1、第四章 指数函数与对数函数 第四章 指数函数与对数函数 章节复习章节复习夯实、拓展、感悟与提升夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知一、夯实双基，逐层认知本章知识网络本章知识网络重点 1 指数、对数及其运算重点 1 指数、对数及其运算例 1（1）20.520371037(2)0.1(2)392748解：原式212322516437()()39102748（）212233251437()()3310348（）59371003=10031648（2）计算66331log 4log 3)(log 122log 2)2（()A0 B1 C2 D4解：原式1226633(log 4log 3)(l
2、og 12log 2)6312(log 2 3)(log)14，故选 B.（3）已知函数24()22xxf x.(1)求12()(),(3)(2)33ffff的值(2)探求()(1)f xfx的值(3)利用(2)的结论求1239899()()().()()100100100100100fffff的值解：(1)122433331224223333124422()()3322222222ff131133121211232642 32(2)644422(3)(2)22222222ff 6662212222(2)122(1)4444()(1)2222242 44xxxxxxxf xfx4212442x
3、xx(3)令1239899()()().()()100100100100100tfffff，则99989721()()().()()100100100100100tfffff所以1992983972()()()()()()100100100100100100tffffff982991.()()()()99100100100100ffff所以123989999()()().()()1001001001001002fffff重点 2 指数函数的概念、图象和性质重点 2 指数函数的概念、图象和性质例 2（1）函数4()394xxf xx的定义域是_解：依题意有40390 xx，解得42xx，所以函数
4、的定义域为2,4)(4,)答案：2,4)(4,)（2）函数|1()13xy 的值域是()A1,)B0,)C(,0 D(1,0解：函数满足()()fxf x，是偶函数，画出函数图象如图所示，所以函数的值域为，(1,0，故选 D（3）若函数()xf xaa的定义域是1,)，则a的取值范围是_解：由已知0 xaa，所以xaa，当1a 时，1x，所以函数定义域为1,)时，1a.答案：(1,)（4）在平面直角坐标系中，若直线ym与函数()|21|xf x 的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是_解：画出函数()|21|xf x 的图象，如图所示：若直线ym与函数()|21|xf x 的图象只有 1 个
5、交点，则1m 或0m，即实数m的取值范围是|1m m 或m0答案：|1m m 或m0（5）函数33xya(0a 且1)a 的图象过定点_解：令30 x，得3,4xy，所以函数33xya的图象过定点(3,4)答案：(3,4)（6）函数xya(0a 且1)a 在0,1上的最大值与最小值的和为 3，则函数21yax在0,1上的最大值是()A6 B1 C3 D32解：因为函数xya在0,1 上是单调函数的，所以最大值与最小值都在端点处取到，故有013aa，解得2a，因此函数21yax即41yx在0,1上单调递增，max4 1 13y ，故选 C重点 3 对数函数的概念、图象和性质重点 3 对数函数的概
6、念、图象和性质例 3（1）函数221()log(4)2xf xxx的定义域是()A.(2,0)(1,2)B.(2,0(1,2)C.(2,0)1,2)D.2,0 1,2解：由已知，需满足210001,(2,0)1,2)22240 xxxxxxxx 且且，故选 C（2）已知函数2()ln(1)1,()4f xxxf a，则()fa_解：因为2222()()ln(1)1ln(1)1ln(1)22f xfxxxxxxx 所以()()2,()()2f afafaf a 答案：2（3）已知函数12()|log|f xx的定义域为1,2m，值域为0,1，则m的取值范围为_解：作出函数()f x的图象如图，可
7、知1()(2)1,(1)02fff，由题意结合图象知12m.答案：1,2（4）已知1,1ab，则函数log()ayxb的图象不经过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：因为1,1ab，所以函数logayx的图象如图所示，向左平移|(|1)bb 个单位可得函数log()ayxb的图象如图由图可知函数log()ayxb的图象不经过第四象限故选 D（5）已知对数函数()logaf xx(0a 且1)a ，且图象过点(9,2)，()f x的反函数记为()yg x，则()g x的解析式是()A()4xg x B()2xg x C()9xg x D()3xg x 解：由已知得log 92a
