1、第四节一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则微分法则多元复合函数的求导法则 第九章第九章)(),(ttfz一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则定理定理.若函数若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续处偏导连续,),(vu在点在点在点 t 可导可导,dtvdvzdtduuzdtdz z则复合函数则复合函数证证:设设 t 取增量取增量t,vvzuuzz )()(
2、22vu)(o且有且有vutttvvztuuztz dtdz)t得得两边取极限（两边取极限（0t)(o .dtdz,ty,tsinx,ezxy求求而而例如：设例如：设3 求求导导法法则则解解：由由复复合合函函数数全全微微分分dtydyzdtdxxzdtdz ,yexzxy ,xeyzxy ,tcosdtdx 23tdtdy 23txetcosyedtdzxyxy tsinttsinttesintet33233 zyxtt推广推广:1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.设设,)w,v,u(fz 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微.dtdzfff321 zwvu.dtdu
3、,tlnz,tcosy,tsinx,euxyz求求设设例例如如：ttttduuz d dtvdvz tdwdwz )t(w,)t(v,)t(u 2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.)y,x(v,)y,x(u,)v,u(fz xz1211 ff2221 ff yzzvuyxyxxuuz xvvz yuuz yvvz 例如例如：又如又如,)y,x(v,)v,x(fz 当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有xz 121 ffyz 22 ffz xyx注意注意:这里这里xz xf 口诀口诀:分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导xf xvv
4、fyvvf与与不同不同,v例例1.设设,yxv,yxu,vsinezu .yz,xz 求求解解:xz vsineu)cos()sin(yxyxyeyxyz )cos()sin(yxyxxeyxvsineu xuuzxvvz1 vcoseuyuuzyvvz 1 vcoseuy xzvuyxyx例例2.,ysinxz,e)z,y,x(fuzyx2222 yu,xu 求求解解:xu 2222zyxex ysinxyxe)ysinx(x242222212 zyxyxuyu2222zyxey ysinxyxe)ycosysinxy(242242 xf xzzf2222zyxez yfyzzf2222zy
5、xez ysinx2 ycosx2 例例3.设设,tsinvuz .dtdzztvutttzddtev tcos)tsint(coset tuuzdd tvvzddtz 求全导数求全导数,eut,tcosv 解解:tusintcos 注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与这方面问题的求导技巧与常用导数符号常用导数符号.为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxf例例4.设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导
6、数,),(zyxzyxfw求求.zxw,xw2 解解:令令,zyxv,zyxu xw wvuzyxzyx)v,u(fw 11 fzyf 2)zyx,zyx(fzy 2则则zxw 2111 f22221211fyfzyxf)zx(yf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为ydyzxdxzzd xxvvzxuuzd)(yd)yvvzyuuz(uzvzuz)ydyuxdxu()ydyvxdxv(则复合函数则复合函数)(fz)y,x(,)y,x(udvzvd都可
7、微都可微,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.例例 6.解法解法1 1:dvvzduuzzd udvsineu dx)yxcos()yxsin(yedzyx vdvcoseu dy)yxcos()yxsin(xeyx ,yxv,yxu,vsinezu dz求求解法解法2 2:dxyzdxxzzd xdyydxdudy udx uduyx dydxvddy vdx vdvyx 中得中得代入代入、把把dzyxvxyudvdu 第九章第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及
8、其导数(不要求不要求)隐函数的求导方法,)y,x(F0 所确定的函数为隐函数所确定的函数为隐函数.)x(yy?xdyd 接下来怎么求隐函数的导数接下来怎么求隐函数的导数?xdyd 221、一个方程所确定的隐函数及其导数、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数设函数),(yxF;)y,x(F000 则方程则方程)y,x()y,x(F000在点在点 一个连续函数一个连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续并有连续yxFFxdyd (隐函数求导公式隐函数求导公式)具本推导如下：具本推导如下：具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内某邻域内可唯一确定可唯一确定在点在点的某
9、一邻域内满足的某一邻域内满足000)y,x(Fy满足条件满足条件导数导数)y,x(P000)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0 xdydyFxFyxFFxdyd 0 yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则若隐函数的二阶偏导数也都连续若隐函数的二阶偏导数也都连续,22xdyd2yxxyyxxFFFFF 3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF yxFF)FF(yyx )FF(FFFFFyxyxyyyyx 2二阶导数二阶导数:)FF(xyx xyxxdyd则隐函的则隐函的例例1.验证方程验证方程01sinyxeyx在点在点(0,
10、0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个可导隐函数可导隐函数,)(xfy 0y0 x220y0 xxydxdyd d,解解:令令,yxeysin)y,x(Fx1 ,),(F000,yeFxx 连续连续,由由 定理定理1 可知可知,100),(Fy0,)(xfy 导的隐函数导的隐函数 则则xycosFy 在在 x=0 的某邻域内方程存在可的某邻域内方程存在可且且并求并求xdydyxFF 100 yxdxdyxycos yex 22xdyd)xycosye(xddx 2 )xycos(3100 yyx)ye(x )xy(cos)ye(x )yysin(1 22xdyd300 ),(y01 yxeysi
11、nxyycos两边对两边对 x 求导求导1两边再对两边再对 x 求导求导yycos)y(ysin 2令令x=0 0,10 yy0 yxyyexxey0 yx),(y00导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导xycosye yx 定理定理2.若函数若函数),(000zyxP)z,y,x(FzyzxFFyz,FFxz 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程则方程0),(zyxF在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),公式推导如下公式推导如下:满足满足0000)z,y,x(
12、F0000)z,y,x(Fz 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在1323 xyzz、已知已知例例yzxz ,求求),(:zyxF解解133 xyzzxyzFxzFyzFzyx33,3,32 xyzxzFFyzzy 2,xyzyzFFxzzx 2例例3.设设,zzyx04222 解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422 xzxzzxzxz2 22zxxz 222)(2xz222xzz0422 xz21)xz(322)2()2(zxz.xz22 求求再对再对 x 求导求导解法解法2 利用公式利用公式设设zzyx)z,y,x(F4222 则则,xFx2 zxFFxz 两边对两边对 x 求偏导求偏导)zx(xxz 2222)2()2(zxzxz32222)z(x)z(2 zxzx 242 zFz
