1、第 4 讲 一元二次不等式玩前必备1.一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2bxc0，ax2bxc000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Error!Rax2bxc0)的解集x|x1x0；(2)3x25x20；(3)x24x50.【玩转跟踪】1 解下列不等式：(1)4x24x10；(2)x26x100.题型二题型二 解含参的一元二次不等式解含参的一元二次不等式例 2例 2设 aR，解关于 x 的不等式 ax2(12a)x20.【玩转跟踪】1若
2、a0，求关于 x 的不等式 x2(a1a)x10 的解集2设 p：|4x3|1；q：x2(2a1)xa(a1)0，若 q 是 p 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是（）A0，12B(0，12)C(，012，)D(，0)(12，)题型三三个“二次”间的关系及应用例 3（2020 秋鸡泽县校级月考）一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 2，1，则当 a0 时，不等式 ax2+bx+c0 的解集为 玩转跟踪1.（2020 秋河东区校级月考）若不等式 ax2bx+c0 的解集是x|2x3，则不等式 bx2+ax+c0 的解集是 2.（2020 秋亭湖区校级月考）已知实数 a，b 满足 0b1+
3、a，若关于 x 的不等式（xb）2（ax）2的解集中有且仅有 3 个整数，则实数 a 的取值范围是 题型四不等式恒成立、能成立问题例 5 (1)已知不等式 kx22kx(k2)0 恒成立，求实数 k 的取值范围；(2)若不等式x22x3a23a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围例 6 当 1x2 时，不等式 x2mx40 恒成立，求 m 的取值范围例 7 已知函数 ymx2mx6m，若对于 1m3，y0 恒成立，求实数 x 的取值范围玩转跟踪1.设函数 ymx2mx1,1x3，若 y0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点(1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的关系式；(
4、2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围玩转跟踪1.北京、张家口 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入16(x2600)万元作为技改费用，投入 50 万元作
5、为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？玩转练习1（2020 秋福州期末）关于 x 的一元二次不等式 x25x60 的解集为（）Ax|x1 或 x6Bx|1x6Cx|x2 或 x3Dx|2x32（2021 春绵阳期末）若关于 x 的不等式 ax22x+b0 的解集为x|3x1，则实数 a 的值为（）A1B1C3D33（2020 秋和平区校级月考）若对任意的 x 大于 0，不等式 x2ax+20 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）Aa22B22a22Ca22D
6、a22或 a224（2020 秋汕头校级期末）在 R 上定义运算：abab+2a+b，则满足 x（x2）0 的实数 x 的取值范围为（）Ax|0 x2Bx|2x1Cx|x2，或 x1Dx|1x25（2020 秋11 月份月考）已知二次不等式 ax2+22x+b0（a，bR）的解集为|2，则 ya2+b22（a+b）的最小值为（）A242B2+42C442D4+426（多选题）（2020 秋蓬江区期末）已知 aZ，关于 x 的一元二次不等式 x24x+a0 的解集中有且仅有 3个整数，则 a 的值可以是（）A0B1C2D37（多选题）（2021 春沙坪坝区校级月考）下列不等式中解集为 R 的有（
7、）Ax2+2x+10B 2+2 5 0Cx2+6x+100D2x23x+408（多选题）（2020 秋潞州区校级期中）已知关于 x 的不等式 a 342 3x+4b，下列结论正确的是（）A当 ab1 时，不等式 a 342 3x+4b 的解集为B当 a1，b4 时，不等式 a 342 3x+4b 的解集为x|0 x4C不等式 a 342 3x+4b 的解集恰好为x|axb，那么 b=43D不等式 a 342 3x+4b 的解集恰好为x|axb，那么 ba49（2021 春莲池区校级期中）已知不等式 x2+ax+b0 的解集为x|x2 或 x3，则 a+b10（2020 秋如东县期末）命题“不等