8、，解得3a，于是3()logf xx，所以()f x的反函数为，()3xg x，故选 D（6）设123log 2,ln2,5abc，则（）A.abc B.bca C.cab D.cba 解：方法一：3log 2a 21log 3,21ln2logbe，而22log 3log1e，所以ab125c15，而2252log 4log 3，所以ca，综上cab，故选 C方法二：3log 2a 21log 3,21ln2logbe，221loglog 32e，2211112log 3log e，121115254c，cab，故选 C方法三：在同一坐标系中作出3log,lnyx yx的图象，由图象关系可知
9、3ln2log 2,ba 又5333312log 25log 2log 2log 31,5aacc，cab，故选 C重点 4 函数与方程重点 4 函数与方程例 4（1）函数21,0()log,0 xxf xx x的所有零点构成的集合为()A1 B 1 C 1,1 D 1,0,1解：当0 x 时，()101f xxx ，当0 x 时，2()log01f xxx，所以函数()f x的所有零点构成的集合为 1,1，故选 C（2）函数2()lnf xxx的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(,)e 解：因为(2)ln2 10,(3)ln3 10ff ，所以(2)(3)0ff
10、，所以()f x在(2,3)内有零点故选 B（3）函数2()2xf xax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)解：易知函数2()2xf xax在区间(1,2)单调递增，依题意，(1)(2)0ff，即2(22)(21)0aa，解得03a，故选 C（4）若0abc，且2bac，则函数2()f xaxbxc的零点的个数是_解：由()0f x 得20axbxc，其中22224430bacbbb ，方程无实解.所以函数2()f xaxbxc无零点答案：0（5）已知01a，则函数|log|xayax的零点的个数是_解：令|log|0|log
11、|xxaayaxax，作出函数|xya与|log|ayx在01a的图象，易知有两个交点.从而函数|log|xayax的零点的个数为 2.答案：2（6）在用二分法求函数()f x零点的近似值时，第一次所取的区间是 2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4 B 2,1 C.5 2,2 D.1,12解：因为第一次所取的区间是 2,4，所以第二次所取的区间可能为 2,1，1,4，所以第三次所取的区间可能为11 2,122，551,422，故选 D（7）用二分法研究函数53()81f xxx的零点时，第一次经过计算得(0)0,(0.5)0ff，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()
12、A(0,0.5),(0.125)fB(0.5,1),(0.25)fC(0.5,1),(0.75)fD(0,0.5),(0.25)f解：因为(1)80f，且(0)0,(0.5)0ff，所以其中一个零点所在的区间为(0.0.5)，第二次应计算的函数值为(0.25)f故选 D.重点 5 函数模型及其应用重点 5 函数模型及其应用例 5 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；（2）计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)(参考数据：9101.0121.113,1.0121.127
13、)解：（1）1 年后该城市人口总数为：100 100 1.2%100(1 1.2%)y 2 年后该城市人口总数为：2100(1 1.2%)100(1 1.2%)1.2%100(1 1.2%)y 3 年后该城市人口总数为：3100(1 1.2%)y；x年后该城市人口总数为：100(1 1.2%)xy.(2)10 年后该城市人口总数为：1010100(1 1.2%)100 1.012112.7y(万人)二、拓展思维，熟知方法重点 6 指数函数、对数函数与其它函数的交融重点 6 指数函数、对数函数与其它函数的交融例 6（1）如果函数()(3),()logxaf xag xx的增减性相同，则a的取值范
14、围是_解：若(),()f x g x均为增函数，则311aa即12a，若(),()f x g x均为减函数，则03101aa无解答案：(1,2)（2）设函数31,1()2,1xxxf xx，若满足()()2f af f a，则a的取值范围是()A.2,13 B.0,1 C.2,)3 D.1,)解：由()()2f af f a得，()1f a 当1a 时，有2231 1,133aaa ；当1a 时，有21,0,1aaa 综上，23a，故选 C.（3）若函数(),()f x g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg xe，则有（）A(2)(3)(0)ffg B(0)(3)(2)g
