1、第九章课后习题 9.1；9.2；9.3；9.4；9.5；9.8；9.9；9.10；9.11；9.15；9.20；9.23无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波 广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。波导导行电磁波问题仍然是电磁场的边值问题，即求解满足波导边界条件的波动方程，然后分析沿波导的传播特性。习惯上按结构分：平行双线传输线、同轴线、带线和微带线等按横截面形状分：矩形波导、圆形波导和椭圆波导等按使用频段分：介质波导和光纤 9.1 导行波的电磁场导行波的电磁场zzyxzeEzEyExeyxEE)(),(0000zzyxzeHzHyHxeyxHH)
2、(),(0000EjHHjE0 E0 H1、均匀波导中的、均匀波导中的,E H假定由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀；并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中；电磁波在媒质中沿导体向方向传播。此时电磁场的复矢量为：称为导行电磁波的传播常数传播常数 将这两个表达式代入理想媒质无源区域的麦克斯韦方程中，即考虑到各分量都有 的关系，则在直角坐标系中有 z/xyzEjHyH000yzxEjxHH000zxyEjyHxH000 xyzHjEyE000yzxHjxEE000zxyHjyExE000电磁场共有六个分量，但其中四个横向分量可以用两个纵向分量导出)(100220yHjxEkEzzx)(1002
3、20 xHjyEkEzzy)(100220 xHyEjkHzzx)(100220yHxEjkHzzy22k其中因此可以得到由纵向分量 表示的横向分量表达式zE0zH0可见，若求得了 和 ，则电磁场的各分量就可求得。zE0zH0在广义坐标系下，电磁场的横向电磁分量可由纵向电磁分量来导出，写成矩阵的形式为1211222221111 111 1uzzucEhuhuEjHEkhuhu1211222221111 111 1uzzucHhuhuHjEHkhuhu在直角坐标系中，在圆柱坐标系中,121hh12,ux uy11h2hr1u2u022EkE022HkH0)(022202202zzzEkyExE0
4、)(022202202zzzHkyHxH22222222,yxkktc00202zcztEkE00202zcztHkH电场、磁场都满足齐次亥姆霍兹方程 由此可求得电磁场纵向分量满足以下方程则以上两式可以写成 令求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。2、波导中电磁波解的分类、波导中电磁波解的分类0ck000,0zzEH000,0zzEHTE波和TM波的组合叠加 000,0zzEH横电波横电波或TE波波，也称为磁波磁波或H波波 横磁波横磁波或TM波波，也称为电波电波或E波波 0ck000zzEH只有当 时，才可能有不等于零的横向场分量 导行电磁波的电场分量和磁场分量都垂直于传播方向
5、，故称为横电磁波横电磁波或TEM波波。因为 ，所以只需求解方程000,0zzEH9.2 矩形波导管中的电磁波矩形波导管中的电磁波 图91 矩形波导管 b a y x z ,=0 矩形波导管轴线与 z 轴方向一致，内壁坐标分别为假设波导管材料为理想导体，内部为理想介质。byyaxx,0,0一一.矩形波导内的矩形波导内的 TE 电磁波电磁波 00202zcztHkH)()(0ygxfHz可利用分离变量法求解，令0)()(1)()(122222ckyygygxxfxf222)()(1xkdxxfdxf222)()(1ykydygdyg22222kkkkcyx0)()(222xfkdxxfdx0)()