8、式 ax22ax30 的解集为空集”是真命题，则实数 a 的取值范围是11（2020 秋淮安月考）已知不等式 x23x40 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，若关于 x的不等式 x2+ax+b0 的解集为 AB，则 a+b12（2021 春昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式 x2+px+q0 的解集为|1213，求不等式qx2+px+10 的解集；（2）若不等式 x2mx+（m+7）0 在实数集 R 上恒成立，求 m 的范围13（2021 春广安期末）已知关于 x 的不等式 2kx2+kx 380，k0（1）若 k=18，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为 R，求 k 的取
9、值范围14（2020 秋中山市校级月考）已知函数 f（x）x2（a+3）x+2a+b+1（1）若关于 x 的不等式 f（x）0 的解集为x|x2 或 x3，求 a，b 的值（2）若关于 x 的不等式 f（x）b1 解集中恰好有 1 个整数，求实数 a 的取值范围第 4 讲 一元二次不等式玩前必备1.一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2bxc0，ax2bxc000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Error!Rax2bxc0)的解集x|x1x0
10、；(2)3x25x20；(3)x24x50.解(1)不等式可化为 x25x60，所以方程 x25x60 有两个实数根：x12，x23.由二次函数 yx25x6 的图象(如图)，得原不等式的解集为x|2x0，所以方程 3x25x20 的两实根为 x12，x213.由二次函数 y3x25x2 的图象(图)，得原不等式的解集为Error!.(3)方程 x24x50 无实数解，函数 yx24x5 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点(如图)观察图象可得，不等式的解集为 R.【玩转跟踪】1 解下列不等式：(1)4x24x10；(2)x26x100.解(1)方程 4x24x10 有两个相等的实根 x
11、1x212.作出函数 y4x24x1 的图象如图由图可得原不等式的解集为Error!.(2)原不等式可化为 x26x100，364040.解(1)当 a0 时，不等式可化为 x20，解得 x2，即原不等式的解集为x|x2(2)当 a0 时，方程 ax2(12a)x20 的两根分别为 2 和1a.当 a12时，解不等式得1ax2，即原不等式的解集为Error!；当 a12时，不等式无解，即原不等式的解集为；当12a0 时，解不等式得 2x0 时，解不等式得 x2，即原不等式的解集为Error!.【玩转跟踪】1若 a0，求关于 x 的不等式 x2(a1a)x10 的解集解x2(a1a)x10(x1
12、a)(xa)0，当 0a1 时，a1 时，a1a，不等式的解集为Error!.综上，当 0a1 时，不等式的解集为Error!.2设 p：|4x3|1；q：x2(2a1)xa(a1)0，若 q 是 p 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是（）A0，12B(0，12)C(，012，)D(，0)(12，)题型三三个“二次”间的关系及应用例 3（2020 秋鸡泽县校级月考）一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 2，1，则当 a0 时，不等式 ax2+bx+c0 的解集为 【解题思路】由根与系数的关系得出 b、c 与 a 的关系，将 b、c 用 a 表示出来，再代入不等式化简求得所求不等式的解集
13、【解答过程】解：由一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 2，1，所以=211，且=2（1）2；所以 ba，c2a，且 a0，所以不等式 ax2+bx+c0 可化为 x2x20，解得1x2，所以所求不等式的解集为1，2故答案为：1，2玩转跟踪1.（2020 秋河东区校级月考）若不等式 ax2bx+c0 的解集是x|2x3，则不等式 bx2+ax+c0 的解集是 【解题思路】直接利用不等式和方程之间的转换求出 a 和 b 及 a 和 c 的关系，进一步利用一元二次不等式的应用求出结果【解答过程】解：不等式 ax2bx+c0 的解集是x|2x3，所以2 和 3 为方程 ax2bx+c0 的解，所
