1、公众号码：王校长资源站第2课时参数方程最新考纲考情考向分析1.了解参数方程，了解参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通
2、方程参数方程直线yy0tan (xx0) (t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)抛物线y22px(p0)(t为参数)概念方法微思考1在直线的参数方程(t为参数)中，(1)t的几何意义是什么？(2)如何利用t的几何意义求直线上任意两点P1，P2的距离？提示(1)t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量(2)|P1P2|t1t2|.2圆的参数方程中参数的几何意义是什么？提示的几何意义为该圆的圆心角题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)方程(为参数)表
3、示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()题组二教材改编2曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上答案B解析由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，求常数a的值解直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a3.题组三易错
4、自纠4直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率解将直线l的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线l的斜率为3.5设P(x，y)是曲线C：(为参数，0,2)上任意一点，求的取值范围解由曲线C：(为参数)，得(x2)2y21，表示圆心为(2,0)，半径为1的圆表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设k，则原问题转化为ykx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离dr，所以1，解得k，所以的取值范围为.6已知曲线C的极坐标方程是2cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)设
5、点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|1，求实数m的值解(1)曲线C的极坐标方程是2cos ，化为22cos ，可得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.直线l的参数方程是(t为参数)，消去参数t可得xym，即直线l的普通方程为yxm0.(2)把(t为参数)代入方程x2y22x，化为t2(m)tm22m0，由0，解得1m0.实数m1或m1.题型一参数方程与普通方程的互化1(2018包头调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos .(1)求曲线C的直角坐标方程
6、及直线l的普通方程；(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值解(1)曲线C的直角坐标方程为x2y24x，即(x2)2y24.直线l的普通方程为xy20.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，得(2x2)2y24，即(x1)21，再将所得曲线向左平移1个单位长度，得曲线C1：x21，则曲线C1的参数方程为(为参数)设曲线C1上任一点P(cos ，2sin )，则点P到直线l的距离d，所以点P到直线l的距离的最小值为.2在圆锥曲线论中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线
7、，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足(0且1)，P点的轨迹是圆”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程解由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)因为，即，化简得(x1)2y24，所以点M的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆由圆的参数方程可得思维升华 消去参数的方法一般有三种(1
8、)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围题型二参数方程的应用例1 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时
9、，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决(2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题跟踪训练1 (2017全国)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t
10、为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例2 (2017全国)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C
11、.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(00，设方程的两根为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以|AB|t1t2|.5在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点A(2,1)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)
12、写出曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|AM|AN|的取值范围解(1)由，得22sin 3.将代入上式中，得曲线C的普通方程为x2y22y30.(2)将l的参数方程(t为参数)代入C的方程x2y22y30，整理得t24(cos sin )t40.因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以42(cos sin )2420，化简得cos sin 0.又0，所以，且cos 0.设方程的两根为t1，t2，则t1t24(cos sin )0，所以t10，t20，所以|AM|AN|(t1t2)4(sin cos )4sin.由，得，所以sin1，从而44sin4，即|AM|A
13、N|的取值范围是(4,46已知曲线C1的参数方程为(为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C1上的点按坐标变换得到曲线C2，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若直线(R)与曲线C1交于M，N两点，与曲线C2交于P，Q两点，求的值解(1)已知曲线C1的参数方程为(为参数)，消去参数，得1.又xcos ，ysin ，32cos242sin212，即曲线C1的极坐标方程为2(3sin2)12.又由已知得代入1，得1，曲线C2的直角坐标方程为(x2)2(y2)29.(2)将代入2(3sin2)12，得2，|MN|.又直线的参数方程为(t为参数)，代入(x2)2(y2)29，整理得t22(1)t70，分别记P，Q两点对应的参数为t1，t2，则|PQ|t1t2|2，.公众号码：王校长资源站
