1、第三章 函数的概念与性质 章节复习夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络本章知识网络重点 1 函数的概念，定义域和值域重点 1 函数的概念，定义域和值域例 1.（1）下列图形中可以表示以|01Axx为定义域，以|01Byy为值域的函数的图象是()解：由函数的定义可知选 C.（2）给 出 下 列 三 个 说 法：0()f xx与()1g x 是 同 一 个 函 数；(),yf x xR与(1),yf xxR可能是同一个函数；(),yf x xR与(),yf t tR是同一个函数其中正确的个数是()A3 D2 C1 D0解：错误函数0()f xx的定义域为|0 x x，函数()1
2、g x 的定义域是R，不是同一个函数；正确(),yf x xR与(1),yf xxR两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是相等函数；正确两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是相等函数所以正确的个数有 2 个，故选 B（3）函数215|3xyxx的定义域为_.解：要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50|30 xx，解得5x，且3x 所以函数定义域为|5x x，且3x 或者(,3)(3,3)(3,5（4）已知函数()yf x定义域是 2,3，则(2)yf x的定义域是()A 4,1 B 1,4 C 2,3 D 3,2解：依题意，须有223x，解得41x，故选 A（5）函数1()f x
3、xx的值域是（）A2,)B(,2 C 2,2 D(,22,)解：由已知，函数的定义域为(,0)(0,)方法一：当0 x 时，11()22f xxxxx，当且仅当1xx即1x 时等号成立；当0 x 时，0 x，所以11()2()2()()xxxx，12xx，即()2f x 当且仅当1xx 即1x 时等号成立.故选 D方法二：因为0 x 与1x同号，所以111|()|2|2|f xxxxxxx，当且仅当1|xx即1x 时等号成立，所以()2f x 或()2f x，故选 D重点 2 函数的表示方法重点 2 函数的表示方法例 2（1）函数()f x的图象如图所示，则()f x的定义域是_，值域是_解：
4、由图可知函数()f x 的定义域为 1,0)(0,2，值域为 1,1)（2）已知函数(21)65fxx，则()f x的解析式是_解：方法一：令21xt，则1(1)2xt，所以1()6(1)5322f ttt，所以()32f xx方法二：因为(21)3(21)2fxx，所以()32f xx答案：()32f xx（3）已知2()2()2f xfxxx，则()f x的解析式是_解：由已知2()2()2f xfxxx 以x换x得2()2()2fxf xxx 解得21()23f xxx.答案：21()23f xxx重点 3 函数的单调性与奇偶性重点 3 函数的单调性与奇偶性例 3（1）.如图是函数()y
5、f x的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A1 B2 C3 D4解：分析函数图象，可知函数()yf x的单调递减区间有 2 个，故选 B.（2）已知函数()f x是R上的增函数，(0,1),(3,1)AB是其图象上的两点，则1()1f x 的解集是()A(3,0)B(0,3)C(,13,)D(,01,)解：由已知得(0)1,(3)1ff，所以1()1f x 等价于(0)()(3)ff xf又函数()f x是R上的增函数，所以03x，故选 B（3）已知()f x为R上的奇函数，()g x为R上的偶函数，且它们都恒不为 0，则()()f xg x()A是奇函数 B是偶函数C既不是奇函数也不是
6、偶函数 D奇偶性不能确定解：由已知()(),()()fxf x gxg x，令()()()h xf xg x，则()()()()()()hxfxgxf xg xh x ，所以()h x)是奇函数，故选 A.（4）已知函数22,0(),0axx xf xxx x是奇函数，则a _.解：因为()f x为奇函数，所以(1)(1)0ff，即(1)(1 1)0a ，所以1a.答案：1（5）若奇函数()f x在区间2,5 上的最小值是 6，那么()f x在区间 5,2 上有()A最小值 6 B最小值6 C最大值6 D最大值 6解：因为奇函数()f x在2,5 上有最小值 6，所以可设2,5a，有()6f
7、a，由奇函数的性质，()f x在 5,2上必有最大值，且最大值为()()6faf a ，故选 C（6）若()f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，2()23f xxx，求()f x的解析式解：由已知，当0 x 时，(0)0f，且()()fxf x 当0 x 时，0 x，所以2()()2()3fxxx，即2()23f xxx，所以2()23f xxx 因此2223,0()0,023,0 xxxf xxxxx（7）判断并证明函数1()1f xx 在(0,)上的单调性解：函数1()1f xx 在(0,)上是增函数证明如下：12,(0,)x x，且12xx，则1212211111()()(1)(1
8、)f xf xxxxx 1212xxx x，由12,(0,)x x，得120 x x，又12xx得120 xx 所以12()()0f xf x，即12()()f xf x因此函数1()1f xx 在(0,)上是增函数重点 4 函数的最值问题重点 4 函数的最值问题例 4（1）已知函数2,02()2,21xxxf xxx，则函数()f x的最大值与最小值的差为_解：由已知画出函数()f x的图象，又2211(),0,224yxxxx可知max()(2)2f xf，min11()()24f xf 所以函数()f x的最大值与最小值的差为192()44.答案：94（2）当0,2x时，不等式220 x
