1、22等差数列第1课时 等差数列的概念2 0 1 8在过去的三百多年里，在过去的三百多年里，人们分别在下列时间人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星：里观测到了哈雷彗星：1682 1682，17581758，18341834，19101910，19861986，（，（）20622062相差相差7676观察上组数的特点，有什么规律？你能预测观察上组数的特点，有什么规律？你能预测出下一次的大致时间吗？出下一次的大致时间吗？情景导学情景导学思考010304021.1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念2.2.掌握等差数列的通项公式和等差中项掌握等差数列的通项公式和等差中项 的概念的概念3.3.能用等差
2、数列的通项公式解决能用等差数列的通项公式解决相关问题相关问题重点：理解等差数列的概念重点：理解等差数列的概念.难点：掌握等差数列的通项公式和等难点：掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用差中项的概念，深化认识并能运用.教教学学目目标标单击此处添加您要的标题探探究点究点1 1：等差数列定义等差数列定义请看下面的一些数列：请看下面的一些数列：鞋的尺码，按照国家统一规定，有鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,；某月星期日的日期为某月星期日的日期为 2,9,16,23,30 2,9,16,23
3、,30；一个梯子共一个梯子共8 8级，自下而上每一级的宽度（单位：级，自下而上每一级的宽度（单位：cm)cm)为为 89,83,77,71,65,59,53,47.89,83,77,71,65,59,53,47.单击此处添加您要的标题思考：思考：上面几个数列有什么共同的特点？上面几个数列有什么共同的特点？提示：提示：对于数列，从第对于数列，从第2 2项起每一项与前一项的差都等于项起每一项与前一项的差都等于0.50.5；对于数列，从第对于数列，从第2 2项起每一项与前一项的差都等于项起每一项与前一项的差都等于7 7；对于数列，从第对于数列，从第2 2项起每一项与前一项的差都等于项起每一项与前一项
4、的差都等于-6.-6.这就是说，这些数列具有这样的共同特点：这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第从第2 2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.单击此处添加您要的标题等差数列定义12一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2项项起，起，每一项每一项与它的前与它的前一项的差都等于一项的差都等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差数列等差数列.这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，公差通常，公差通常用字母用字母d d表示表示.等差数列的通项公式你能用递推公式描述等差数列的定义吗？单击此处添加您
5、要的标题思考思考1 1：当公差：当公差d=0=0时，时，an是什么数列？是什么数列？提示：提示：仍是等差数列仍是等差数列.思考思考2 2：将有穷等差数列：将有穷等差数列 an 的所的所有项倒序排列，所成数列仍是等有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由如果不是，请说明理由.提示：提示：是等差数列是等差数列,公差与原数列公差与原数列的公差互为相反数的公差互为相反数.单击此处添加您要的标题思考思考3 3：如果说如果说“一个数列从第一个数列从第2 2项起项起,相邻两相邻两项的差是同一个常数项的差是同一个常数”,”,那么这个数列是等差
6、那么这个数列是等差数列吗数列吗?提示：提示：这个数列不一定是等差数列这个数列不一定是等差数列,等差数列中的等差数列中的“差差”是有顺序的是有顺序的,必须是必须是“从第从第2 2项起项起,每一项与每一项与前一项的差前一项的差”.而而“相邻两项的差相邻两项的差”,这里的这里的“相相邻邻”可能是后一项减去前一项可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减也可能是前一项减去后一项去后一项,如数列如数列2,1,2,3,4,52,1,2,3,4,5相邻两项的差是同相邻两项的差是同一个常数一个常数1,1,但此数列不是等差数列但此数列不是等差数列.单击此处添加您要的标题例例1.1.已知数列已知数列aan n 的通
7、项公式的通项公式为为a an n=3n-5,=3n-5,这个数列是等差数这个数列是等差数列吗列吗?解解:因为当因为当n2n2时时,a an n-a-an-1n-1=3n-5-3(n-1)-5=3,=3n-5-3(n-1)-5=3,所以数列所以数列aan n 是等差数列是等差数列,且且公差为公差为3.3.是是不是不是不是不是 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项写出首项a a1 1和公差和公差d,d,如果不是，说明理由。如果不是，说明理由。（1 1）1 1，3 3，5 5，7 7，（2 2）9 9，6 6，3 3，0 0
8、，-3-3（3 3）-8-8，-6-6，-4-4，-2-2，0 0，（4 4）3 3，3 3，3 3，3 3，（6 6）1515，1212，1010，8 8，6 6，1111(5)1,2345是是是是是是a a1 1=1,=1,d d=2=2a a1 1=9,d=-3=9,d=-3a a1 1=-8,=-8,d d=2 2a a1 1=3,d=0=3,d=0【变式练习】单击此处添加您要的标题通项公式推导通项公式推导探探究点究点2 2：等差数列通项公式等差数列通项公式如果等差数列如果等差数列aan n 的首项为的首项为a1,公差为公差为d，那么它的通项公式是怎样的？，那么它的通项公式是怎样的？思
9、考：思考：过程12132432132114311,-,-,-,.+,2,23,naadaad aad aadaadaadaddadaadaddad 如如 果果 等等 差差 数数 列列的的 首首 项项 是是公公 差差 是是，那那 么么 根根 据据等等 差差 数数 列列 的的 定定 义义 得得 到到 因因 此此单击此处添加您要的标题由此归纳出等差数列由此归纳出等差数列的通项公式为的通项公式为由此归纳出等差数列的通项公式为由此归纳出等差数列的通项公式为这个公式还可以用下面的方法得到这个公式还可以用下面的方法得到.由等差数列的定义得由等差数列的定义得a a2 2-a-a1 1=d,a=d,a3 3-a