6、(222ygkdyygdy则有分离变量其中写成标准形式xkBxkAxfxxcossin)()sincosyyg yCk yDk y两方程的解分别为 )cossin)(cossin(0ykDykCxkBxkAHyyxxz)sincos)(cossin(20ykDykCxkBxkAkkjEyyxxycx)cossin)(sincos(20ykDykCxkBxkAkkjEyyxxxcy所以 利用横向分量与纵向分量的关系可得两个磁场分量在波导壁上，电场切向分量满足零边界条件，即 0)0(0yEx0)(0 byEx0)0(0 xEy0)(0 axEy 根据条件可得 C=0，根据条件可得A=0，所以ykx
7、kHHyxzcoscos00BDH0其中 ，由初始条件确定。ykxkHkkjEyxcyxsincos020ykxkHkkjEyxcxycossin0200sincos)(020bkxkHkkjbyEyxcyx0cossin)(020ykakHkkjaxEyxcxy),3,2,1,0(nbnky),3,2,1,0(mamkx两个电场分量再利用边界条件和可得若对任意的 x y 都成立，则必须至此，除了常数 H0 将由激励强度决定外，其它常数均已确定。因此，TE波的5个场分量的表达式为 ybnxamHbnkjEcxsincos020ybnxamHamkjEcycossin020ybnxamHamkH
8、cxcossin020ybnxamHbnkHcysincos020ybnxamHHzcoscos00zyxeEyExE)(00zzyxeHzHyHxH)(0002222222)()(bnamkkkyxc 以上各式乘以传播因子 ，并作矢量相加后就得到矩形波导内TE波的电磁场复矢量 ze其中关于关于 TE 波的说明：波的说明：1、物理图像每一组m、n值对应一种分布，称为一种 TEmn模。每个TEmn模的场分量 沿x方向呈m2个周期的正弦或余弦变化，沿y方向呈n2个周期的正弦或余弦变化，所以m和n分别表示场分布沿 x 和 y 方向变化的半周期数。m 和 n 最多只能有一个为零，否则将使横向分量都为零
9、。而仅有一个周期性变化的纵向磁场分量，不满足麦克斯韦方程，电磁波不复存在。当n=0 时，TEm0模：只有E0y，H0 x，H0z 当m=0 时，TE0n模：只有E0 x，H0y，H0z2、TEmn波的参数波的参数mnyxjbnamjkkk222222)()(传播常数a.当为虚数（即mn是实数）时 电磁场瞬时表达式具有 的形式，形成沿z方向传播的电磁波，mn称为导行波的相位常数相位常数。)cos(ztmnb.当为实数（即 mn 是虚数）时 电磁场瞬时表达式变成 的形式，场幅度沿z衰减，并且没有了等相位面的移动，失去电磁波的 传输特征，称之为截止截止。tezmncos2222)()()()(221
10、bnamvbnamfmn22)()(2bnamfvmnmn截止频率mn=0 时的频率称为截止频率截止频率，记作fmn1v其中 为波导填充介质中的光速。决定截止频率fmn的因素：波导尺寸（a,b）模式（m,n）介质参量（,）截止波长 传输条件用fmn和mn表示的相位常数为 222)()(bnammn22)()(1212mnmnffmn是实数时，电磁波可以在波导中传输，即mnff mn或（TEmn波的）传输条件传输条件可见，波导具有高通特性。基模和高次模 利用高通特性，可以通过选择波导尺寸和充填介质的参数来抑制m、n较大的模式，使波导内只存在一种或少数几种m、n较小的传输模式。一般选取波导尺寸a
11、b，此时TE10模具有最低的截止频率和最长的截止波长，TE10模称为基模基模，其他模通称为高次模高次模。除基模TE10以外，其它高次模一般不能实现单模传输。这是因为当工作频率高于某种高次模的截止频率时，也一定高于TE10模和一些较低模的截止频率，从而使波和这些较低模也满足传输条件。若工作频率f 满足 mnfff10mn10或则波导内只有TE10波单模传输 2211()()pmnmnmnvvvvff2TE)(11ZffHEHEmnmnxyyx2)(1mnpgfv相速度导波波长波阻抗/是同种介质中均匀平面电磁波的波阻抗 当 时，相当于波导开路；mnff TEZmnff TEZ当 时，当 时，成为虚
