1、常系数非齐次线性微分方程 第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、二、)x(fyqypy )q,p(为为常常数数)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为Yy*y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法一、一、型型)x(Pe)x(fmx 为
2、实数为实数,)(xPm设特解为设特解为,)(e*xQyx其中其中 为待定多项式为待定多项式,)(xQ代入原方程代入原方程,得得)(xQ)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为为 m 次多项式次多项式.(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,02qp即则得则得),(xQm从而得到特解从而得到特解形式为形式为 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式)x(Qe*ymx (x)Q(2)若若 是特征方程的单根是特征方程的单根,02qp,02 p故特解形式为故特解形式为xmxQxye)(*(3)若若 是特征方程的二重根时是特征方程的二重根时,02qp故特解形式为故特解形式为xmxQxye)
3、(*2)2,1,0(e)(*kxQxyxmk即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设故特解形式为故特解形式为,02 p例例1.1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解.解解:本题本题而特征方程为而特征方程为,0322rr不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为,*10bxby代入方程代入方程:13233010 xbbxb比较系数比较系数,得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为于是所求特解为.31*xy0,0例例2.xxyyy2e65 求方程的通解的通解.解解:本题本题特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方
4、程的通解为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xe)bxb(x*y210 比较系数比较系数,得得120 b0210bb1b,21b10 因此特解为因此特解为.e)x(x*yx2211 3,221rr代入方程得代入方程得xbbxb 01022所求通解为所求通解为xxCCy3221ee.e)xx(x2221 ,2.ey yyx通解通解、求微分方程、求微分方程例例223 解解:本题本题特征方程为特征方程为,rr0122 其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxeCeCY 221112121 r,r,1 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xe
5、a*y 代入方程得代入方程得1 a因此特解为因此特解为.e*yx 所求通解为所求通解为xxxeeCeCy 2211第七章第七章 单元自测题（微分方程单元自测题（微分方程）一、填空题：一、填空题：1212的通解为的通解为、微分方程、微分方程yx y 22的特解为的特解为满足初始条件满足初始条件、微分方程、微分方程eyylnyxsin yx .ydxdydxyd 02322的通解为的通解为、微分方程、微分方程 二、选择题：二、选择题：.y yy)B(;y yy)C(y yy)B(;y yy)A(.)xsinCxcosC(eyx01360205203222121 微分方程是（）微分方程是（）解为解为
6、、下列微分方程中，通、下列微分方程中，通Cxy2arcsin2xtaney xxxeCeCy21 B.baey)B(;beaxy)C(e)baxy)B(;xe)baxy)A(.b,axey yyxxxxx 222222*652（为常数）为（）为常数）为（）（其中（其中的特解形式的特解形式、微分方程、微分方程.bxaxe)B(;bxae)C(;baxe)B(;bae)A(.)b,a(e yyxxxxx 为（）为（）为常数为常数其中其中的特解形式的特解形式、微分方程、微分方程13ABxysinycos y 11、通解：通解：三、求下列微分方程的三、求下列微分方程的解：根据可分离变量的方法，可解得方
7、程的通解解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为 Cxy2sin1ln.xyedxdyxy 、2udxduxdxdyuxyxyu ，得得uexdxdu 代入原方程化简得代入原方程化简得 xlnClnu xlnClnxy 得得通通解解解：令解：令根据可分离量可得根据可分离量可得 。32223 xydxdyx、解：由一阶线性微分方程公式解：由一阶线性微分方程公式可解得方程的通解可解得方程的通解为 322 xxCyxexyy224 、解：此方程为类型解：此方程为类型I的二阶常系数非齐次线性微分方程，的二阶常系数非齐次线性微分方程，)xx(eeCCyxx273221 通通解解为为 Cxde(x)Q
8、eyxdP(x)xdP(x)不是特征方程的根不是特征方程的根特征方程为特征方程为1100212 r,rrrxe)cbxax(*y 2非非齐齐次次方方程程的的特特解解2731 c,b,a代代入入原原方方程程得得xsinxyy 、5解：此方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，可解解：此方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，可解得方程的通解为得方程的通解为xcosxsinxeCeCyxx212121 四、应用题四、应用题1、已知曲线、已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切经过原点，且在原点处的切线与直线线与直线 2x+y+6=0平行，而平行，而y(x)满足微分方程满足微分方程 ，求该曲线的方程，求
9、该曲线的方程.052 yyy0520522 rryyy的的特特征征方方程程为为解解：可解得其通解为可解得其通解为)2sin2cos(21xCxCeyx根据已知条件可得以下初始条件根据已知条件可得以下初始条件:,yx00 20 xy1021 C,C所以所求曲线方程为所以所求曲线方程为xsineyx2 2、设连续函数、设连续函数y=y(x)y=y(x)满足方程满足方程 )x(y,edttyxyxx求求 0 xexyxy 解：对方程两求导得解：对方程两求导得 xexxy）（C xxxxe)x(y yy)(xey yy)(xx yy)(eyay)(ey yy)(:P322196323412552322211347 通解：通解：、求下列各微分方程的、求下列各微分方程的