14、以3 2=，3 (2)=，所以 ba，c6a故不等式 bx2+ax+c0 转换为 ax2+ax6a0，由于 a0，所以 x2+x60，解得 x2 或 x3故不等式的解集为x|x2 或 x3故答案为：x|x2 或 x32.（2020 秋亭湖区校级月考）已知实数 a，b 满足 0b1+a，若关于 x 的不等式（xb）2（ax）2的解集中有且仅有 3 个整数，则实数 a 的取值范围是 【解题思路】将不等式变形为（a+1）xb（a1）x+b0 的解集中的整数恰有 4 个，再由 0b1+a 可得，a1，不等式的解集为 1x+11，考查解集端点的范围，解出 a 的取值范围【解答过程】解：关于 x 的不等式
15、（xb）2（ax）2即（a21）x2+2bxb20，0b1+a，（a+1）xb（a1）x+b0 的解集中的整数恰有 3 个，a1，不等式的解集为 1x+11，所以解集里的整数是2，1，0 三个，3 1 2，2a2b3a3，b1+a，2a21+a，a3，综上，1a3故答案为：（1，3）题型四不等式恒成立、能成立问题例 5 (1)已知不等式 kx22kx(k2)0 恒成立，求实数 k 的取值范围；(2)若不等式x22x3a23a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)当 k0 时，原不等式化为20，显然符合题意当 k0 时，令 ykx22kx(k2)，由 y0 恒成立，其图象都在
16、x 轴的下方，即开口向下，且与 x 轴无交点Error!解得1k0.综上，实数 k 的取值范围是k|1k0(2)原不等式可化为 x22xa23a30，该不等式对任意实数 x 恒成立，0，即 44(a23a3)0，即 a23a40，解得 a1 或 a4，实数 a 的取值范围是a|a1 或 a4例 6 当 1x2 时，不等式 x2mx40 恒成立，求 m 的取值范围解令 yx2mx4.y0 在1,2上恒成立x2mx40 的根一个小于 1 上，另一个大于 2.如图，得Error!Error!m 的取值范围是m|m5例 7 已知函数 ymx2mx6m，若对于 1m3，y0 恒成立，求实数 x 的取值范
17、围解y0mx2mx6m0(x2x1)m60.1m3，x2x16m恒成立，x2x163x2x10152x152.x 的取值范围为Error!.玩转跟踪1.设函数 ymx2mx1,1x3，若 ym5 恒成立，求 m 的取值范围解ym5 恒成立，即 m(x2x1)60，又 m(x2x1)60，m6x2x1.y6x2x16(x12)234在 1x3 上的最小值为67，只需 m0，4xm2(x22x3)能成立，m2x28x6 能成立，令 y2x28x62(x2)222，m2，m 的取值范围为m|m2题型五不等式应用问题例 8某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(
18、又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低 x(x0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点(1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10 x)%，农产品的收购量为 a(12x%)万担，收购总金额为 200a(12x%)万元依题意得 y200a(12x%)(10 x)%150a(1002x)(10 x)(0 x10)(2)原计划税收为 200a10%20a(万元)依题意得150a(1002x)(10 x)2
19、0a83.2%，化简得 x240 x840，解得42x2.又因为 0 x10，所以 0 x2.即 x 的取值范围为x|025 时，不等式 ax2585016(x2600)x5有解，等价于当 x25 时，a150 xx615有解由于150 xx62150 xx610，当且仅当150 xx6，即 x30 时等号成立，所以 a10.2.故当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元玩转练习1（2020 秋福州期末）关于 x 的一元二次不等式 x25x60 的解集为（）Ax|x1 或 x6Bx|1x6Cx|x
20、2 或 x3Dx|2x3【解题思路】把不等式化为（x+1）（x6）0，求出解集即可【解答过程】解：不等式 x25x60 可化为（x+1）（x6）0，解得1x6，所以不等式的解集为x|1x6故选：B2（2021 春绵阳期末）若关于 x 的不等式 ax22x+b0 的解集为x|3x1，则实数 a 的值为（）A1B1C3D3【解题思路】由已知可得3 和 1 是方程 ax22x+b0 的两根，再由根与系数的关系求解【解答过程】解：关于 x 的不等式 ax22x+b0 的解集为x|3x1，3 和 1 是方程 ax22x+b0 的两根，由根与系数的关系可得：2=3+1=2，则 a1故选：B3（2020 秋
