1、1第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学2一、导数定义一、导数定义 第一种形式：第一种形式：axafxfafax )()(lim)(第二种形式：第二种形式：xafxafafx )()(lim)(0)(xfy 在在ax 处可导处可导)(),(afaf 存在且相等；存在且相等；微微分分的的定定义义：)(xoxAy ,xxfyd)(d ；导数的几何意义：切线的斜率；导数的几何意义：切线的斜率；关关系系：可可导导可可微微,可可导导连连续续,反反之之不不然然.内容提要内容提要3)2sin()(sin)(nxxn,)2cos()(cos)(nxxn,二、求导法则二、求导法则 基本初等函数的导数；基本初
2、等函数的导数；导数的四则运算；导数的四则运算；反函数、复合函数求导；反函数、复合函数求导；隐函数求导；隐函数求导；,)(ln)()(nxnxaaa.!)1()1(1)(nnnxnx高阶导数高阶导数,几个简单函数的几个简单函数的n阶导数：阶导数：4三、中值定理三、中值定理 费马引理费马引理,罗尔中值定理罗尔中值定理,拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,柯西柯西中值定理中值定理.四、导数的应用四、导数的应用 洛必达法则洛必达法则求极限的重要方法求极限的重要方法.利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值.利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点利用函数的二
3、阶导数研究函数的凹凸性及其拐点.最大值、最小值问题最大值、最小值问题.5若若cxfx )(lim,则则cy 为为水水平平渐渐近近线线；若若 )(lim0 xfxx,则则0 xx 为为铅直渐近线铅直渐近线；若若0)(lim axxfx,且且baxxfx )(lim,则则baxy 为为斜斜渐渐近近线线.渐近线问题：渐近线问题：6典型例题典型例题解解例例1 1设设 1 ,1 ,)(2xbaxxxxf处处处处可可导导，求求a,b的的值值.)(xf在在1 x处连续处连续，而而)(xf在在1 x处处可可导导,于于是是1 b.ab 1,211lim)1(21 xxfx,111lim)1(1axaaxfx ,
4、2 aba 1，题型题型1 1：导数的定义：导数的定义7(+0 09 9,4 4 分分)函函数数 1 ,e 1 ,)1ln()(xxbxaxfx 在在点点1 x处处可可导导，则则 a，b.解解例例2 2解得解得 e2 a，)2ln21(e b.连续：连续：;e2ln ba可导：可导：,e2 a8设设 0 ,00 ,1sin)(2xxxxxf，求求)0(f .解解例例3 30)0()(lim)0(0 xfxffxxxxx01sinlim20 xxx1sinlim0.0 9函函数数|)2()(32xxxxxf 的的不不可可导导点点的的个个数数是是（）.|x在在0 x处不可导，但处不可导，但|xx在
5、在0 x处可导处可导.例例4 4(98(98二二3 3 )（A A）3 3 （B B）2 2 （C C）1 1 （D D）0 0,|lim0不不存存在在xxx.0|lim0 xxxx分析分析故故)(xf在在1,0 xx不不可可导导.解解,|1|1|)2)(1()(xxxxxxf设设|3)(23xxxxf ，则，则)(xf在在0 x处可求处可求导的最高阶数为（导的最高阶数为（）.（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3 类题类题(92(92二二3)3)10设设 0 ,)(0 ,cos1)(2xxgxxxxxf,其其中中)(xg是是有有界界函函数数,则则)(xf在在0
6、 x处处（）.例例5 5解解(99(99二二3 3 )（A A）极限不存在极限不存在（B B）极限存在但不连续极限存在但不连续（C C）连续但不可导连续但不可导（D D）可导可导 xxgxfx)(lim)0(20 ,0)(lim0 xxgxxxxfxcos1lim)0(0 ,02lim20 xxxx故故0)0(f,可可导导.选选(D).D).11(96,6(96,6 分分)设设 0 ,00 ,e)()(xxxxgxfx，其中其中)(xg有连续的二阶导数，且有连续的二阶导数，且1)0(g，1)0(g.（1 1）求）求)(xf ；（2 2）讨论）讨论)(xf 的连续性的连续性.解解例例6 6（1
7、1）当当0 x时时，2e)(e)()(xxgxgxxfxx ;e)1()()(2xxxgxgxx 12,0 ,00 ,e)()(xxxxgxfx,1)0(g1)0(g，需需用用定定义义求求)0(f 20e)(limxxgxx xxgxx2e)(lim0 2e)(lim0 xxxg ,21)0(g0)0()(lim)0(0 xfxffx13,0 ,00 ,e)()(xxxxgxfx,1)0(g1)0(g所以所以 0 ,21)0(0 ,e)1()()()(2xgxxxxgxgxxfx14 0 ,21)0(0 ,e)1()()()(2xgxxxxgxgxxfx)(lim )2(0 xfx xxxgx
