1、长沙市一中2023届高三月考试卷（一）数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）AB. C. D. 2. 已知复数满足，则（）A. B. 2C. D. 43. 若是夹角为两个单位向量，则与的夹角为（）A. 30B. 60C. 120D. 1504. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（）参考数据：参
2、考时间轴：A. 宋B. 唐C. 汉D. 战国5. 红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种6. 函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. 1C. 1D. 7. 在三棱锥中，平面ABC，与的外接圆圆心分别为，若三棱锥的外接球的表面积为，设，则的最大值是
3、（）A. B. C. D. 8. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
4、的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（）A. 若直线经过原点，则四边形矩形B. 四边形的周长为20C. 的面积的最大值为12D. 若直线经过，则到直线的最大距离为810. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（）A. 平面B. 与EH所成的角的大小为45C. 平面D. 平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为11. 已知函数，则（ ）A. 在单调递增B. 有两个零点C. 曲线在点处切线的斜率为D. 是偶函数12. 已知函数，则下列说法正
5、确的有（）A. 当时，B. 若不等式至少有3个正整数解，则C. 过点作函数图象的切线有且只有一条D. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的系数是_（用数字作答）14. 过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_15. 已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是_.16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则_，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则_四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算
6、步骤.17. 已知数列满足（1）记，写出，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前2022项和.18. 如图，为中点，曲线上任一点到点的距离相等，在曲线上且关于对称.（1）若点与点重合，求的值；（2）求五边形面积的最大值.19. 如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值.20. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
7、多）.（1）若，求和；（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育医疗福利的增加等）.若希望增大，如何调控的值？是否存在的值使得，请说明理由.21. 设为双曲线的左右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线的离心率；（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.22. 已知是自然对数底数，函数，直线为曲线的切线，.（1）求的值；（2）判断零点个数；定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.长沙市一中2023届高三月考试卷（一
8、）数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ACD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】-4480【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】 . # . #四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1），（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【20题答案】【答案】（1），；（2）增加p的取值；不存在，理由见解析.【21题答案】【答案】（1）2 （2）以为直径的圆过定点或【22题答案】【答案】（1）1 （2）零点个数为1个；
