1、主讲主讲：严国：严国志志第第2章章 连续连续时间信号与系统时间信号与系统的的时域时域分析分析2022-7-2542.1 2.1 引言2.2 典型连续信号及其基本特性2.3 连续时间信号的基本运算2.4 连续时间系统的数学模型2.5 单位冲激响应和单位阶跃响应2.6 卷积积分及其性质2.7 用单位冲激响应表征的线性时不变系统的特性习题习题 信号与系统分析的基本信号与系统分析的基本任务任务之一之一是是在给定输入（激励）和系在给定输入（激励）和系统的情况下，求出系统的输出（响应）。如果这种求解过程统的情况下，求出系统的输出（响应）。如果这种求解过程和方法都是在连续和方法都是在连续时间域时间域 t 内
2、内进行的进行的，就是，就是时域分析方法时域分析方法。本章首先介绍常用的连续时间信号及其基本本章首先介绍常用的连续时间信号及其基本性质。性质。然后然后建立连续时间系统的数学模型建立连续时间系统的数学模型线性常系数微分方程线性常系数微分方程。从从系统的角度，把微分方程的解分解为仅由系统的初始状态系统的角度，把微分方程的解分解为仅由系统的初始状态形成的形成的零输入响应零输入响应和仅由系统的和仅由系统的激励形成激励形成的的零状态响应零状态响应。并。并讨论单位讨论单位冲激响应冲激响应 和单位阶跃响应和单位阶跃响应 的求解方法的求解方法。最后最后介绍卷积积分的定义和性质，并从系统的角度得出系统介绍卷积积分
3、的定义和性质，并从系统的角度得出系统的零状态响应的卷积求解法。的零状态响应的卷积求解法。典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样信号 奇异信号 单位阶跃信号 单位冲激信号 符号函数 冲激偶信号n 对对时间的微、积分仍是同频时间的微、积分仍是同频率率正弦信号正弦信号n 正弦信号是周期信号，其正弦信号是周期信号，其周周期期 T T 与角频率与角频率 和频率和频率 f 满足下列关系式：满足下列关系式：21Tf2.2.1 正弦信号正弦信号()sin()x tAt（1）实指数信号）实指数信号()stx tAesj()tx tAe指数信号一般形式即02.2.2 指数信号指数信号（2
4、）虚指数信号）虚指数信号()=(cossin)j tx tAeAtjt虚指数信号的周期：()()()j tjt Tx tx tTAeAe2,1,2,.Tn n 虚指数信号的基波周期：即02T有有（3）复指数信号）复指数信号+()(cossin)tj ttx tAeAetjt1sin()()21cos()()2j tj tj tj tteejtee例例2-1：试画出试画出 f=50Hz,的电力系统常见暂态波形的电力系统常见暂态波形/p()2cos(2)e()tu tUftt0.1%例2-1t=0:0.0001:0.2;U=1;tao=0.05;f=50;w0=2*pi*f;ut=U*sqrt(2
5、)*exp(-1/tao*t).*cos(w0*t+0);plot(t*1000,ut)xlabel(t/ms)ylabel(u(t)020406080100120140160180200-1.5-1-0.500.511.5t/msu(t)抽样信号抽样信号Sa(t)aatatatSantSatttSatttSadttSadttSanttt横坐标对应位置除以偶函数sin)()6(,.2,1,0)()5(0sin)()4(1sin)()3()(,2)()2()1(limlim00抽样函数的性质抽样函数的性质Sa(tsin(4)tt抽样信号：注意注意MATLAB中的中的sinc函数定义为函数定义为s
6、insin()tc tt2.2.3 抽样抽样信号信号%抽样信号画图抽样信号画图t=-10:0.01:10;xt=sinc(t);plot(t,xt)xlabel(t)ylabel(x(t)title(抽样信号)-10-8-6-4-20246810-0.4-0.200.20.40.60.81tx(t)抽 样 信 号（1）定义）定义1 0()()0 0ttu tt0001 ()0 ttttt 0、a0:（4）信号的翻转）信号的翻转()()x txt翻转：将信号翻转：将信号x(t)的自变量的自变量 t 用用 t 替代替代（5）信号的尺度变换）信号的尺度变换()()x tx at尺度变换：将信号尺度变
7、换：将信号x(t)的自变量的自变量 t 用用 at 替代替代若若0a1,则则x(at)是是x(t)的压缩的压缩例例2-4：已知已知x(t)的波形如图，试画出的波形如图，试画出x(-2t+4)的波形的波形()(-)(+4)(2+4)x tx txtxt 反折右移4压缩（6）信号的微分、积分）信号的微分、积分1 40 1 3 0t tt t1 10 1 3 4 0()()dx ttdt()()x tt-1()()dx ty tdt()()ty txd结论：结论：（1 1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐锐化化的作用；的作用；（2