8、xx2e)(lim0 2e)(lim0 xxxg 21)0(g,)0(f 所以所以)(xf 在在0 x处连续，处连续，20e)1()()(limxxxgxgxxx 而而在在0 x处处)(xf 显显然然连连续续，故故)(xf 在在),(上上连连续续.15(+0 07 7,8 8 分分)已已知知 0 ,1 0 ,arctan)(xxxxxf，解解例例7 7求求:(1)(xf ；(2)(xf 在在点点0 x处处是是否否连连续续？为为什什么么？;)1(arctan)1()(0222xxxxxxfx ,0 x(1)(1)0)0()(lim)0(0 xfxffx20arctanlimxxxx ,0 所所以
9、以 0 ,0 0 ,)1(arctan)1()(222xxxxxxxxf。16 0 ,0 0 ,)1(arctan)1()(222xxxxxxxxf(2)(2)1(arctan)1(lim)(lim22200 xxxxxxfxx 220arctan)1(limxxxxx xxxx21arctan21lim0 0arctanlim0 xx,)0(f 所所以以)(xf 在在点点0 x处处连连续续。及时分离非零因子及时分离非零因子17(0 04 4,4 4 分分)设设)(xf 在在,ba上上连连续续，且且0)(af，0)(bf，则则下下列列结结论论中中错错误误的的是是 (A)至至少少存存在在一一点点
10、),(0bax ，使使得得)()(0afxf (B)至至少少存存在在一一点点),(0bax ，使使得得)()(0bfxf (C)至至少少存存在在一一点点),(0bax ，使使得得0)(0 xf(D)至至少少存存在在一一点点),(0bax ，使使得得0)(0 xf 例例8 8解解由由已已知知)(xf 在在,ba上上连连续续，且且0)(,0)(bfaf，则则由由介介值值定定理理，至至少少存存在在一一点点),(0bax ，使使得得0)(0 xf；另另外外，0)()(lim)(axafxfafax，18另另外外，0)()(lim)(axafxfafax，由由极极限限的的保保号号性性，至至少少存存在在一
11、一点点),(0bax ，使得使得 0)()(00 axafxf，即即)()(0afxf；同同理理，至至少少存存在在一一点点),(0bax ，使使得得)()(0bfxf.所以，所以，(A)(B)(C)A)(B)(C)都正确，故选都正确，故选(D).D).19(0 07 7,4 4 分分)设设函函数数)(xf在在0 x处处连连续续，下下列列命命题题错错误误的的是是 例例9 9解解因因此此分分子子的的极极限限也也必必须须为为 0，均均可可推推导导出出0)0(f.(A)若若xxfx)(lim0存存在在，则则0)0(f(B)若若xxfxfx)()(lim0 存存在在，则则0)0(f(C)若若xxfx)(
12、lim0存存在在，则则)0(f 存存在在 (D)若若xxfxfx)()(lim0 存存在在，则则)0(f 存存在在(A)A)，(B)(B)两项中分母的极限为两项中分母的极限为0 0，20若若xxfx)(lim0存存在在，则则0)0(f，0)0()(lim)0(0 xfxffxxxfx)(lim0 存在存在.【答案】【答案】应选应选(D D)。反例：反例：|)(xxf 在在0 x处连续，处连续，xxfxfx)()(lim0 0|lim0 xxxx存在，存在，但但|)(xxf 在在0 x处处不不可可导导。21题型题型2 2：利用导数求曲线的切线和法线方程：利用导数求曲线的切线和法线方程 解解例例1
13、 1(8 89 9,3 3分分)曲曲线线xxy2sin 在在点点)21,2(处处的的切切线线方方程程是是 。,2sin1xy ,1)2(y所以所求切线方程为所以所求切线方程为 ,2)21(xy.1 xy即即22(91,3(91,3 分分)设设曲线曲线axxxf 3)(与与cbxxg 2)(都通过点都通过点)0,1(，且在点，且在点)0,1(处有公共切线，则处有公共切线，则 a，b，c。解解例例2 2,)1()1(0)1()1(gfgf,23001 bacba解得解得 1 a，1 b，1 c。23题型题型3 3：一般导函数的计算：一般导函数的计算解解例例1 1(8 87 7,4 4 分分)设设1
14、111ln22 xxy，求求y.先化简，先化简，,|ln2)11ln(2)11(ln2222xxxxy xxxxy21111222 xxxxx11112222.1122xx 所以所以24设设xxy)1(3 ，求求y。例例2 2解解用对数求导法用对数求导法,)1ln(ln3xxy ,13)1ln(333xxxyy .131ln13333 xxxxyx25设设)(xyy 是是由由方方程程 yxxy e所所确确定定的的隐隐函函数数,求求:)0(),0(yy .解解例例3 3方方程程两两边边关关于于x求求导导,得得(1)1e)(，yyxyxy ,1)0(y而而.0)0(y(1)(1)式两边再关于式两边