15、ff C(2)(0)(3)fgf D(0)(2)(3)gff解：用x代换x得：()(),xfxgxe即()()xf xg xe 解得：()2xxeef x，()2xxeeg x，而)(xf单调递增且大于等于 0，1)0(g，(2)(3)ff，故选 D（4）当(,1x 时，不等式2()420 xxmm恒成立，则实数m的取值范围是()A(2,1)B(4,3)C(1,2)D(3,4)解：原不等式变形为21()2xmm，令1()()2xf x，只须2min()|mmf x因为函数1()()2xf x 在(,1 上单调递减，所以min()|(1)2f xf所以2222012mmmmm ，故选 C（5）已
16、知函数()f x为定义在R上的偶函数，且0,x）时，()24xf x，则|(2)0 x f x等于（）A.|2x x 或4x B.|0 x x 或4x C.|0 x x 或6x D.|2x x 或2x 解：因为()f x为偶函数，所以()(|)f xfx，由(2)0(|2|)0f xfx，又()24xf x 在0,）上单调递增，所以|2|2|224022xx，即|2|2,x 所以22x 或22x，即0 x 或4x，故选 B（6）函数()2lnf xx的图象与函数2()45g xxx的图象的交点个数为()A3 B2 C 1 D0解：由已知2()(2)1g xx，所以其顶点为(2,1)，又(2)2
17、ln2(1,2)f，可知点(2,1)位于函数()2lnf xx图象的下方，故函数()f x的图象与函数()g x的图象有 2 个交点故选 B（7）设函数122,1()1 log,1xxf xx x，则满足2)(xf的x的取值范围是（）A.1,2 B.0,2 C.1,)D.0,)解：由已知，1122xx或211 log2xx；由1122xx得01x；由211 log2xx得1x，故选 D.（8）已知函数()|lg|f xx，若0ab，且()()f af b，则2ab的取值范围是（）A.(2 2,)B.2 2,)C.(3,)D.3,)解：因为()()f af b，所以|lg|lg|ab，所以ab(
18、舍去)，或1ba，所以22abaa又0ab，所以01ab，令2()f aaa,由“对勾”函数的性质知函数()f a在(0,1)a上为减函数，所以()(1)3f af，即2ab的取值范围是(3,)，故选 C（9）当(1,2)x时，不等式2(1)logaxx恒成立，则a的取值范围为（）A.1,2 B.2,)C.(1,2)D.(1,2解：令2()(1),()logaf xxg xx，要使(1,2)x时，不等式2(1)logaxx恒成立，只需(1,2)x时，2()(1)f xx的图象在()logag xx的下方即可.当01a时，由图象知不成立当1a 时，由图象知，只需2(2)(2)(21)log 2a
19、fglog 2112aa ，所以(1,2a，故选 D重点 7 复合函数的逐步认知重点 7 复合函数的逐步认知例 7（1）判断221()3xxy的单调性，并求其值域解：令2()2g xxx，又1013，则函数()1()3g xy 与()g x的增减性相反2()(1)1g xx在(,1上单调递减，在(1,)上单调递增，221()3xxy在(,1上单调递增，在(1,)上单调递减又2()(1)11g xx ，所以221110()()333xxy所以函数值域为(0,3（2）函数2log(32)yxx的单调递减区间为_.解：令2()32g xxx，又1，所以log()yg x与()g x的增减性相同，且(
20、)0g x 由2()320(1)(3)013g xxxxxx 又22()32(1)4g xxxx 在(,1上单调递增，结合13x 所以函数log()yg x在(1,1单调递减.答案：(1,1（3）已知函数213()log(3)f xxaxa在区间2,)上是减函数，则实数a的取值范围（）A.(,4 B.(4,4 C.(0,12)D.(0,4解：令2()3g xxaxa，又1013，则13()log()f xg x与()g x的增减性相反，所以只须()g x在2,)单调递增且()0g x，2442(2)0aag ，故选 B三、感悟问题，提升能力三、感悟问题，提升能力1.已知函数22|,2()(2)
21、,2xxf xxx，()3(2)g xfx，则函数()()yf xg x的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解：方法一：由已知可得22|2|,0(2),0 xxfxxx21|2|,0()3(2)3,0 xxg xfxxx，作出函数图象如图所示函数()()yf xg x的零点个数即为函数()f x与()g x图象的交点个数，有两个交点，故选 A方法二：当22x，即0 x 时,2(2)fxx，2()()1|yf xg xxx 的零点为152x；当022x，即02x时，(2)2|2|fxxx，()()2|31yf xg xxx 没有零点；当20 x，即2x 时,(2)2|2|4fxxx，2