8、2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响的影响。-2-1.5-1-0.500.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91x(t)例例2-5：已知三角波已知三角波x(t)，画出其微分与积分的波形，画出其微分与积分的波形%例题例题2-5dt=0.001;t=-2:dt:2;xt=triwave(t);y1=diff(xt)/dt;%微分subplot(311);plot(t,xt);title(x(t)subp
9、lot(312);plot(t(1:length(t)-1),y1)title(dx(t)/dt)t=-2:dt:2;for x=1:length(t)y2(x)=quad(triwave,0,t(x);%积分endsubplot(313);plot(t,y2)title(integral of x(t)-2-1.5-1-0.500.511.5200.51x(t)-2-1.5-1-0.500.511.52-2-101dx(t)/dt-2-1.5-1-0.500.511.52-0.500.51integral of x(t)（7）连续时间信号）连续时间信号的的分解和分解和合成合成)()(txxt
10、xADdttxTPTT222)(1dttxTxTTAD2222)(1说明：说明：一一个信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和。个信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和。信号的平均值即为信号的直流分量，去掉直流分量即得交流分量信号的平均值即为信号的直流分量，去掉直流分量即得交流分量 任意信号分解为直流分量与交流分量之和任意信号分解为直流分量与交流分量之和 任意信号任意信号分解为分解为奇偶分量之和奇偶分量之和 对任何实信号而言：对任何实信号而言：信号的平均功率信号的平均功率=偶分量功率偶分量功率+奇分量功率奇分量功率 eoeeoo()()()eeven()()o:oddx tx tx txtx
11、tx txt：偶分量奇分量e1()()()2x tx txto1()()()2x tx txt例：例：将信号分解为奇、偶分量1()()()()()211()()()()22()()eox tx tx txtxtx txtx txtx tx t,t当 x脉高：脉宽：矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为()()xtt 任意信号分解任意信号分解为为冲激冲激信号之信号之和和 出现在不同时刻的不同出现在不同时刻的不同强度的冲激函数的和。强度的冲激函数的和。()()ttx）()()()(x txtt）tttttd)(d()(lim0）,d0 令dtxtx)()()(即：即：连续时间系统连续时间系统
12、的的数学模型数学模型 经典经典时域分析方法时域分析方法齐次解齐次解 yh(t)的形式的形式常用常用激励对应的特解形式激励对应的特解形式 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应零输入响应零输入响应的求解的求解零状态响应零状态响应的求解的求解系统响应系统响应划分划分零状态响应零状态响应的的Matlab求解求解零输入响应零输入响应的的Matlab求解求解2.4.1 连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型 用用N阶常系数微分方程描述阶常系数微分方程描述()()00()()nmijijija ytb xt)()()()()()()()(0111)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbty
13、atyatyatyammmmnnnn连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应 经典时域分析方法经典时域分析方法 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 卷积法卷积法微分方程的完全解应为微分方程的齐次解与特解之和微分方程的完全解应为微分方程的齐次解与特解之和)()()(tytytyph0)()()()(0)1(111)(tyatyatyatyahhnhnnhn齐齐次方程为：次方程为：特征方程特征方程为：为：00111aaaannnn2.4.2 经典时域分析方法经典时域分析方法（1 1）当特征方程）当特征方程存在存在 n 个个不同的单根时（单根中包括实根不同的单根时（单根中包括实根也包含共