9、xa恒成立，则实数a的取值范围是()A(,1 B(,0 C(,0)D(0,)解：由已知得22axx，令2()2f xxx，0,2x，则min()af x因为22()2(1)1f xxxx ，0,2x，所以min()(0)(2)0f xff所以0a，故选 B（3）函数2()2xf xx在区间3,4上的最大值和最小值分别为,M N，则NM()A.23 B38 C.32 D83解：由已知2(2)44()222xf xxx，易知()f x3,4上单调递减，所以maxmin()(3)6,()(4)4Mf xfNf xf，4263NM，故选 A（4）设,0()1,0 xa xf xxxx，当0 x 时()
10、f x取最小值，则实数a的取值范围是()A(,2 B(,2)C(2,)D2,)解：由已知，当0 x 时，1()2f xxx，当且仅当1x 时最小值为 2，当0 x 时，()f x的最小值为(0)fa，依题意，2a，故选 A（5）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为2121Lxx 和22Lx，若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为()A90 万元 B60 万元 C120 万元 D120.25 万元解：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售15x辆，公司获利为 22221919212(15)1930()3024Lxxxxxx 所以当9x 或10
11、 x 时，L最大为 120 万元故选 C（6）已知函数22(),1,)xxaf xxx（1）当12a 时，求函数()f x的最小值；（2）1,)x，()0f x 恒成立，试求实数a的取值范围解：（1）当12a 时，1()22f xxx，12,1,)x x，且12xx，则 12121211()()(2)(2)22f xf xxxxx12121221()2x xxxx x因为121xx，所以12120,210 xxx x 所以12()()0f xf x，即12()()f xf x，因此函数()f x在1,)上单调递增，所以函数min7()(1)2f xf.（2）方法一：依题意22()0 xxaf
12、xx在1,)上恒成立，即220 xxa在1,)上恒成立令2()2g xxxa，1,)x则22()2(1)1g xxxaxa，min()(1)3g xga所以30a，即3a 时，()0f x 恒成立所以实数a的取值范围是(3,)方法二：依题意22()0 xxaf xx在1,)上恒成立，即220 xxa在1,)上恒成立，即22axx 在1,)上恒成立令2()2h xxx，1,)x，则2()(1)1h xx 在单调递减1,)所以max()(1)3h xh，于是3a 所以实数a的取值范围是(3,)重点 5 幂函数形式、图象及性质重点 5 幂函数形式、图象及性质例 5（1）已知21()1af xaxb
13、是幂函数，则ab()A2 B1 C.12 D0解：由已知及幂函数定义，得1,10ab，即1,1ab，所以2ab，故选 A（2）已知幂函数()f xx的图象过点1(2,)4P，试画出()f x的图象，指出该函数的定义域与单调区间解：由已知，1(2)4f，即222，所以2，2()f xx，满足()()fxf x，()f x是偶函数，且图象如图所示，所以函数定义域为(,0)(0)，单调减区间为(0)，单调增区间为(,0)（3）设11,1,32,，则使()f xx为奇函数且在(0)，上单调递减的的值是_解：因为()f xx为奇函数，所以1,1,3，又()f x在(0)，上单调递减，所以1.答案：1（4
14、）若幂函数222(33)mmymmx的图象不过原点，则m的取值是()A12m B1m 或2m C2m D1m 解：由幂函数的定义，可得2331mm，解得1m 或2m.当1m 时，2yx，其图象不过原点；当2m 时，0yx，其图象不过原点，故选 B（5）已知幂函数()f xx的图象过点1(2,)2，则函数()(2)()g xxf x在区间1,12上的最小值是()A1 B2 C3 D4解：由已知得11222，解得1，所以22()1xg xxx 在区间1,12上单调递增，则min1()()32g xg，故选 C.重点 6 函数模型的初步运用重点 6 函数模型的初步运用例 6（1）将进货单价为 40
15、元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x元，利润为y元，则单个涨价50 x元，销量减少10(50)x个，所以 销量为500 10(50)1000 10 xx个，利润为2(40)(1000 10)10(70)90009000yxxx 当70 x 时，max9000y因此售价为 70 元时，利润最大值为 9 000 元（2）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有 3 500 辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元（1）若设自行车停放的
16、辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；（2）若估计前来停放的 3 500 辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于 25%，但不大于 40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围解：（1）由题意得0.30.5(3500)0.21750yxxx，*(xN且03500)x（2）若电动车的辆次数不小于 25%，但不大于 40%，则3500(1 40%)3500(1 25%)x，解得21002625x画出函数0.21750yx（21002625x）的图象，可得函数0.21750yx 的值域是1 225，1 330，即收入在 1 225 元至 1 330 元之间.（3）某公
17、司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：21400,0400()280000,400 xxxR xx，其中x是仪器的月产量（1）将利润表示为月产量的函数()f x；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000100 x，从而2130020000,0400()260000 100,400 xxxf xxx（2）当0400 x时，21()(300)250002f xx 所以当300 x 时，max()25000f x当400 x 时，()60000
