
15、0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax）；若)(1xf)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx）；（4）判断是否达到精度；即若|ba，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤 24.注意：注意：二分法的条件)(af)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.判断函数判断函数 yf x零点个数的常用方法：零点个数的常用方法：(1)直接法：令 0,f x 则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间,a b上是连续
16、不断的曲线，且 0,f a f b 再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三、例题解析三、例题解析例例 1：函数零点所在区间：函数零点所在区间（1）方程3lgxx的解所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】C【解析】解：构建函数()3f xxlgx
17、，函数的定义域为(0,)f（2）210lg，f（3）30lg方程3xlgx的解所在区间是(2,3)（2）方程260 xex的解一定位于区间()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(5,6)【答案】A【解析】解：令()26xf xex，则f（1）40e，f（2）220e，f（1）f（2）0，方程260 xex的解一定位于区间(1,2)（3）已知2()22xf xx，则在下列区间中，方程()0f x 有实数解的是()A(3,2)B(1,0)C(2,3)D(4,5)【答案】B【解析】解：13(1)2022f，(0)0110f ，在(1,0)内方程()0f x 有实数解（4）下列函数图象中，能用二分
18、法求零点的是()ABCD【答案】【答案】故选：C【解析】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除AB 和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除 只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，例例 2：函数零点个数：函数零点个数（1）函数()24f xmx，若在 2，1内恰有一个零点，则m的取值范围是()A 1，2B1，)C(，21，)D 2，1【答案】C【解析】解：函数()24f xmx，若在 2，1内恰有一个零点，可得：(2)ff（1）0并且0m，可得：(44)(24)0mm，解得(m，21
19、，)（2）已知函数21,0()4,1xxf xxx，若()1f x ，则【答案】故答案为：2或5【解析】解：函数21,0()4,1xxf xxx，若()1f x ，可得11x ，解得2x 1x 时，241x，解得5x（3）函数2()25f xlnxxx的零点的个数是()A0B1C2D3【答案】C【解析】解：定义域为(0,)，求零点个数，即求225lnxxx解的个数2(1)6lnxx，可知图象有两个交点，即2()25f xlnxxx有两个零点例例 3：数形结合、函数零点综合：数形结合、函数零点综合已知函数221,0()2,0 xxf xxx x，若函数()()g xf xm有三个零点，则实数m的
20、取值范围是()A(,0)B(1,)C(0,1)D0，1【答案】C【解析】解：画出函数221,0()2,0 xxf xxx x的图象，如下图函数()()g xf xm有 3 个零点即()yf x与ym有 3 个交点即可根据图象可知01m三、课堂练习三、课堂练习A 级级1函数2()1f xlnxx的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)【答案】B【解析】解：函数2()1f xlnxx在(1,)是增函数，在(1,)上是连续函数，因为f（2）220ln，f（3）2303ln，所以f（2）f（3）0 所以函数的零点所在的大致区间是(2,3)2.函数121xyx的零点为0
21、 x，则0 x所在的区间为()A(1,0)B1(0,)2C1(2，1)D3(1,)2【答案】B【解析】解：设1()21xf xx11(0)20102f ，121121()2102222f 即1(0)()02ff函数的零点01(0,)2x 3.设函数223,1()22,1xxf xxxx，若0()1f x，则0 x等于()A2B1C1D2 或1【答案】D【解析】解：当01x 时，00()23f xx，0231x，02x；当01x 时，2000()22f xxx，200221xx，解得03x（舍去），01x ，故选：D4函数221logyxx 的零点所在的区间为()A(0.5,2)B(0.5,1)
22、C0.5，1D0.5，2【答案】B【解析】解：因为2220.51log 0.5log 0.50，22 1 1log 110 ，又在(0.5,1)上函数221logyxx 的图象是连续不断的一条曲线，所以函数221logyxx 在区间(0.5,1)上存在零点5下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()ABCD【答案】故选：C【解析】只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有CB 级级1函数241()lnf xxex在区间(k，1)()kkN内有零点，则(k)A1B2C3D4【答案】B【解析】解：函数241()lnf xxex，函