12、数，电场和磁场相位相差/2，没有平均电磁场能量的传输，电磁能量只是在波导与信号源之间来回反射振荡。mnff TEZ 10TE 1 2 3 x y z 1 2 3 电 力 线 磁 力 线 TE10 波的场分布图电磁场的瞬时分布（以TE10为例）二二.矩形波导内的矩形波导内的 TM 电磁波电磁波对于TM波，意味着000,0zzEHybnxamEEzsinsin0000zHybnxamEamkEcxsincos020ybnxamEbnkEcycossin020ybnxamEbnkjHcxcossin020ybnxamEamkjHcysincos020利用分离变量法可以得到TM波电磁场的各分量表达式
13、所以，矩形波导内TE波的电磁场复矢量为 zzyxeEzEyExE)(000zyxeHyHxH)(002222222)()(bnamkkkyxc其中TM波与波与TE波的异同点：波的异同点：矩形波导内的TM波也有无穷多个解，称为TMmn模。TM波的m和n都不能为零都不能为零，因而，TM波的最低模是TM11。TMmn模的传播常数、相位常数mn、截止频率fmn、截止波长 mn、相速度vp、导波波长 g和传播条件的表达式与TEmn模 对应量的表达式完全相同。m、n值相同的TMmn模和TEmn模称为简并模简并模 TM波一般不能单模传输!TMmn模的波阻抗与TEmn模不同 2TM)(1ZffHEHEmnmn
14、xyyx当 时，相当于波导短路；mnff TM0Zmnff TMZ当 时，TE101 TE20 TE01 TE11 TM11 TE30 TE21 TM21 a 2a 多模区 单模区 截止区 图9-9 矩形波导中各模式的工作波长范围 BJ-32 a=72.14 b=34.04 2b 高mn次模 矩形波导中的各种传输模式矩形波导中的各种传输模式 WaveguideDesignationa(in)b(in)t(in)fc10(GHz)freq range(GHz)WR9759.7504.875.125.605.75 1.12WR6506.5003.250.080.9081.12 1.70WR4304
15、.3002.150.0801.3751.70 2.60WR2842.841.34.0802.082.60 3.95WR1871.872.872.0643.163.95 5.85WR1371.372.622.0644.295.85 8.20WR90.900.450.0506.568.2 12.4WR62.622.311.0409.4912.4-18参见 波导规格.pdf 例 设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm;试求工作频率在3 GHz时该波导能传输的模式。)(1.0mfc)(16.0210macTE)(08.0201mbcTE)(0715.022211mbaabcTM 可见，该波导在工作
16、频率为3GHz时只能传输TE10模。解:由 f=3 GHz，得例9.1 一空气填充的矩形波导传输TE10模波，工作频率为 f=3 GHz。若要求工作频率至少比TE10模的截止频率高20%，而比距TE10模最近的高次模的截止频率低20%。试决定波导尺寸a和b。102001,22cccfffaab1.22cfa0.8cfa0.82cfb893 101.21.20.06(m)22 3 10caf 893 100.80.80.08(m)3 10caf893 100.80.80.04(m)22 3 10cbf 解:由截止频率表达式可得 一般传输波导a 略大于2b，可选择 a=70 mm，b=34 mm
17、根据要求有 可得9.3 TE10模电磁波模电磁波TE10模（a 2b）的优点：截止波长最长（截止频率最低）在同一频带内要求波导尺寸最小具有最小的衰减avf210afv210102)(21avvp2)(21ag210)(212a1、TE10模的参数模的参数2、TE10模的特征模的特征zjexaHaj yE10sin0zjexaHzxaHaj xH10)cossin(0010TE10模电磁波的复矢量为 电磁场分布电场：只有一个分量且极化在y方向上其振幅沿x方向呈正弦分布在 x=0 及 x=a 处为零，x=a/2 处有最大值 yz平面称为电场平面电场平面或E面 磁场：两个分量均在xz平面内xz平面称