18、100f xx是减函数，所以()60000 100 40025000f x 所以当300 x 时，max()25000f x因此每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元（4）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为0.125 万元和 0.5 万元（1）分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；（2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？解：（1）设两类产品的收益与投
19、资额x的函数关系式分别为12()(0),()(0)f xk x xg xkx x依题意，1211(1)0.125,(1)0.582fkgk所以11()(0),()(0)82f xx xg xx x.（2）设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品20 x万元，依题意得获得收益为11()(20)2082yf xgxxx(020)x，令20tx(02 5)t，则220 xt，所以22111(20)(2)3828yttt，所以当2t，即16x 时，max3y.故当投资稳健型产品 16 万元，风险型产品 4 万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是 3 万元（5）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市
20、的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/时研究表明：当20200 x时，车流速度v是车流密度x的一次函数（1）当0200 x时，求函数()v x的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)()()f xx v x可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/时)解：（1）由题意，当020 x时，()60v x；当20200 x时，设()(0)v xaxb a，
21、由已知得20002060abab，解得1200,33ab 故函数60,020()1(200),202003xv xxx（2）依题意并结合（1）可得60,020()1(200),202003xxf xxxx当020 x时，()f x为增函数，故当20 x 时，()f x在区间0,20上取得最大值 60201 200；当20200 x时，21120010000()(200)()3323xxf xxx，当且仅当100 x 时，等号成立所以当100 x 时，()f x在区间(20,100上取得最大值100003.综上可得，当x100 时，()f x在区间0，200上取得最大值1000033333.所以
22、当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/时二、拓展思维，熟知方法重点 7 分段函数重点 7 分段函数例 7（1）已知函数21,1()5,1xxf xx x，则()f x的单调递减区间是_解：当1x 时()f x是增函数，当1x 时，()f x是减函数，所以()f x的单调递减区间为(,1)答案：(,1)（2）函数26,1,2()7,1,1xxf xxx，则()f x的最大值与最小值分别为()A10，6 B10，8 C8，6 D以上都不对解：当1,2x时，maxmin()(2)10,()(1)8f xff xf；当 1,1x 时，maxmin()(1)8
23、,()(1)6f xff xf，所以maxmin()10,()6f xf x，故选 A（3）设,0()1,0 xa xf xxxx，若(0)f是()f x的最小值，则实数a的取值范围是()A(,2 B(,2)C(2,)D2,)解：由题意，当0 x 时，min()(1)2f xf，当0 x 时，min()(0)f xfa，若(0)f是()f x的最小值，则2a，故选 A（4）已知函数(3)5,1()2,1axxf xaxx是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3)B(0,3 C(0,2)D(0,2解：依题意得实数a满足30202(3)1 51aaaa，解得02a，故选 D重点 8 函数
24、的解析式的深度认知重点 8 函数的解析式的深度认知例 8（1）已知(1)2,fxxx则()f x _解：方法一：令1xt，则21,(1)xtxt，所以22()(1)2(1)1f tttt，又1 1tx，所以2()1,(1)f xxx方法二：因为2(1)(1)1fxx，且1 1x ，所以2()1,(1)f xxx答案：2()1,(1)f xxx（2）若2211()2f xxxx，则()f x .解：因为211()()4f xxxx，且1|2xx 所以2()4,|2f xxx重点 9 函数的单调性与奇偶性的综合认知重点 9 函数的单调性与奇偶性的综合认知例 9（1）设(,),(,)a bc d都是
25、()f x的单调递增区间，且12(,),(,)xa b xc d，若12xx，则1()f x与2()f x的大小关系为()A12()()f xf x B12()()f xf x C12()()f xf x D不能确定解：由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的12,x x不在同一单调区间内，所以1()f x与2()f x的大小关系不能确定故选 D.（2）如果二次函数2()(1)5f xxax在区间1(,1)2上是增函数，则实数a的取值范围为_解：由已知函数2()(1)5f xxax的对称轴为12ax且在区间1(,1)
26、2上是增函数，所以1122a，即2a.答案：(,2（3）设()f x是偶函数，()g x是奇函数，且2()()2f xg xxx，求函数(),()f x g x的解析式解：因为()f x是偶函数，()g x是奇函数，所以()(),()()fxf x gxg x，由2()()2f xg xxx 用x代替x得2()()()2()fxgxxx，即2()()2f xg xxx 解得2()f xx，()2g xx（4）设奇函数()f x在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0f xfxx的解集为（）A(10)(1)，B(1)(01)，,C(1)(1),D(10)(01),解：因为()f x