15、再关于x求导：求导：，yyxyyxyxyxy )2(e)(e2代代入入，将将0)0(,1)0(yy.1)0(y得得26(9 95 5,3 3 分分)设设xxxf 11)(，则则 )()(xfn。解解例例4 4利利用用公公式式 1)(!)1()1(nnnxnx，,112)(xxf.)1(!2)1()(1)(nnnxnxf得得27设设)1(12 xxy,求求)(ny.再利用再利用1)(!)1(1 nnnxnx,所所以以 1112)1(1)1(12!)1(nnnnnxxxny.例例5 5解解先先用待定系数法用待定系数法分解分解，,2111121 xxxy1122 xxy,11111 xx .)1(1
16、)1(1!)1(11 nnnnxxny则则另另:28设设)1ln()(2xxxf ，求求)0()(nf 例例6 6解法解法1 1 由由Leibniz公式：公式：，及及kkkxkx)1()!1()1()1ln(1)(，231212)()1()!3()1()1()1()!2()1(2)1()!1()1()(nnnnnnnxnnnxnnxxnxxf.2!)1()!3)(1()1()0(13)(nnnnnfnnn所以所以,)()()2(2)1(1)(0)(nnnnnnnnnnvuCvuCvuCvuCvu 得得.)3(n29比比较较nx的的系系数数得得 2)1(!)0(1)(nnfnn，即即得得 2!)
17、1()0(1)(nnfnn.解法解法2 2由麦克劳林公式由麦克劳林公式,得得)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf )(2)1(32)1ln(2233222nnnxonxxxxxxx,)(2)1(321543nnnxonxxxx 例例6 6设设)1ln()(2xxxf ，求求)0()(nf.)3(n30(93,3(93,3 分分)设函数设函数 0 ,0 0 ,1sin|)(2xxxxxf，则则)(xf在在0 x处（处（）.题型题型4 4：可导、连续与极限的关系：可导、连续与极限的关系 解解例例1 1（A A）极限不存在极限不存在（B B）极限存在但不连续极限
18、存在但不连续（C C）连续但不可导连续但不可导（D D）可导可导 01sin|lim)(lim200 xxxfxx,)0(f 所所以以)(xf在在0 x处处连连续续；31(93,3(93,3 分分)设函数设函数 0 ,0 0 ,1sin|)(2xxxxxf，则则)(xf在在0 x处（处（）.解解例例1 1（A A）极限不存在极限不存在（B B）极限存在但不连续极限存在但不连续（C C）连续但不可导连续但不可导（D D）可导可导 0)0()(lim0 xfxfxxxxx01sinlim20 ,1sin1lim20 xxx 所以所以)(xf在在0 x处不可导。处不可导。【答案】【答案】应选应选(C
19、 C).).题型题型4 4：可导、连续与极限的关系：可导、连续与极限的关系 32类题类题(9 95 5,6 6 分分)设设函函数数 0 ,dcos1 0 ,1 0 ,)cos1(2)(022xttxxxxxxfx，试试讨讨论论)(xf在在0 x处处的的连连续续性性和和可可导导性性.)(xf在在0 x处处连连续续可可导导，且且0)0(f.33(9 96 6,3 3 分分)设设方方程程yyx 确确定定 y 是是 x 的的函函数数，则则 d y。题型题型5 5：微分的概念与计算：微分的概念与计算解解例例1 1,lnlnyyx 两边对两边对x求导，求导，yyyyyx 1ln1,lnyyy ,)ln1(
20、1yxy .)ln1(ddyxxy 34(9 97 7,3 3 分分)设设)(e)ln(xfxfy ，其其中中)(xf可可微微，求求yd.例例2 2解解.d)(ln)()(lned)(xxfxfxxfyxf 35(数数一一,0 00 0,3 3 分分)设设)(),(xgxf是是恒恒大大于于零零的的可可导导函函数数，且且0)()()()(xgxfxgxf，则则当当bxa 时时，有有（）(A A)()()()(xgbfbgxf (B B)()()()(xgafagxf (C C)()()()(bgbfxgxf (D D)()()()(xgafxgxf 题型题型6 6：利用导数确定单调区间与极值：利