21、和平区校级月考）若对任意的 x 大于 0，不等式 x2ax+20 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）Aa22B22a22Ca22Da22或 a22【解题思路】把不等式化为 ax+2，求出 x+2的最小值，即可求得实数 a 的取值范围【解答过程】解：x0 时，不等式 x2ax+20 化为 x2+2ax，即 ax+2；又 x+2 2 2=22，当且仅当 x=2，即 x=2时取“”；所以实数 a 的取值范围是 a22故选：A4（2020 秋汕头校级期末）在 R 上定义运算：abab+2a+b，则满足 x（x2）0 的实数 x 的取值范围为（）Ax|0 x2Bx|2x1Cx|x2，或 x1Dx|1x
22、2【解题思路】由定义运算化简不等式 x（x2）0，然后直接求解一元二次不等式得答案【解答过程】解：由定义运算：abab+2a+b，得x（x2）x（x2）+2x+x2x2+x2x（x2）0 x2+x20，解得：2x1满足 x（x2）0 的实数 x 的取值范围为x|2x1故选：B5（2020 秋11 月份月考）已知二次不等式 ax2+22x+b0（a，bR）的解集为|2，则 ya2+b22（a+b）的最小值为（）A242B2+42C442D4+42【解题思路】先利用一元二次不等式的解集得到 ab2，且 a0，b0，然后将所求解的式子进行配方转化，得到 y（a+b+1）25，利用基本不等式求出 a+
23、b 的范围，即可得到答案【解答过程】解：因为二次不等式 ax2+22x+b0（a，bR）的解集为|2，所以=8 4=00，即 ab2，且 a0，b0，所以+2=22，当且仅当 ab 时取等号，所以 ya2+b22（a+b）（a+b）22（a+b）4（a+b1）25，所以当+=22时，y 取最小值，故 y 的最小值为4 42故选：C6（2020 秋蓬江区期末）已知 aZ，关于 x 的一元二次不等式 x24x+a0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 a 的值可以是（）A0B1C2D3【解题思路】把每个选项中的数代入关于 x 的一元二次不等式 x24x+a0 验证即可【解答过程】解：当 a0 时一元
24、二次不等式 x24x+a0 即为 x24x0，解得 0 x4，有 5 个整数解，A 错；当 a1 时一元二次不等式 x24x+a0 即为 x24x+10 解得 2 3 x2+3，有 3 个整数解“1，2，3”，B 对；当 a2 时一元二次不等式 x24x+a0 即为 x24x+20，解得 2 2 x2+2，有 3 个整数解“1，2，3”，C 对；当 a3 时一元二次不等式 x24x+a0 即为 x24x+30，解得 1x3，有 3 个整数解“1，2，3”，D 对；故选：BCD7（2021 春沙坪坝区校级月考）下列不等式中解集为 R 的有（）Ax2+2x+10B 2+2 5 0Cx2+6x+10
25、0D2x23x+40【解题思路】找出特殊值直接判断 A，D 错误，利用0 判断 B，C 正确【解答过程】解：对于 A：当 x1 时，不等式不成立，A 不正确，对于 B：x2+2x 5 0，x22x+5 0，4450，B 正确，对于 C：36411040，C 正确，对于 D：当 x0 时，不等式不成立，D 不正确故选：BC8（2020 秋潞州区校级期中）已知关于 x 的不等式 a 342 3x+4b，下列结论正确的是（）A当 ab1 时，不等式 a 342 3x+4b 的解集为B当 a1，b4 时，不等式 a 342 3x+4b 的解集为x|0 x4C不等式 a 342 3x+4b 的解集恰好为
26、x|axb，那么 b=43D不等式 a 342 3x+4b 的解集恰好为x|axb，那么 ba4【解题思路】A：分析函数 f（x）=34x23x+4 的最值与 a，b 进行比较即可；B：结合第一问只需解不等式34x23x+44 即可；C：利用 f（x）=34（x2）2+1 的图象与对应不等式的关系解答即可；D：利用 C 结合对称性求解即可【解答过程】解：设 f（x）=34x23x+4，xR，则 f（x）=34（x2）2+1；对于 A，f（x）1，所以当 ab1 时，不等式 a 342 3x+4b 的解集为，所以 A 正确；对于 B，当 a1，b4 时，不等式 a 342 3x+4b 可化为34
27、2 3+4 1342 3+4 4，解此不等式组得 0 x4，所以 a 342 3x+4b 的解集为x|0 x4，选项 B 正确；作出函数 f（x）=34（x2）2+1 的图象，如图所示：由 f（x）的图象知，若不等式的解集为连续不间断区间，则 a1，且 b1；若解集为a，b，则 f（a）f（b）b，且 b3，因为 f（x）=34（x2）2+1，所以 f（b）=34（b2）2+1b，解得 b4 或 b=43，因为 b2，所以 b4，所以 a0，所以 ba4，所以 C 错误、D 正确故选：ABD9（2021 春莲池区校级期中）已知不等式 x2+ax+b0 的解集为x|x2 或 x3，则 a+b1【