27、是奇函数，所以()()fxf x，由已知得()()2()0f xfxf xxx，所以x与()f x异号，而(1)0f，则(1)(1)0ff，作图分析，当0 x 时，()0(1)f xf；当0 x 时，()0(1)f xf，又()f x在(0)，上为增函数，则奇函数()f x在(,0)上为增函数，01,x或10 x.故选D（5）已知函数2()4f xx，若1230 xxx，则312123()()(),f xf xf xxxx的大小关系是()A312132()()()f xf xf xxxxB312123()()()f xf xf xxxxC321321()()()f xf xf xxxxD321
28、231()()()f xf xf xxxx解：由题意可得12302xxx，而22()441f xxxxx，令()()f xg xx则()()f xg xx在(0,2上单调递减，所以123()()(),g xg xg x，即321321()()()f xf xf xxxx，故选 C.（6）已知函数()yf x在定义域 1,1上是奇函数，又是减函数，若2(1)(1)0fafa，求实数a的取值范围；解：由已知得()()fxf x，由2(1)(1)0fafa得2(1)(1)fafa，即2(1)(1)faf a 又()yf x在 1,1单调递减所以221 111 1111aaaa ，解得2020221a
29、aa ，所以01a因此a的取值范围是0,1).（7）已知函数()yf x在定义域 2,2上是偶函数，在区间0,2上单调递减，若(1)()fmf m，求实数m的取值范围解：因为函数()f x是偶函数，所以()(|)f xfx，所以(1)(|1|),()(|)fmfmf mfm又函数()f x在区间0,2上单调递减所以原不等式等价于21222|1|mmmm ，解得112m 所以实数m的取值范围是1 1,)2.三、感悟问题，提升能力1.已知函数()f x对任意的,a bR，都有()()()1f abf af b，且当0 x 时，()1f x.（1）求证：()f x是R上的增函数；（2）若()()()
30、,(2)1xff xf yfy，解不等式1()()23f xfx.解：（1）证明：12,x xR，且12xx，则210 xx，由已知得21()1f xx，所以212111()()()()f xf xfxxxf x211121()()1()()10f xxf xf xf xx 即12()()f xf x所以()f x是R上的增函数（2）因为()()()xff xf yy，所以()()()xf yff xy在上式中取4,2xy，则有(2)(2)(4)fff，又(2)1f，所以(4)2f于是不等式1()()23f xfx等价于(3)(4)f x xf(3)x 又由（1），知()f x是R上的增函数，
31、所以(3)43x xx，解得13x 或34x，所以原不等式的解集为 1,3)(3,4.2.已知函数tyxx有如下性质：如果常数0t，那么该函数在(0,)t上是减函数，在,)t 上是增函数（1）已知24123(),0,121xxf xxx，利用上述性质，求函数()f x的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x和函数()2g xxa ，若对于任意的10,1x，总存在20,1x，使得21()()g xf x成立，求实数a的值解：（1）令21ux，则12ux，所以22114()123844228,uuuuyuuuu1,3u由已知性质得，当12u，即102x时，()f x单调递减，所以递减区
32、间为10,2；当23u，即112x时，()f x单调递增，所以递增区间为1,12.由111(0)3,()4,(1)23fff ，得()f x的值域为 4,3（2）由于()2,0,1g xxa x 为减函数，故()1 2,2 g xaa 由题意，知()f x的值域为()g x的值域的子集，从而1 2432aa ，解得32a.夯实、拓展、感悟与提升第三章 函数的概念与性质 章节复习 目录 CONTENT本本章章知知识识网网络络一、夯实双基，逐层认知 目录 CONTENT重点重点1 函数的概念，定义域和值域函数的概念，定义域和值域 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目
33、录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点2 函数的表示方法函数的表示方法 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点3 函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点4 函数的最值问题函数的最值问题 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点5
34、 幂函数形式、图象及性质幂函数形式、图象及性质 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点6 函数模型的初步运用函数模型的初步运用 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT二、拓展思维，熟知方法重点重点7 分段函数分段函数 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点8 函数的解析式的深度认知函数的解析式的深度认知 目录 CONTENT 目录 CONTENT重点重点9 函数的单调性与奇偶性的综合认知函数的单调性与奇偶性的综合认知 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT三、感悟问题，提升能力 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENTA good beginning is half done良好的开端是成功的一半