21、用导数确定单调区间与极值解解例例1 1构构造造辅辅助助函函数数 )()()(xgxfx ，,0)()()()()()(2 xgxgxfxgxfx 36即即)(x 单调减少单调减少，(A A)()()()(xgbfbgxf (B B)()()()(xgafagxf (C C)()()()(bgbfxgxf (D D)()()()(xgafxgxf )()()(xgxfx ，,0)()()()()()(2 xgxgxfxgxfx 故故当当bxa 时时,)()()(axa ,即即)()()()()()(agafxgxfbgbf ，而而0)(,0)(xgxf，所所以以 )()()()(xgbfbgxf
22、，选（选（A A）.37(9 91 1,6 6分分)试试证证明明函函数数xxxf)11()(在在),0(内内单单调调增增加加。例例2 2解解,)11ln()(lnxxxf ,11)11ln()()(xxxfxf ,11)11ln()11()(xxxxfx ,11)11ln()(xxxg 记记,0)1(12 xxg故故)(xg在在),0(内内单单调调减减少少，由于由于 011)11ln(lim xxx，38由于由于 011)11ln(lim xxx，所所以以当当0 x时时，有有 011)11ln()(xxxg，从从而而 0)(xf，),0(x，于于是是)(xf在在),0(内内单单调调增增加加。3
23、9 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3 3个，而个，而 x=0=0 则是导数不存在的点则是导数不存在的点.三个一阶导数为三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在个极小值点，一个极大值点；在x=0=0左侧一阶导数为正，左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见右侧一阶导数为负，可见x=0=0为极大值点，故为极大值点，故f(x)共有共有两个极小值点和两个极大值点，应选两个极小值点和两个极大值点，应选(C).C).设函数设函数)(xf在在),(内连续，其导函数的
24、图形内连续，其导函数的图形如图所示，则如图所示，则)(xf有有 例例3 3解解(0303二二4 4)xyo(A)A)一个极小值点和两个极大值点一个极小值点和两个极大值点.(B)B)两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和一个极大值点.(C)C)两个极小值点和两个极大值点两个极小值点和两个极大值点.(D)D)三个极小值点和一个极大值点三个极小值点和一个极大值点.40设设函函数数)(xf在在0 xx 处处满满足足0)()(00 xfxf,0)(0 xf,则则（）.一一般般,若若0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn,则则(1 1)若若n为为奇奇数数,则则0 x不不是是极极值
25、值点点,但但 )(,00 xfx是是拐拐点点；(2 2)若若n为为偶偶数数,则则 )(,00 xfx不不是是拐拐点点,但但0 x是是极极值值点点,且且当当0)(0)(xfn时时,)(0 xf是是极极小小值值；当当0)(0)(xfn时时,)(0 xf是是极极大大值值.例例4 4解解(A)(A)(0 xf是是)(xf的极大值；的极大值；(B)(B)(0 xf是是)(xf的极小值；的极小值；(C)(C)点点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的拐点；（的拐点；（D D）以上都不对）以上都不对.选选(C).C).41设函数设函数)(xyy 由方程由方程1222223 xxyyy所确定，试求所确
26、定，试求)(xyy 的驻点，并判断它是否为极值点。的驻点，并判断它是否为极值点。化化为为 0)1()1(223 xx，解得唯一驻点解得唯一驻点1 x，将将1 x，1)1(y，0 y代代入入，可可见见1 x是是隐隐函函数数)(xyy 的的极极小小值值点点.令令0 y,得得xy ,例例5 5解解(96(96六六8)8)两边关于两边关于x求导求导,得得(1)0232 xyxyyyyy代代入入原原方方程程,得得 1223 xx,对对(1)(1)式再求导，得式再求导，得，012)26()23(22 yyyyxyy得得021 y，42(数数四四,9 92 2,8 8 分分)给给定定曲曲线线21xy ，求求
27、曲曲线线的的切切线线被被两两坐坐标标轴轴所所截截线线段段的的最最短短长长度度.设设切切点点为为)1,(2uu,则则切切线线方方程程为为 )(2132uxuuy ,即即 2332uxuy ,在在两两轴轴上上的的截截距距分分别别为为u23,23u,则则所所截截线线段段长长度度为为 42143uul ,设设 4214)(uuuf ,而而02021)(6 uuf,故故2 u为为极极小小值值点点,例例6 6解解，令令042)(5uuuf ,2 u于是所求线段的最短长度为于是所求线段的最短长度为 .233143242 uul43(数数二二,9 90 0,5 5 分分)求求曲曲线线211xy 的的拐拐点点.