14、轭复根），其解也包含共轭复根），其解为：为：1()inthiiytCeiC为待为待定系数，定系数，由系统初始条件由系统初始条件确定。确定。（2 2）当特征方程）当特征方程存在存在 r 个重根个重根 ，n-r 个单根时：个单根时：11()jrntr ithijij ry tCteC e 齐次解齐次解 yh(t)的形式的形式常用激励对应的特解形式常用激励对应的特解形式例例2-62-6：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=4,y(0)=-6,输入信号 ，求系统的齐次解、特解、完全解()4()3()()3(),0yty ty tx tx tt2()x tt解：解：1）求齐次方
15、程求齐次方程的的 齐次解：齐次解：()4()3()0yty ty t特征方程为：特征方程为：特征特征根为：根为：齐次解为：齐次解为：03423,121ttheCeCty321)(2）求非齐次方程的）求非齐次方程的 的特解：的特解：由输入的形式，设方程的特解为由输入的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数将特解带入原微分方程即可求得常数3）求方程的全解）求方程的全解3212()()()22tthpy ty tytC eC ett12(0)24yCC12(0)326yCC 32()22,0tty teettt12=1=1CC，解得解得()4()3()()3()yty ty tx tx
16、 t2210()pytD tDtD2101,2,2DDD 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励x(t)的形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。自由响应自由响应强迫响应强迫响应32()+22tty teett讨论：讨论：若初始条件不变，输入信号改变，系统的完全响应如何？若初始条件不变，输入信号改变，系统的完全响应如何？若若输入信号不变，初始条件改变，系统的完全输入信号不变，初始条件改变，系统的完全响应响应如何？如何？经典法不足之经典法不足之处：处：若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理；若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理；若激励信号发生变
17、化，则须全部重新求解；若激励信号发生变化，则须全部重新求解；若初始条件发生变化，则须全部重新求解；若初始条件发生变化，则须全部重新求解；是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。其实，产生系统响应的原因其实，产生系统响应的原因无非两无非两个个：系统系统的初始状态的初始状态和系统和系统的激励信号的激励信号。因此，因此，系统的完全响应可以分解系统的完全响应可以分解为：为：仅仅由系统的由系统的初始状态初始状态引起的引起的零输入响应零输入响应 ；仅仅由系统的由系统的激励信号激励信号引起的引起的零状态响应零状态响应 ；即：即：()()()zizsy ty
18、tyt零输入响应零输入响应是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响应应。它。它与激励无关，其数学模型是与激励无关，其数学模型是齐次微分方程齐次微分方程。零状态响应零状态响应是不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加是不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激激励信号励信号所产生的响应。所产生的响应。2.4.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（1 1）零输入响应的求解）零输入响应的求解零输入响应是零输入响应是当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响当外加激励为零时，仅由系统初始条件产生的响应应。它。它与激励无关，其数学模型是与激励无