10、-a2 2=d,=d,a a4 4-a-a3 3=d,=d,a an-1n-1-a-an-2n-2=d,a=d,an n-a-an-1n-1=d.=d.将这将这n-1n-1个式子的等号两边分别相加，个式子的等号两边分别相加，得得a an n-a-a1 1=(n-1)d,=(n-1)d,即即an=a1+(n-1)+(n-1)d.这种用叠加求通项这种用叠加求通项公式的方法叫做叠公式的方法叫做叠加法加法.an=a1+(n-1)d.2.10,7,4,:1102-40-56例例已已知知等等差差数数列列试试求求此此数数列列的的第第项项；是是不不是是这这个个数数列列的的项项？是是不不是是这这个个数数列列的的
11、项项？如如果果是是，是是第第几几项项？n1n1n n10101此1此列列a，a，由由a=10,d=7-10=-3,a=10,d=7-10=-3,得得到到列列的的通通公公式式a=10-3 n-1.a=10-3 n-1.n=n=解解：10，10，a=10-3 10-1=-17.a=10-3 10-1=-17.设设数数为为这这个个数数项项为为当当时时 这这个个数数项项则则数数这这个个2 如2 如果果-40是-40是列列的的，方方程程-40-4010-3 n-110-3 n-15353有有正正整整解解.解.解方方程程，得得n=.n=.3 3这这个个数数项项所所以以-40不-40不是是列列的的.这这个个
12、数数项项则则数数这这个个这这个个数数项项如如果果-56是-56是列列的的，方方程程-56=10-3 n-1-56=10-3 n-1有有正正整整解解.解.解方方程程，得得n=23,因n=23,因此此-56是-56是列列的的第第23.23.单击此处添加您要的标题【通项公式的理解通项公式的理解】从方程的观点来看，等差数列从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一已知其中三个，即可求出另外一个其中个其中a1和和d是基本量，只要是基本量，只要知道知道a1和和d即可求出等差数列的即可求出等差数列的任一项；任一项；当公差当公差d0时，时，a
13、n是关于是关于n的一次式，其图象是直线的一次式，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，一确定了，从函数的观点来看，在等差数从函数的观点来看，在等差数列列an中，中，ana1(n1)d=nd+(a1d)可以看出，当公差可以看出，当公差d=0时，该数列时，该数列是常数列是常数列.即常数列是等差数列的即常数列是等差数列的特殊形式，公差为特殊形式，公差为0探探究点究点3 3：等差中项等差中项提示：提示
14、：如果如果x,A,yx,A,y组成等差数列，根据等差数列的定组成等差数列，根据等差数列的定义，应有：义，应有：A-x=y-AA-x=y-A，即，即2A=x+y2A=x+y化简整理得：化简整理得：由此，我们可以得到等差中项的定义：由此，我们可以得到等差中项的定义：如果三个数如果三个数x,A,yx,A,y组成等差数列，那么组成等差数列，那么A A叫做叫做x x和和y y的的等差中项等差中项.x+y如果A是x和y的等差中项，则A=.2思考：思考：如果三个数如果三个数x,A,yx,A,y组成等差数列，那么组成等差数列，那么A A，x,yx,y满足怎样的关系？满足怎样的关系？x+yx+yAA2 2探探究
15、点究点3 3：等差中项等差中项练一练：求出下列等差数列中未知的项。练一练：求出下列等差数列中未知的项。(1)3,a,5(2)-3,b,-9(3)3,c,d,-9a=4b=-6c=-1,d=-5当堂达标训练当堂达标训练1.1.下列数列中下列数列中,是等差数列的有是等差数列的有()5,5,5,5,5,5,sin 0,sin 1,sin 2,sin 3;sin 0,sin 1,sin 2,sin 3;a+1,a+2,a+3,a+4;a+1,a+2,a+3,a+4;.A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个1234,10 10 10 10【解析】选C.利用等差数列的定义验
16、证可知是等 差数列.2.已知已知an是等差数列是等差数列,且且an=-3n+1,则此数列则此数列()A.是公差为是公差为-3的递减等差数列的递减等差数列B.是公差为是公差为1的递增等差数列的递增等差数列C.是公差为是公差为3的递增等差数列的递增等差数列D.是公差为是公差为2的递减等差数列的递减等差数列【解析解析】选选A.A.由由a an n=-3n+1=-3n+1得得a an n-a-an-1n-1=(-3n+1)-=(-3n+1)-3(n-1)+1=-3(n2).-3(n-1)+1=-3(n2).所以数列所以数列aan n 是公差为是公差为-3-3的递减等差数列的递减等差数列.3.若若an是
17、等差数列是等差数列,且且a1=1,公差公差d=3,则则an=_.【解析】因为a1=1,d=3,所以an=1+(n-1)3=3n-2.答案:3n-24.若若an是等差数列是等差数列,且且a1=2,d=1,若若an=7,则则n=_.【解析】因为a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)1=n+1.由an=7,即n+1=7,得n=6.答案:65.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=_.【解析】由已知可得由已知可得d=an+1n+1-an n=-4=-4，从而求出等差数，从而求出等差数列列 an 的通项公式的通项公式an n=a1 1+(+(n-1)-1)(-4)=-4(-4)=-4n+5,+5,所以所以a1010=-4=-410+5=-35.10+5=-35.6.在等差数列在等差数列an中中,若若m是是2与与14的等差中项的等差中项,则则m等于等于()A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为m是2与14的等差中项,所以2m=2+14,则m=8.等差数列等差数列通项公式通项公式概概 念念推导方法推导方法课堂小结课堂小结(1)知识点（2）数学方法与思想归纳法，叠加法，一般到特殊，函数与方程的思想THE END