28、题型题型7 7：求函数曲线的凹凸区间与拐点：求函数曲线的凹凸区间与拐点 解解例例1 1令令0 y，,)1(222xxy ,)1()13(2322xxy 得得31 x，两两侧侧y 异异号号，故故)43,31(均均为为拐拐点点.44(+0 05 5,3 3 分分)设设函函数数xxxf|1|)(，则则 ()。解解例例2 2所所以以)(xf在在1 x处处不不可可导导；(A)1 x是是)(xf的的极极值值点点，但但)0,1(不不是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点(B)1 x不不是是)(xf的的极极值值点点，但但)0,1(是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点(C)1 x是是)(xf的的极极值值点点，且且
29、)0,1(是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点(D)1 x不不是是)(xf的的极极值值点点，)0,1(也也不不是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点,1 ,110,1 ,11|1|)(xxxxxxxxf,1111lim)1(1 xxfx,1)1(f45可可见见在在1 x两两侧侧)(xf 和和)(xf 均均异异号号，故应选故应选(C).).,1 ,110,1 ,11|1|)(xxxxxxxxf,1 ,1 0,1 ,1)(22 xxxxxxf,1 ,20,1 ,2 )(33 xxxxxxf所以所以1 x是是)(xf的极值点，的极值点，且且)0,1(是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点，46(9 94
30、 4,3 3 分分)曲曲线线)2)(1(1arctane212 xxxxyx的的渐渐近近线线有有 题型题型8 8：求函数曲线的渐近线：求函数曲线的渐近线 解解例例1 1水水平平渐渐近近线线 4 y；（A A）1 1条条（B B）2 2条条（C C）3 3条条（D D）4 4条条 )2)(1(1arctanelimlim21x2 xxxxyxx,4 ,lim0 yx铅铅直直渐渐近近线线0 x；1 x和和2 x不不是是渐渐近近线线，选选(B).B).47曲曲线线22e1e1xxy ().（A A）没有渐近线没有渐近线（B B）仅有水平渐近线仅有水平渐近线（C C）仅有铅直渐近线仅有铅直渐近线（D
31、D）既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线1e1e1lim22 xxx，0 x为为铅铅直直渐渐近近线线。选选(D).解解例例2 2(91(91二二3)3)1 y为为水水平平渐渐近近线线；22e1e1lim0 xxx，48例例3 3(0 07 7,4 4 分分)曲曲线线)e1ln(1xxy ，渐渐近近线线的的条条数数为为 解解水水平平渐渐近近线线 0 y；（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 ,0)e1ln(1lim xxx,)e1ln(1lim0 xxx铅铅直直渐渐近近线线0 x；xyxlim)e1ln(1lim2xxxx xxx)
32、e1ln(lim xxxe1elim ,1 49,1lim xyx于于是是有有斜斜渐渐近近线线：xy .)1(limxyx )e1ln(1limxxxx )e1ln(limxxx xxxee1lnlim 故应选故应选(D).D).,0 例例3 3(0 07 7,4 4 分分)曲曲线线)e1ln(1xxy ，渐渐近近线线的的条条数数为为 解解（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 50一般来说，有水平渐近线一般来说，有水平渐近线(即即cyx lim)就不就不再考虑斜渐近线，但当再考虑斜渐近线，但当yx lim不存在时，就要分别讨论不存在时，就要分别讨论x