23、数为连续函数，由f（2）1144022，f（3）19403及零点定理知，()f x的零点在区间(2,3)上，零点所在的一个区间(k，1)()kkZ是(2,3)2k，2.已知函数21()()log3xf xx，若实数0 x是方程()0f x 的解，且100 xx，则1()f x的值()A等于 0B不大于 0C恒为正值D恒为负值【答案】C【解析】解：方法 1（函数图象法）由()0f x，得21()log?3xx，分别作出函数21(),log?3xyyx的图象，由图象可知，当100 xx时，1211()log?3xx，所以11211()()log?03xf xx方法2:（函数单调性法）因为函数1()
24、3xy 是单调减函数，2log?yx 在(0,)上是增函数，所以根据函数单调性的性质可知，函数21()()log3xf xx，在(0,)上是减函数因为100 xx，所以10()()0f xf x，3 若函数22()21f xxmxm在区间0，1上恰有一个零点，则m的取值范围为()A 1，01，2B 2，10，1C 1，1D 2，2【答案】A【解析】解：令22()210f xxmxm，可得11xm，21xm，函数22()21f xxmxm在区间0，1上恰有一个零点，01 1m或01 1m10m 或12m4设函数3yx与1()2xy 的图象的交点为0(x，0)y，则0 x所在的区间是()A(0,1
25、)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】A【解析】函数3yx与1()2xy 的图象的交点为0(x，0)y，0 x所在的区间是(0,1)5已知关于x的函数2(6)2(1)1ymxmxm恒有零点（1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为4，求m的值【答案】见解析【解析】解：（1）当60m时，6m ，函数为145yx 显然有零点当60m时，6m ，由24(1)4(6)(1)3620 0mmmm，得59m当59m且6m 时，二次函数有零点 综上可得m的范围为(，59（2）设1x，2x是函数的两个零点，则有122(1)6mxxm，1216mx xm41121xx，2(1)41mm
26、，解得3m 综上所述3m C 级级1定义一种运算,a a babb ab，若2()2|43|xf xxx，当()()g xf xm有 5 个零点时，则实数m的取值范围是()A(0,1)B0，1C(1,3)D1，3【答案】A【解析】解：由题意，2()2|43|xf xxx，其图象如下：结合图象可知，()()g xf xm有 5 个零点时，实数m的取值范围是(0,1)，2函数2()log2f xxx的零点所在区间为m，1()mmZ，则m的值为()A1B0C1D2【答案】C【解析】解：当1m ，不满足函数的定义域，所以不正确；当0m 时，函数2()log2f xxx的零点所在区间为0，1，0 x，0
27、 x 时，()0f x，f（1）10 ，不满足题意；当1m时，函数2()log2f xxx的零点所在区间为1，2，f（2）1220，f（1）10 ，满足零点判定定理，所以1m正确；当2m 时，函数2()log2f xxx的零点所在区间为2，3，f（2）1220，f（3）0，不满足零点判定定理，所以2m 不正确；3已知函数()f x是R上的偶函数，且(1)(1)fxfx，当0 x，1时2()f xx，则函数()yf xlgx的零点有（个)【答案】9【解析】解：(1)(1)fxfx，故()f x的图象关于1x 对称，又函数()f x是R上的偶函数，(2)()()f xfxf x，()f x是周期函
28、数，2T，令0y，则()f xlgx，在同一坐标系中作()yf x和ylgx图象，如图所示：故函数()yf xlgx的零点有 9 个，故答案为：9四、课后作业四、课后作业A 级级1.函数()25xf xx的零点所在区间为()A(2,3)B(1,2)C(0,1)D(1,0)答案：B2.函数()4xf xex的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案：B3函数2233(2)()(1)(2)xxf xlogxx，若01)(af，则a的值是()A2B1C1 或 2D1 或2答案：A4.三个函数()22xf xx，3()8g xx，2()log2h xxx的零点依次为a，
29、b，c，则(abc)A6B5C4D3答案：CB 级级1已知函数()3f xax在区间0，2上有零点，则实数a的取值范围是答案：23a2已知函数()2xf xm在(1,2)x内有零点，则m的取值范围是答案：4,23若函数2()logf xxxk在区间(2,3)上只有一个零点，则k的取值范围是答案：3log332，4已知函数2,0()21,0 xxxf xx，若函数()()g xf xb有两个零点，则实数b的取值范围是()A01bB0b C20b D10b 答案：DC 级级1已知函数32,2()(1),2xf xxxx，若关于x的方程()f xk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是答案：2,02.已知函数1|1|,(,2)()1(2),2,)2xxf xf xx，则函数()()1F xxf x的零点个数为()A7B6C5D4答案：C