28、解题思路】根据不等式的解集可得方程 x2+ax+b0 的两根为 x2 或 x3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可【解答过程】解：不等式 x2+ax+b0 解集为x|x2 或 x3，故方程 x2+ax+b0 的两根为 x2 或 x3，由根与系数的关系可得=5=6，=5=6，a+b1故答案为：110（2020 秋如东县期末）命题“不等式 ax22ax30 的解集为空集”是真命题，则实数 a 的取值范围是3，0【解题思路】讨论 a0 和 a0 时，求出不等式的解集为空集时 a 的取值范围即可【解答过程】解：命题“不等式 ax22ax30 的解集为空集”是真命题，当 a0 时，不等式为30，解
29、集为空集；当 a0 时，应满足0 0，即042 4 (3)0，解得3a0；综上知，实数 a 的取值范围是3，0故答案为：3，011（2020 秋淮安月考）已知不等式 x23x40 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，若关于 x的不等式 x2+ax+b0 的解集为 AB，则 a+b5【解题思路】分别求出不等式 x23x40 和 x2x60 的解集，得出不等式 x2+ax+b0 的解集，从而求出 a、b 的值【解答过程】解：不等式 x23x40 可化为（x+1）（x4）0，解得1x4，所以该不等式的解集为 A（1，4）；不等式 x2x60 可化为（x+2）（x3）0，解得2x3，所以该
30、不等式的解集为 B（2，3）；若关于 x 的不等式 x2+ax+b0 的解集为 AB（1，3），则1 和 3 是方程 x2+ax+b0 的解，由根与系数的关系知1+3=1 3=，解得 a2，b3，所以 a+b5故答案为：512（2021 春昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式 x2+px+q0 的解集为|1213，求不等式qx2+px+10 的解集；（2）若不等式 x2mx+（m+7）0 在实数集 R 上恒成立，求 m 的范围【解题思路】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出 p，q 的值，然后代入解不等式即可；（2）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解即可【解答过程】解：（1）因为不等式
31、 x2+px+q0 的解集为|1213，所以 12与13是方程 x2+px+q0 的两个实数根，由根与系数的关系得12+13=1213=，解得=16=16；所以不等式 qx2+px+10，可化为 162+16+10，整理得 x2x60，解得2x3，即不等式 qx2+px+10 的解集为x|2x3（2）一元二次不等式 x2mx+（m+7）0 在实数集 R 上恒成立，则0，即 m241（m+7）0，整理得 m24m280，解得2 422+42，所以 m 的取值范围是（242，2+42）13（2021 春广安期末）已知关于 x 的不等式 2kx2+kx 380，k0（1）若 k=18，求不等式的解集
32、；（2）若不等式的解集为 R，求 k 的取值范围【解题思路】（1）将 k 值代入不等式，解不等式即可，（2）分情况讨论，当 2k0，即 k0 时，代回原不等式，成立留，不成立舍；当 2k0，即 k0 时，2kx2+kx 380 解集为 R，则20 0，最后取两种情况的并集【解答过程】解：（1）因为=18，关于 x 的不等化为2 182+18 380，即 2x2+x30，解集为(32，1)，（2）关于 x 的不等式22+380的解集为 R分情况讨论，当 2k0，即 k0 时，原不等式为 380，恒成立，当 2k0，即 k0 时，20，=2+30，解得3k0，综上，故 k 的取值范围为（3，014
33、（2020 秋中山市校级月考）已知函数 f（x）x2（a+3）x+2a+b+1（1）若关于 x 的不等式 f（x）0 的解集为x|x2 或 x3，求 a，b 的值（2）若关于 x 的不等式 f（x）b1 解集中恰好有 1 个整数，求实数 a 的取值范围【解题思路】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程根的关系，根据韦达定理即可求出；（2）不等式化为（x2）（x（a+1）0，分类讨论即可求出【解答过程】解：（1）由已知可得方程 x2（a+3）x+2a+b+10 的两个根为 x12，x23，由韦达定理可得1+2=5=+312=6=2+1，解得：a2，b1，（2）不等式 f（x）b1 可化为 x2（a+3）x+2（a+1）0，因式分解得（x2）（x（a+1）0，（i）若 a+12，由题意可得+13+1 4，解得 2a3，（ii）若 a+12，由题意可得+11+1 0，解得1a0，（iii）若 a+12 与题意不符，综上：1a0 或 2a3