33、和和x两种情况，即左右两侧的渐近线。两种情况，即左右两侧的渐近线。【评注】【评注】本本题题在在0 x的的一一侧侧有有水水平平渐渐近近线线，而而在在0 x的的一一侧侧有有斜斜渐渐近近线线。关关键键应应注注意意指指数数函函数数 xe当当 x时时极极限限不不存存在在，必必须须分分 x和和 x进进行行讨讨论论。例例3 3(0 07 7,4 4 分分)曲曲线线)e1ln(1xxy ，渐渐近近线线的的条条数数为为（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 51(+0 07 7,4 4 分分)函函数数 xxxf1e|)(有有（）条条渐渐近近线线。解解例例4 4所所以以有
34、有斜斜渐渐近近线线 1 xy；（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 ,1elim)(lim1 xxxxxf)1e(lim)(lim1 xxxxxxf)1(limxxx ,1 类类似似有有斜斜渐渐近近线线 1 xy；xxxxxf100elim)(lim txtttelim 1 ,所所以以有有铅铅直直渐渐近近线线 0 x。故应选故应选(D).D).52题型题型9 9：确定函数方程：确定函数方程 f(x)=0 0 的根的根 解解例例1 1（A A）2 2（B B）4 4（C C）6 6（D D）8 8 可可见见当当4 a时时，函函数数)(xf恰恰好好有有两
35、两个个零零点点，选选(B).B).12186)(2 xxxf,)2)(1(6 xx,4)2(,5)1(afaf 【评注】【评注】对对于于三三次次多多项项式式函函数数dcxbxaxxf 23)(，当当两两个个极极值值同同号号时时，函函数数)(xf只只有有一一个个零零点点；当当两两个个极极值值异异号号时时，函函数数)(xf有有三三个个零零点点；当当两两个个极极值值有有一一为为零零时时，函函数数)(xf有有两两个个零零点点.(8 87 7,4 4 分分)当当 a取取下下列列哪哪个个值值时时，函函数数32)(xxf axx 1292恰恰有有两两个个不不同同的的零零点点 xyo53证证(+0 05 5,
36、7 7 分分)设设函函数数axxy sin2在在)2,0(内内有有且且仅仅有有 1 个个零零点点，求求正正数数 a 的的取取值值范范围围.例例2 22,0,sin2)(xaxxxf,22)2(,0)0(afaf 40cos21)(0 xxxf令令 24 ,040 ,0)(xxxf 24 ,40 ,)(xxxf递增递增递减递减542,0,sin2)(xaxxxf,22)2(,0)0(afaf （1）当当 22 a 时时，,022)2(af )(xf在在)2,0(内内无无零零点点；（2）当当 220 a 时时，,022)2(af )(xf在在)2,0(内内有有且且仅仅有有一一个个零零点点；所所以以
37、本本题题答答案案是是：220 a.55证证(+07,9(+07,9 分分)试利用微分学方法试利用微分学方法,根据常数根据常数 k 的各种不同取的各种不同取值，讨论曲线值，讨论曲线kyxx ee2与曲线与曲线kxyxx2e4e22 的交点个数情况。的交点个数情况。例例3 3即即讨讨论论 ),(,e3e)(2 xkxxfxx 的的零点的个数。零点的个数。令令 01e3e2)(2 xxxf，得得驻驻点点 2ln1 x，02 x，,e3e4)(2xxxf ,021)2ln(f所所以以2ln1 x为为极极大大值值点点；,01)0(f所所以以02 x为为极极小小值值点点。,)(,)(ff56xyo,2)0
38、(452ln)2ln(kfkf当当 0)2ln(452ln fk 或或者者 0)0(2 fk时时，只有一个交点；只有一个交点；当当 0)2ln(452ln fk 或或者者 0)0(2 fk时时，有两个交点；有两个交点；当当 )2ln(0)0(2452ln ffk 时时，有有三三个个交交点点。57题型题型1010：确定方程：确定方程的根的根0)(),(,xfxfxF(9 99 9,7 7 分分)设设函函数数)(xf在在 1,0上上连连续续，在在)1,0(内内可可导导，且且0)1()0(ff，1)5.0(f。试试证证：（1 1）)1,5.0(，使使 )(f；（2 2）对对任任意意实实数数，必必存存