19、关，其数学模型是齐次微分方程齐次微分方程。数学模型：数学模型：求解方法：求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式；根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式；再再由初始条件由初始条件 （0-0-时刻）时刻）确定待定系数。确定待定系数。10,00nziziziyyy,.,0)()()()(0)1(111)(tyatyatyatyazizinzinnzin 求求 的基本的基本步骤：步骤：求系统的求系统的特征根特征根，写出，写出 的通解表达式。的通解表达式。由于激励为零，所以由于激励为零，所以零输入响应的零输入响应的初始值：初始值：确定待定确定待定系数系数 C1，C2，Cn 将确定出的待定将
20、确定出的待定系数系数 C1，C2，Cn 代入代入通解表达式，即得通解表达式，即得 。()ziyt()ziyt()ziyt)0()0()()(iziiziyynktzikzikeCty1)(例例2-72-7：已知某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为：已知某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为：系统的初始状态为系统的初始状态为 ，求系统的零输入响应求系统的零输入响应22()()54()4(),0d y tdy ty tx t tdtdt(0)2,(0)5yy()ziyt解：解：特征方程为：特征方程为：特征特征根为：根为：25401214 ，412()ttziy tKeKe1212(0)2(0
21、)45ziziyKKyKK 4()+,0ttziyteet121,1KK解解得：得：（2 2）零状态响应的求解）零状态响应的求解零状态响应是不考虑起始时刻系统储能的作用零状态响应是不考虑起始时刻系统储能的作用，仅由仅由系统外加系统外加激励信号激励信号所产生的响应。所产生的响应。求解方法求解方法 经典解法：经典解法：直接求解初始状态为直接求解初始状态为 0 0 的微分方程。的微分方程。卷积法：卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。（将在（将在2.62.6节介绍）节介绍）（1 1）即求解对应非齐次微分方程的解）即求解对应非齐次微分方程的解（2 2）
22、求解基本步骤）求解基本步骤 求系统的特征根，求系统的特征根，写出通解写出通解表达式表达式 。根据根据 的形式，确定特解形式，代入方程解得特解的形式，确定特解形式，代入方程解得特解 求全解求全解，由，由0+0+初始状态确定初始状态确定待定系数待定系数 C C1 1，C C2 2，C Cn n，u若方程若方程右边没有右边没有冲激函数（及其各阶导数冲激函数（及其各阶导数），），u若若方程右边有冲激函数（及其各阶导数方程右边有冲激函数（及其各阶导数），），根据冲激函数匹配根据冲激函数匹配法法求得求得 将待将待定定系数系数 C1，C2，Cn代入全解表达式，即得。代入全解表达式，即得。（3 3）0 0时刻
23、的值时刻的值-冲激函数匹配法冲激函数匹配法()(0)izsy()zshyt()x t()zspyt 零状态响应的经典零状态响应的经典解法：解法：)0()0()()(izsizsyynktzskzskeCty1)(冲激函数冲激函数匹配法匹配法 目的：目的：用来求解初始值，求（用来求解初始值，求（0 0）和（）和（0 0）时刻值）时刻值 的关系。的关系。应用条件：应用条件：如果微分方程右边如果微分方程右边包含包含 (t)及其及其各阶导各阶导 数，那么（数，那么（0 0）时刻的值不一定等于（）时刻的值不一定等于（0 0）时刻的值。时刻的值。原理：原理：利用利用t t0 0 时刻时刻方程两边方程两边的
24、的 (t)及及各阶导数各阶导数 应该平衡的原理来求解（应该平衡的原理来求解（0 0）。）。)(.)()()(.)()()1(210)(10tbtbtbbtyatyatyammnn 若若 m n，则，则设：设：0)(.)()(.)(.)()()(.)()()1()(12)2()1(01)1()(tytyCtyCtCtCtyCtCtCtymnmmnmmnmmn对于线性时不变常系数对于线性时不变常系数微分方程微分方程，当，当 x(t)=(t)时：时：若若 m n，则，则设：设：1)1(12)2()1(01)1()(.)()(.)(.)()()(.)()(nnmmmmnmmnCtCtyCtCtCtyC