22、2()()(2)4355yf xg xxxxx有一个零点，综上，函数()()yf xg x有两个零点.2.已知()f x为定义在区间(,0)(0,)上的偶函数，当(0,)x时，2()logf xx.（1）当(,0)x 时，求函数()f x的解析式；（2）在给出的坐标系中画出函数()f x的图象，写出函数()f x的单调区间，并指出单调性解：（1）设(,0)x，则(0,)x，由已知2()log()fxx，又()f x为定义在区间(,0)(0,)上的偶函数，得()()fxf x，所以2()log()f xx（(,0)x）.（2）由（1）可得函数图象如图所示所以()f x的单调增区间是(0,)，单调
23、减区间是(,0)3.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常排气 4 分钟后测得车库内一氧化碳浓度为 64 ppm(ppm 为浓度单位，1 ppm 表示百万分之一)，再过4 分钟又测得浓度为 32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系1()2mtyc(,c m为常数)（1）求,c m的值；（2）若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？解：（1）由题意可得41()642mc 81()322mc 解得1128,4cm所以
24、,c m的值分别为 128，14.（2）由（1）知141128()2ty，令1411128()22t，即18411()()22t，解得32t，即至少排气 32 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态4.对于函数2()()21xf xaxR（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a，使函数()f x为奇函数？证明你的结论解：（1）可知函数()f x为R上的增函数证明如下：函数()f x的定义域为R.12,x xR，且12xx，则121222()()()()2121xxf xf xaa12122(22)(21)(21)xxxx因为2xy 是R上的增函数，12xx，所以12220
25、xx，又12(21)(21)0 xx所以12()()0f xf x，即12()()f xf x，所以函数()f x为R上的增函数（2）xR，()f x是奇函数，(0)0f，即1a.所以存在实数1a，使函数()f x为奇函数证明如下：当1a 时，2()121xf x xR，因为22()()112121xxfxf x 2 222(21)220122121xxxxx所以()f x为奇函数5.设函数()yf x满足lg(lg)lg(3)lg(3)yxx（1）求()f x的表达式及定义域（2）求()f x的值域解：（1）由已知得2lg(lg)lg(3(3)lg(93)yxxxx，所以2lg93yxx，即
26、29310 xxy 又030lg0 xxy，解得031xy 所以293()10 xxf x，定义域为(0,3)（2）令2()93g xxx，(0,3)x，又101，所以()()10g xf x 与()g x的增减性相同 又232727()3()244g xx 所以27()4()1010g xf x 274(1,10所以函数的值域为274(1,10夯实、拓展、感悟与提升第四章 指数函数与对数函数 章节复习 目录 CONTENT本本章章知知识识网网络络一、夯实双基，逐层认知 目录 CONTENT重点重点1 指数、对数及其运算指数、对数及其运算 目录 CONTENT重点重点1 指数、对数及其运算指数
27、、对数及其运算 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点2 指数函数的概念、图象和性质指数函数的概念、图象和性质 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点3 对数函数的概念、图象和性质对数函数的概念、图象和性质 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点4 函数与方程函数与方程 目录 CONTENT 目录
28、CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点5 函数模型及其应用函数模型及其应用 目录 CONTENT二、拓展思维，熟知方法重点重点6 指数函数、对数函数与其它函数的交融指数函数、对数函数与其它函数的交融 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点7 复合函数的逐步认知复合函数的逐步认知 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT三、感悟问题，提升能力 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENTA good beginning is half done良好的开端是成功的一半