39、在在),0(，使使得得.构构造造辅辅助助函函数数xxfxF )()(,它它在在 1,5.0上上连连续续,且且 由由零零点点存存在在定定理理，)1,5.0(，使使0)(F，例例1 1证证.1)()(ff,05.05.0)5.0()5.0(fF,011)1()1(fF即即 )(f；(1)(1)58分析：用微分方程法分析：用微分方程法,原原等式等式改写为改写为,)(1)(xxfxf ，令令xxfxg )()(，得得)()(xgxg ，解得解得xCxg e)(.e)(Cxgx 即即构构造造辅辅助助函函数数xxxfx e)()(，证证(2)(2)(9 99 9,7 7 分分)设设函函数数)(xf在在 1
40、,0上上连连续续，在在)1,0(内内可可导导，且且0)1()0(ff，1)5.0(f。试试证证：（1 1）)1,5.0(，使使 )(f；（2 2）对对任任意意实实数数，必必存存在在),0(，使使得得.例例1 1.1)()(ff59证证构构造造辅辅助助函函数数xxxfx e)()(，显显然然)(x 在在1,0,0 上上连连续续，在在),0(内内可可导导，且由题设及且由题设及(1)(1)知知,0)0()0(f,0)(e)(f由由罗罗尔尔定定理理，),0(，使使得得0)(，即即,0e)(1)(ff,)(1)(ff,0)1()0(ff,)(f例例1 1.1)()(ff即即60设设函函数数)(xf在在,
41、ba上上连连续续,在在),(ba内内可可导导,证证明明：在在),(ba内内至至少少存存在在一一点点 ,使使(95(95七七5)5).)()()()(ffabaafbbf 类题类题设设)(xf在在 1,0上上二二阶阶可可导导,且且0)1()0(ff,证证明明:)1,0(,使使 1)(2)(ff.构构造造辅辅助助函函数数 )()1()(2xfxx .,1)(2)(xxfxf ,12)()(xxfxf ,)1()(2xCxf 61已已知知函函数数)(xf在在 1,0连连续续,在在)1,0(内内可可导导,且且0)0(f,1)1(f.证证明明:例例2 2证证()存存在在)1,0(,使使得得 1)(f;(
42、)存存在在两两个个不不同同的的点点)1,0(,使使得得1)()(ff.05(18)1205(18)12()()略略.()在在,0 和和1,上对上对)(xf分别应用拉格朗日中值分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个定理，知存在两个不同的点不同的点,),0(,)1,(使得使得 0)0()()(fff,)(f 1)()1()(fff,1)(1 f)()(ff 1)(1)(ff 11.1 所以所以62(9 98 8,6 6 分分)设设函函数数)(xf在在,ba上上连连续续，在在),(ba内内可可导导，且且0)(xf，试试证证：存存在在),(,ba ，使使得得 eee)()(abffab。由由拉拉格格朗朗
43、日日中中值值定定理理知知，存存在在),(ba ，使使得得 例例3 3解解,)()()(abafbff 代代入入 eee)()(abffab，转转化化为为只只需需证证明明,e)(ee)()(fafbfab 显显然然，只只需需对对)(xf和和xxge)(在在,ba上上应应用用柯柯西西中中值值定定理理即即可可。63(0 07 7,1 11 1 分分)设设函函数数)(),(xgxf在在a,b上上连连续续，在在(a,b)内内具具有有二二阶阶导导数数且且存存在在相相等等的的最最大大值值，)()(agaf，)()(bgbf 证证明明：存存在在),(ba ，使使得得)()(gf 。【证明】【证明】构构造造辅辅
44、助助函函数数 )()()(xgxfxF ，由由题题设设有有 0)()(bFaF。又又)(),(xgxf在在(a,b)内内具具有有相相等等的的最最大大值值,21xx ,),(,21baxx 使使得得 不妨设存在不妨设存在,)(max)(,1xfMxfbax )(max)(,2xgMxgbax 若若21xx ，令令1xc ,则则0)(cF；例例4 464若若21xx ，因因0)()()(111 xgxfxF，从从而而存存在在),(,21baxxc ，使使0)(cF。,0)()()(222 xgxfxF在在区区间间,bcca上上分分别别利利用用罗罗尔尔定定理理知知，存存在在),(),(21bcca