25、tCtCty将将 y(t)及其及其各阶导数带入原方程，求各阶导数带入原方程，求出出 C0 Cm;对对 y(t)及及各阶导数求（各阶导数求（0，0）的）的积分，最终得到积分，最终得到 0+时刻的时刻的y(t)及各阶导数的值及各阶导数的值.例例2-8：描述某系统的微分方程为：已知y(0-)=2，y(0-)=0，求y(0+)和y(0+)。解：解：将输入 代入上述微分方程得冲激函数匹配法，所以代入原方程得代入原方程得 C1=2，C0=0()+3()+2()2()6()y ty ty ttt()+3()+2()2()6()y ty ty tx tx t()()x tt()()x tt01)()(CtCt
26、y1)(Cty0)(tyu 当当微分方程等号右端微分方程等号右端含有冲激函数含有冲激函数（及其各阶导数）时（及其各阶导数）时，响应响应 y(t)及其及其各阶导数中，各阶导数中，有可能在有可能在 t=0 处产生处产生跃变跃变。u 但但如果右端不含时，则不会跃变。如果右端不含时，则不会跃变。20)0()0(22)0()0(yyyy从从0-0-到到0+0+积分得：积分得：即即：0)(2)(tty2)(ty0)(ty2)0()0(yy0)0()0(yy解得：解得：)0()0()()(izsizsyyy(0-)=2，y(0-)=0例例2-9：描述某系统的微分方程描述某系统的微分方程为：为：已知：已知：求
27、求该系统的全该系统的全响应、零输入响应响应、零输入响应和零状态响应。和零状态响应。()+3()+2()2()6()y ty ty ttt解：解：（）经典法求全响应经典法求全响应 利用系数匹配利用系数匹配法，由例法，由例2-82-8得得：()+3()+2()2()6()y ty ty tx tx t)()(,0)0(,2)0(ttxyy20)0()0(22)0()0(yyyy根据微分方程经典求法：根据微分方程经典求法：对齐对齐次解次解：有特征方程：有特征方程：，特征根为，特征根为 -2-2、-1-1齐次解形式为：齐次解形式为：对特解对特解,根据激励有特解形式为：根据激励有特解形式为：，解得，解得
28、 B3得得全全响应形式响应形式为为：2320ttheCeCty221)(Btyp)(3)(221tteCeCty代入代入0+0+初始值有：初始值有：0121CC1212(0)-22(0)32yCCyCC 即：即：3)(2 tety暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量全响应为：全响应为：（b b）零输入响应零输入响应 ,激励为激励为0 0，根据特征根求得通解为：根据特征根求得通解为：212()ttziytC eC e4221CC2()24,0ttziyteet(0)(0)(0)0(0)(0)(0)2ziziziziyyyyyy ()ziyt代入初始值解得系数代入初始值解得系数为：为：代入通解代入通解
29、得：得：（c c）零状态响应零状态响应满足满足 (0)(0)22(0)(0)00zszszszsyyyy ()zsyt()+3()+2()2()6()zszszsytytyttt(0)=(0)0zszsyy 01)()(CtCtyzs1)(Ctyzs0)(tyzs解解得：得：C1=2，C0=0即即：)(2)(ttyzs2)(tyzs0)(tyzs从从0-0-到到0+0+积分得：积分得：2)0()0(zszsyy0)0()0(zszsyy故：故：冲激函数匹配法：对对 t 0 时时，有：有：齐次解为：齐次解为：特解为：特解为：于是于是有：有：根据根据0+0+初始值初始值求得求得:即：即：全响应：全
30、响应：1214zszsCC 212()ttzshzszsytC eCe212()3ttzszszsytC eCe2()430ttzsyteet，()+3()+2()6zszszsytytyt(0)2(0)0zszsyy 3)(tyzsp)()()(tytytyzszi0,32tet 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响应零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响应的一部分和强迫响应构成的一部分和强迫响应构成 。222()3()()(24)(43)0tttttzizsy teytyteeeet ，自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应11=+(