18、为磁场平面磁场平面或H面 由边界条件 ，可得波导内壁上的电流面密度复矢量为TE10模的波阻抗 2TE)(21Z10aHExy波导内壁上的表面电荷和表面电流根据边界条件 ，上、下底面的面电荷密度复振幅为 Dns zjsexaHajEyy10sin)()0(0100()()sinjzsaybyEjHxea sJHn zjseHyxHxxJ100)0()0(zjseHyaxHxaxJ100)()(zjsexaHaj zxaHxyHyyJ10sincos)0()0(0100zjsexaHaj zxaHxbyHybyJ10sincos)()(0100Re),(tjsseJtrJ a b 图95 10TE
19、模的电流分布 面电流的瞬时值为 其分布图形如图所示：3、部分波、部分波zjyxeaHajE10sin0rkrk212121jmjmeEeE0HaEm101zaxk102zaxk以TE10模为例，将其电场表达式改写成 其中 x z a 1k 2k i r g A B D C TE10模可以看作两个平面电磁波的迭加：两个x分量迭加等效于垂直入射到导体平面的平面波在导体外形成全驻波全驻波；两个z分量迭加形成传输的行波行波。沿传播方向看，两个波峰之间距离就是导行波的导波波长22)(21cos1sinaiig2)2(1sinavffvigp相速度为沿z方向能量的传播速度为 vavvfviiw2)2(1s
20、insin2vvvwp并且有 当 时 ，相当于电磁波平行于导体平面传播 02ivvp当 时 ，相当于电磁波垂直入射到导体表面上，形成全驻波，z 方向没有能量传播，称为截止。a20i9.4 波导中的能量传输与损耗波导中的能量传输与损耗 一一.波导中的传输功率波导中的传输功率*001Re2abavsxyPSdsEHdxdy abxyyxdxdyHEHE00Re21 abxyavdxdyHEP00Re21 abdxdyxaHa00220210sin)(Re21103221002TE44ma babHEZ波导传输的功率为坡印廷矢量平均值对波导横截面的积分 对于TE10模 式中Em是x=a/2处的幅值，
21、即电场最大幅值，是TE10波的波阻抗。10TEZ二二.波导的衰减波导的衰减 1、衰减的原因、衰减的原因表面电流的存在将引起电磁波能量的损耗。媒质的非理想状态也将引起损耗。2、衰减的计算、衰减的计算将损耗看成是一种微扰，则传播常数可以写作 j zavavePzP2)0()()(2)0(2/)(2zPePdzzdPavzavavavavPdzdP21其中称为导行波的衰减常数，即电磁场的振幅将按 e-z 规律衰减，而传输功率将按 e-2z 规律衰减。z处截面通过的功率可以写成 两边对z求导，得 由此得到 衰减与频率及结构的关系 5 10 15 20 25 0.02 0.04 0.06 0.08 0.
22、10 0.12 0.14 0.16 0.20 0.18 a=5cm b f(GHz)0 10/1/TE10ab 2/1/TE10ab 2/1/MT11ab 1/TE10ab 1/MT11ab m)dB(从图中可以看出：在截止频率附近的衰减很大，随着频率升高衰减迅速下降，达到一个最小值后再缓慢增大。衰减随着ba 比值的增大而减小，但ba1/2 后，减小已经比较缓慢。兼顾衰减和最大单模传输频带的要求，一般取ba 略小于1/2 的单位为奈培每米(NPm)。1NP/m 时，电磁波传输1米距离的功率将下降到初值的1/e2。9.5 圆形波导中的电磁波圆形波导中的电磁波 图98 圆形波导 a r x ya
23、z,zzzreEeEzEErE0000)(zzzreHeHzHHrH0000)(rzEjHHr0001000EjrHHzrzrEjHrrHrr0001)(1rzHjEEr0001000HjrEEzrzrHjErrErr0001)(1 圆波导中，向 z 方向传播的电磁场复矢量表示为 在圆柱坐标系下，代入麦克斯韦方程可得由此可求得用纵向分量表示的横向分量为)(00201zzcrHrjrEkE)(00201rHjErkEzzc)(00201rHErjkHzzcr)(00201zzcHrrEjkH00202zcztEkE00202zcztHkH求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。利用