45、，使使得得 0)()(21 FF，再再对对)(xF 在在区区间间,21 上上应应用用罗罗尔尔定定理理，知知存存在在),(),(21ba ，有有 0)(F，即即 )()(gf ,)(max)(,1xfMxfbax )(max)(,2xgMxgbax 65(数一数一,99,6,99,6 分分)试证试证:当当0 x时时,22)1(ln)1(xxx.题型题型1111：利用导数证明不等式：利用导数证明不等式 证证例例1 1构构造造辅辅助助函函数数 11ln)(xxxx，所所以以)(x 在在),0(内内单单调调增增加加，而而0)1(，故故 2)1(21)(xxx 22)1(1 xxx,0)0(x当当10
46、x时时，0)(x；当当1 x时时，0)(x，于是于是)()1(2xx 22)1(ln)1(xxx,0),0(x即即有有 22)1(ln)1(xxx，0 x.66证法证法1对对函函数数x2ln在在,ba上上应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,得得 设设2ee ba,证证明明)(e4lnln222abab .【分析】【分析】根据所证不等式的形式根据所证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明定理或转化为函数不等式用单调性证明.),(ln2lnln22baabab 设设tttln)(,则则2ln1)(ttt ,当当e t时时,0)(t 所所以以)
47、(t 单单调调减减少少,从从而而)e()(2 ,即即 222e2eelnln ,故故)(e4lnln222abab .例例2 204(15)1204(15)1267证法证法2设设 xxx22e4ln)(,则则 2e4ln2)(xxx,所所以以当当e x时时,0)(x 从从而而当当2ee x时时,2ln12)(xxx ,故故)(x 单单调调减减少少,)e()(2 x 0e4e422 ,即即当当2ee x时时,)(x 单单调调增增加加.因因此此当当2ee x时时,)()(ab ,即即 aabb2222e4lne4ln ,故故)(e4lnln222abab .设设2ee ba,证证明明)(e4lnl
48、n222abab .例例2 268)(e4lnln)(222axaxx ,2ee xa,【评评注注】本本题题也也可可设设辅辅助助函函数数为为 或或)(e4lnln)(222xbxbx ,2ee bx,再用单调性进行证明即可再用单调性进行证明即可.设设2ee ba,证证明明)(e4lnln222abab .例例2 269(9 92 2,3 3 分分)设设商商品品的的需需求求函函数数为为PQ5100 ，其其中中PQ,分分别别表表示示需需求求量量和和价价格格，如如果果商商品品需需求求弹弹性性的的绝绝对对值值大大于于 1 1，则则商商品品价价格格的的取取值值范范围围是是 。题型题型1212：导数在经济
49、上的应用：导数在经济上的应用 解解例例1 1由由题题意意，151005 PP，解解得得20 P或或2010 P，而而05100 PQ，有有20 P，所所以以 P 的的取取值值范范围围是是)20,10(。需求弹性为需求弹性为 )()(PQPQP ,51005PP 70(93,9(93,9 分分)设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为,)(2cbqaqqC 需求函数为需求函数为),(1pdeq 其中其中 q 为需求量为需求量(即产量即产量)，p 为单为单价，价，edcba,都是正的常数，且都是正的常数，且bd ，求，求:例例2 2解解(1)(1)利润最大时的产量及最大利润；利润最大时的产量及最大
50、利润；(2)(2)需求对价格的弹性；需求对价格的弹性；(3)(3)需求对价格弹性的绝对值为需求对价格弹性的绝对值为1 1时的产量时的产量.（1 1）利润函数为）利润函数为 CpqL )()(2cbqaqqeqd ,)()(2cqaeqbd ,)(2)(qaebdL 令令0 L，得得 )(2aebdq ，因因为为0)(2 aeL，所所以以，当当)(2aebdq 时时，利利润润最最大大，.)(4)(2maxcaebdL 71例例2 2解解(1)(1)利润最大时的产量及最大利润；利润最大时的产量及最大利润；(2)(2)需求对价格的弹性；需求对价格的弹性；(3)(3)需求对价格弹性的绝对值为需求对价格