31、)+()()=+kknnttzikzskpkkhy tC eCeyty t 完全响应 零输入响应零状态响应 完全解 齐次解 =+特解 完全响应 自由响应强迫响应 由系统固有参数决定由外加激励信号决定（3 3）系统响应）系统响应划分划分自由响应自由响应强迫响应强迫响应暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 y=lsim(sys,x,t)t：表示计算系统响应的抽样点向量；x：是系统输入信号向量；sys：是LTI系统模型，借助 tf 函数获得：sys=tf(b,a)b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量，)()()()()()()()(01230123txb
32、txbtxbtxbtyatyatyatyaa=a3,a2,a1,a0;b=b3,b2,b1,b0;sys=tf(b,a)#（4 4）连续时间系统零状态响应连续时间系统零状态响应的的MatlabMatlab求解求解比如：比如：1()kntzizikkytC e121122111(1)11222+.+(0-)+.+(0-).+.+(0-)zizizinzizizinzinzinnnnzizizinziCCCyCCCyCCCy1211112111=nnnnnV12=zizizinccCc(1)(0)(0)0=(0)zizinziyyyy#（5 5）连续时间系统零输入响应连续时间系统零输入响应的的Ma
33、tlabMatlab求解求解0yCV01yVC即：即：有：有：ts=0;te=5;dt=0.01;t=ts:dt:te;a=1,3,2;b=2,6;p=roots(a);%求特征根V=rot90(vander(p);y0=2,0;C=Vy0;for k=1:length(p)y_ji(k,:)=exp(p(k)*t);endyzit=C.*y_ji;%求零输入响应figuresubplot(311)plot(t,yzit);grid onxlabel(t/s)ylabel(yzi(t)title(零输入响应)sys=tf(b,a);x=ones(1,length(t);yzst=lsim(sy
34、s,x,t);%求零状态响应subplot(312)plot(t,yzst);grid onxlabel(t/s)ylabel(yzs(t)title(零状态响应)%yt=yzit+yzst;%求完全响应subplot(313)plot(t,yt);grid onxlabel(t/s)ylabel(y(t)title(完全响应)01234500.511.52t/syzi(t)零 输 入 响 应0123450123t/syzs(t)零 状 态 响 应01234522.53t/sy(t)完 全 响 应例例2-102-10：描述某系统的微分方程为：已知y(0-)=2，y(0-)=0，。求系统的全响应
35、、零输入响应和零状态响应。()+3()+2()2()6()y ty ty tx tx t()()x tt 连续时间系统单位冲激响应连续时间系统单位冲激响应 连续时间系统的单位阶跃响应连续时间系统的单位阶跃响应 连续时间系统冲激响应和阶跃响应的连续时间系统冲激响应和阶跃响应的MatlabMatlab求解求解在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号位冲激响应，以符号 h(t)表示。表示。)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tbtbtb
36、tbthathathathmmmmnnnN N阶连续时间阶连续时间LTILTI系统的冲激响应系统的冲激响应 h(t)满足：满足：单位冲激响应的定义单位冲激响应的定义2.5.1 连续时间系统单位冲激响应连续时间系统单位冲激响应由于由于 t 0+后，方程右端为零，故当后，方程右端为零，故当 nm 时时1()()()intiih tC et当当nm时，为使方程两边平衡，时，为使方程两边平衡，h(t)应含有冲激应含有冲激及其高阶导数，即及其高阶导数，即()10()()()()inm ntjijijh tC etAt将将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数数
37、 Ci，Aj假设系统特征根假设系统特征根为为 n个不相等的个不相等的实根实根：例例2-112-11：已知某线性时不变连续时间系统的微分方程：试求系统的单位冲激响应。()5()2(),0dy ty tx ttdt解解：当x(t)=(t)时，y(t)=h(t)，即：方程式的特征根 =-5，且 nm，故h(t)的形式为 5()()th tCet55()+5()2()ttdCetCettdt5()2()th tet 解解得得 C=2，()5()2(),0dh th tttdt例例2-122-12：已知某线性时不变连续时间系统的微分方程：试求系统的单位冲激响应。解解：当x(t)=(t)时，y(t)=h(