24、波动方程，可以得到纵向分量所满足的二维亥姆霍兹方程一一.TE 模场量的一般表达式模场量的一般表达式 利用分离变量法可得zjmnmzemraqHHcos)(J0zjmnmmnremraqHqajHcosJ)(0zjmnmmnemraqHrmqajHsinJ)()(020zEzjmnmmnremraqHrmqajEsinJ)()(02zjmnmmnemraqHqajEcosJ)(0 其中qmn表示m阶贝塞尔函数导数的第n个根，每给定一组m和n的值，就决定一种场结构。一一.TM 模场量的一般表达式模场量的一般表达式 利用分离变量法可得 其中pmn表示m阶贝塞尔函数的第n个根，每给定一组m和n的值，就
25、决定一种场结构。zjmnmzemrpEEacos)(J0zjmnmmnremrpEpajEacosJ)(0zjmnmmnemrpErmpajEasinJ)()(020zHzjmnmmnremrpErmpajHasin)(J02)(zjmnmmnemrpEpajHacosJ)(0 TE11 TM01 TE21 TE01 TM11 TE31 TM21 a 2a 3a 多模区 单模区 截止区 图9-9 圆波导中各模式的工作波长范围 高mn次模 根据贝塞尔函数性质，可得到不同模式的工作波长，排序后如图所示 可以看出TE11模的截止波长最长，它是圆波导中的基模。TE11模单模传输的工作波长范围是 aa4
26、1.362.2三三.传播特性传播特性 2)(1ck21cpcv21cpgcfv22)(1cpgcvcv2TE1ZcrrHEHE2TM1ZcrrHEHE 圆波导中的传输参量为 9.6 9.6 传输线上的传输线上的TEM波波022 kjjkk2zjkiieyxEzyxE),(),(0)cos(),(),(imiikztyxEtzyxEzjkiieyxHzyxH),(),(0)cos(),(),(imiikztyxHtzyxHvkvp1对于TEM波 ，而 都不为零 000,0zzEH0000,xyyxEEHH所以即TEM波的场分量表达式为（i=x,y）TEM波的相速度和导波长分别为 1、TEM波的电
27、磁场波的电磁场xxyEEH0001yyxEEH0001TEM波与自由空间的均匀平面电磁波相比较：传输特性及电场和磁场的关系与十分类似。差别仅在于TEM波的振幅E0i和H0i是坐标x、y的函数。根据无源理想介质区域中的复Maxwell方程可得（9-3a）xyzEjHyH000jjk 对于TEM波，H0z=0，将 带入得同理fvfvpg2、传输、传输TEM波时传输线上的电位分布波时传输线上的电位分布将TEM波的电场二维复矢量记作),(),(),(000yxEyyxExyxEyx),(),(0),(),(),(00000yyxExyxEzyxEyxEzyxzyxyxExyyxzxyHjyExE000
28、0),(0yxE取旋度得根据（9-3f）并且对于TEM波，有H0z=0，所以由于 无旋，故可以表示为标量位函数 的梯度，令),(yxU),(0yxEyyxUyxyxUxyxUyxE),(),(),(),(0取散度得 22220),(),(),(yyxUxyxUyxEjkzyjkzxjkzeyxEyeyxExeyxEzyxE),(),(),(),(0000),(zyxE0),(),(),(22222yxUyyxUxyxUxy对于电场有而0),(0yxEjkze代入后消去 ，得到因此电位的微分方程是 此电位与静电场中无电荷区域的电位都满足Laplace方程，时变场的导体边界与静电场的导体边界一样也
29、是等电位边界。根据唯一性定理，两个位函数应有相同的表达式。因此，对于同轴线和平行双线这类典型问题，只需将相同边界形状的静电位或静电场的解直接使用即可。例 9.5 已知同轴传输线的内导体半径为a，外导体的内径为b。求：同轴线传输TEM波的电场和磁场的表达式。用单位长度的电感和电容表示相速度。ln(/)UEb a0()ln(/)jjk zUE re eb a0(,)cos()ln(/)UE r ttkzb a01()()ln(/)jjk zUH rkE re eb a电场瞬时矢量为 对应的磁场复矢量为 解：静电场中同轴线的解为jkzejeUU0上式乘以 ，并记 为复常数，得到TEM波的电场复矢量0