38、t)，即方程式的特征根 1=-2，2=-1且n=m，故h(t)的形式为：解解得得 A=-2，B=4，2()2e()4e()tth ttt()3()2()2()6(),0y ty ty tx tx t t()3()2()2()6()h th th ttt2()e()e()tth tAtBt()()(2)()2()6()ABtABttt例例2-12B2-12B：已知某线性时不变连续时间系统的微分方程：试求系统的单位冲激响应。)(2)(3)()(5)(txtxtxtyty解解：当x(t)=(t)时，y(t)=h(t)，即方程式的特征根=-5，且 nm，故h(t)的形式为：)(2)(3)()(5)(t
39、ttthth)()()()(105tAtAtCetht1,35,151100AAAAC121210AAC即：即：故：故：)()(2)(12)(5tttetht有：有：求解方法求解方法 求解求解微分方程微分方程 利用冲激利用冲激信号与阶跃信号的关系信号与阶跃信号的关系求解求解系统在系统在单位阶跃信号单位阶跃信号作用下的作用下的零状态响应零状态响应，称为单位阶跃，称为单位阶跃响应，简称响应，简称阶跃响应，阶跃响应，一般用一般用g(t)g(t)表示。表示。()(1)110()(1)110 ()()()()()()()()nnnmmmmgtagta gta g tbtbtbtbtdttdgth)()(
40、tdhtg)()(2.5.2 连续时间系统单位阶跃响应连续时间系统单位阶跃响应例例2-132-13：求系统的单位阶跃响应g(t)()5()2(),0dy ty tx ttdt解解：系统的单位冲激响应由例2-11有：利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得5()2()th tet552()()2()(1)()5tttg thdedet 2.5.3 连续时间系统冲激响应和阶跃响应的连续时间系统冲激响应和阶跃响应的MatlabMatlab求解求解 y=impulse(sys,t)连续时间系统冲激响应可用连续时间系统冲激响应可用impulse函数直接求出，函数直接求出，其调用形式为：其调用形式为：连
41、续时间系统阶跃响应可用连续时间系统阶跃响应可用step函数直接求出，函数直接求出，其调用形式为：其调用形式为：y=step(sys,t)t：表示计算系统响应的抽样点向量：表示计算系统响应的抽样点向量sys：是：是LTI系统模型系统模型例例2-14：求系统的冲激响应和阶跃响应()3()2()2()6()y ty ty tx tx t%例例2-14a=1,3,2;b=2,6;subplot(211)impulse(b,a);subplot(212)step(b,a)012345600.511.52Impulse ResponseTime(sec)Amplitude01234560123Step R
42、esponseTime(sec)Amplitude 卷积积分的定义卷积积分的定义 卷积积分的性质卷积积分的性质交换律、分配律、结合律交换律、分配律、结合律卷积的微分和积分卷积的微分和积分 x(t)与奇异信号的与奇异信号的卷积卷积卷积的时移卷积的时移卷积的展缩特性卷积的展缩特性 零状态响应的卷积法求解零状态响应的卷积法求解卷积积分的定义卷积积分的定义1212()()()()()y tx tx txx td卷积积分的计算步骤卷积积分的计算步骤1）将x1(t)和x2(t)中的自变量由 t 改为，称为函数的自变量；2）把其中一个信号翻转、平移；3）将x1()与x2(t-)相乘，对乘积后的图形积分。22
43、22()()()()txxxtx t 翻转平移2.6.1 卷积积分的定义和计算卷积积分的定义和计算例例2-152-15：计算12()()(1)()()(2)x tttx ttt和的卷积t=0a)-t012()*()0 x tx t b)0t1120()*()tx tx tdtc)1t21120()*()=1x tx tdd)2t 3112t-2()*()=3x tx tdtd)3t12()*()0 x tx t 一、卷积代数性质一、卷积代数性质交换律交换律分配律分配律结合律结合律 1221x txtxtx t 1231213x txtxtx txtx txt 123123x txtxtx tx
44、txt2.6.2 卷积积分的性质卷积积分的性质二、卷积微分和积分性质二、卷积微分和积分性质 微分微分 121212dddx txtx txtx txtdtdtdtdtxxdtdtxtxdtd)(*)()(*)(2121证明：证明：ddttdxx)(*)(21dttdxtx)(*)(21 1212ddx txtx txtdtdt由卷积的第二种形式，同理可由卷积的第二种形式，同理可证：证：121221tttxxdx txdxtxd积分积分证明：证明：dxxt)(*)(21ddxxt)()(21dxtxt)(*)(21ddxxt)()(21同理：同理：dxtxt)(*)(12 12y tx txt
45、12ijijytxtxt 微积分微积分性性则：则：若：若：特别地：特别地：12tdxtxddt 21tdxtxddt)(*)(21txtx)(*)(21txtx此即：此即：)(*)()1(2)1(1txtx)(*)()1(2)1(1txtx，或注意：注意：应用微积分应用微积分性质是有条件的：性质是有条件的：因为：因为：)()()(111xtxdddxt所以：所以：)()()(111xdddxtxt)(*)()()(*)(21121txxdddxtxtxtdttxxtxtx)()()(*)(21)1(2)1(1同理：同理：)(*)(21txtxdttxxtxtx)()()(*)(12)1(2)1
46、(1故要求：故要求：0)()()()(1221dtxxdttxx即：即：0t)()(0)()(1221dtxdttxxx或，或者或故：故：三、与奇异信号的卷积三、与奇异信号的卷积（1）与冲激函数的卷积）与冲激函数的卷积（2）与冲激函数）与冲激函数的微分的卷积的微分的卷积 11x tttx tt x ttx t kkx ttxt 00kkx tttxtt x ttx t可推导可推导（3）与阶跃函数与阶跃函数的的卷积卷积()()()tx ttxd ty ty x t x t t任意函数与任意函数与 t卷积，相当信号通过一个卷积，相当信号通过一个积分器积分器，如图所示，如图所示证明：证明：tdxdt
47、xttx)()()()(*)(x t h t y tx th t 12x tEtt detgtht2)1()(tet2121解：解：例例2-16:2-16:、如图所示，用微、积分性质求如图所示，用微、积分性质求1 10 0te2 tht2 21 1t x t0 0E E x t tg如下图如下图所所示：示：和和x(t)(t)的微分的微分h(t)(t)的的积分积分210(E)x t(-E)t1/20 tetgt2121t2121122212teEteEtt tettEt212121)(*)()(*)()(*)()()1(tgtxthtxthtxty其它,02,2,21,12122212teeEt
48、eEttt211212tteEt221222teeEtt四、卷积的时移四、卷积的时移 12()y tx txt 0120102()y ttx txttx ttxt121122()y tttx ttxtt 若若：则：则：证明：证明：)(21tttydtttxxt)()(21211dttxttx)()(2211)(*)(2211ttxttx例例2-172-17：利用时移特性及利用时移特性及 ，计算，计算()*()()ttr t()()*()y tx th t)(tht201)(tyt20113tt3()()*()()(1)*()(2)y tx th ttttt()*()(1)*()()*(2)(1
49、)*(2)tttttttt()(1)(2)(3)r tr tr tr t证明证明：五、卷积的展五、卷积的展缩特性缩特性dtaxax21)()(*)(21atxatxdatxxaa21)(1 12()y tx txt 若若：则：则：)(1)(*)(21atyaatxatx)(1atya1）将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2）求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应单位冲激响应h(t)3）利用线性时不变系统的特性，求出由单位冲激信号线性组合的任意信号x(t)作用在系统上的响应，即系统的零状态响应yzs(t)2.6.3 卷积法求解系统零状态响应卷积法求解系统零状态响应由时不变特性)()(tht
50、)()(tht()()()()xtxh t()()()x txtd()()()zsytxh td()()()()()zsytxh tdx th t由线性特性由积分特性例例2-182-18：已知某LTI系统的微分方程为：系统的冲激响应 ，激励 ，试求系统的零状态响应()zsyt解解：()3()2()2()6()y ty ty tx tx t2zs2022()()()()()d(2e4e)()()d*(2e4e)d000e4e30=00(e4e3)()tttttytx th thx ttttttt)()42()(2teethtt)()(ttx 稳定性稳定性 因果性因果性 互联性互联性级联系统的单位