30、(,)cos()ln(/)UH r ttkzb a磁场瞬时矢量为002ln,2ln()bLCbaa0011CLvp根据同轴线单位长度上的电感和电容TEM波的相速度可以表示为 图912 同轴线中TEM波的电磁场分布 电力线 磁力线 优点：没有截止频率的限制，原则上可以传输任意频率的电磁波；TEM波为非色散波，不会产生宽带信号的变形。缺点：开放的双线系统其辐射损耗大；同轴线系统在频率较高时存在着较大的介质损耗；功率容量比较小。9.7 谐振腔谐振腔 图913 集总元件谐振回路到谐振腔的演变 x y z o 一、谐振腔简介一、谐振腔简介谐振腔：谐振腔：在微波波段用封闭的金属空腔来实现谐振回路的功能，称
31、为空腔谐振器空腔谐振器（简称谐振腔谐振腔）。应用：应用：波长表 回波箱 振荡器中的选频和稳频回路 谐振腔的种类：谐振腔的种类：封闭式 开放式（损耗小、Q值高）介质谐振腔（体积小）二、矩形谐振腔内的电磁场二、矩形谐振腔内的电磁场1、利用边界条件求解波动方程、利用边界条件求解波动方程xzyOabd0222222222iiiiiiEkzEyExEEkE(,)ix y z在直角坐标系内，每个场分量满足同样形式的标量方程 022EkE在腔内电场方程为zdpybnxamEExxsinsincos0zdpybnxamEEyysincossin0zdpybnxamEEzzcossinsin0并且三个电场分量在
32、6个内壁上满足 Et=0 的导体边界条件，所以 zdpybnxamjHHxxcoscossin0zdpybnxamjHHyycossincos0zdpybnxamjHHzzsincoscos0zyxzyxzyxkzkykxkHzHyHxHEzEyExE,00000000将电场表达式代入 ，得到对应的磁场分量复振幅 HjE则得到Hi0与Ei0的关系000000,HkEEkH若记2、利用导行波的结论分析求解、利用导行波的结论分析求解 将谐振腔视为ab的矩形波导的一段，当其传输TEmn或TMmn波时，用两块金属板在相距 的地方短路，电磁波在短路壁上全反射形成驻波。由于此时两个短路壁处恰好是切向电场的
33、零点，满足导体的边界条件，所以这样的驻波可以在两板之间存在。将入射导行波和反射导行波的表达式相加，即可得到腔内的电磁场表达式。2/gp3、矩形谐振腔的性质：、矩形谐振腔的性质：腔内的电磁场以驻波的形式存在m、n、p分别是场幅度沿x、y、z方向变化的半周期数，取0时表示场幅沿该方向不变。谐振腔内可能存在着无穷多种谐振模式 谐振腔内的谐振模分为TEmnp和TMmnp两类模式。若仍按z方向为纵向定义，则Ez=0的振荡模称为TEmnp振荡模，Hz=0的振荡模称为TMmnp振荡模。谐振腔内振荡模式分类由于复振幅中不存在传播因子，电场和磁场的瞬时值随时间分别按 和 变化，电场和磁场在相位上相差 ，预示平均
34、能流为零，代表一种电场能量和磁场能量相互交换的电磁振荡。tcostsin2/谐振条件谐振条件 简并简并 a.谐振腔的横向尺寸a和b必须满足对应导行波的传输条件；b.纵向距离d应等于该导行波导波长一半的整数倍（即 ）。2/gn222)()()(2dpbnamvfmnp同一个谐振频率对应多个谐振模式a.模式简并 原因：TEmnp模和TMmnp模具有相同的谐振频率 b.尺寸简并 原因：腔体尺寸a，b，c出现整数倍关系消除：设计尺寸时避免出现整数倍关系m,n=0 只有TE0np,TEm0pp=0 只有TMmnp消除：令m，n，p中的一个为0波长计 通过尺寸设计使d 的变化范围内只存在一种振荡模式，则d 的每一个值便只对应一个谐振频率。通过谐振发生时d的数值，将可以获得输入电磁波的工作频率，这就是谐振腔波长计的工作原理。品质因数 pWQ腔内的电磁能量 W 与损耗功率 p 之比乘以角频率Q值越大，其谐振曲线就越尖锐，对频率的分辨率越灵敏损耗来源：a.导体表面的导电损耗b.腔内的介质损耗c.输出耦合损耗
