1、长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1若集合，则（ ）ABCD2已知复数（i为虚数单位），且，其中a，b为实数，则（ ）A，B，C，D，3如下图，直线l的方程是（ ）ABCD4有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是（ ）ABCD5在ABC中，已知AB=2，AC=3，BAC=60，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，则（ ）ABCD6已知函数，则不等式的解
2、集是（ ）ABCD7在等腰ABC中，ABC=120，点O为底边AC的中点，将ABO沿BO折起到DBO的位置，使二面角DBOC的大小为120，则异面直线DO与BC所成角的余弦值为（ ）ABCD8若不等式，对恒成立，则和分别等于（ ）A；B；C；D；二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9若，则下列结论一定正确的是ABCD10今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来
3、十年5G用户规模的发展预测图，阅读下图关于下列说法，其中正确的是（ ）A2022年我国5G用户规模年增长率最高B2025年我国5G用户数规模最大C从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差11在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABCA1B1C1展开得到平面图如图所示，ABC=90，AA1=AB，P为AB1的中点，Q为A1C的中点，则在原直三棱柱ABCA1B1C1中，下列说法正确的是（ ）AP，Q，C，B四点共面BA1CAB1C几何体APQCB和直三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为
4、D当BC=AB时，A1C与平面ABB1所成的角为4512已知动圆C：，则（ ）A圆C与圆相切B圆C与直线相切C圆C上一点M满足（0，1），则M的轨迹的长度为D当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1选择题答题卡题号123456789101112得分答案三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知向量，的夹角为45，且，若，则_14军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm）分别为168，171，172，173，175，175，179，1
5、80，则这8名高三学生身高的第75百分位数为_15写出与圆和都相切的一条直线的方程_16神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6，在C点测得A的仰角为45，在B点测得A的仰角为26.6，BB1=7km，B1A1C=120则CA1的长为_km（参考数据：）四、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）
6、在某公司一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰已知李明能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响（1）求李明不需要进入第三轮测试的概率；（2）求李明通过面试的概率18（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点（1）求证：BM平面ADEF；（2）求证：BC平面BDE19（本小题满分12分）已知直线的方程为，直线的方程为（1）设直线与的交点为P，求过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程；（2）设直线的
7、方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数a的取值的集合20（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为21（本小题满分12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）若，判断ABC的形状并说明理由；（2）若ABC是锐角三角形，求的取值范围22（本小题满分12分）已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若PAM的外
8、接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1若集合，则（ ）ABCD【答案】D【分析】分别求解不等式化简与，再由交集运算得答案【解析】解：由，得，由，得，故选：2已知，且，其中，为实数，则A，B，C，D，【答案】A【分析】根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出、的值【解析】解：因为，且，所以，所以，解得，故
9、选：3如图，直线的方程是ABCD【答案】B【分析】首先根据倾斜角求出斜率，再根据点，即可求出结果【解析】解：设直线表达式为，由图像可知直线的倾斜角为，即，又因为图像过点，化简得，故选：B4有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是ABCD【答案】C【分析】由题意2人共有25种结果，2人在同一层下共5种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得【解析】解：由题意总的基本事件为：两个人各有5种不同的下法，故共有25种结果，而两人在同一层下，共有5种结果，两个人在同一层离开电梯的概率是：所以2个人在不同层离开的概率为：，故
10、选：5在中，已知，分别是，边上的中线，则ABCD【答案】B【分析】先求得，然后利用中线结合平面向量基本定理和数量积的运算求解即可【解析】解：，则，分别是，边上的中线，则，则故选：B6已知函数，则不等式的解集是ABCD【答案】D【分析】不等式即由于函数和直线的图象都经过点、，数形结合可得结论【解析】解：不等式，即由于函数和直线的图象都经过点、，如图所示：不等式的解集是，故选：7在等腰中，点为底边的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】A【分析】由二面角定义知，若、分别为、中点，连接、，根据中位线性质有异面直线与所成角为或其补角，进而在应用余弦定理求
11、线线角的余弦值【解析】解：由题设知：，即，所以二面角的平面角，若、分别为、中点，连接、，所以，故异面直线与所成角，即为或其补角，若，则，故，又，面，故面，而面，故，在中，故，所以，在中，故选：8若不等式，对，恒成立，则和分别等于A；B；C；D；【答案】C【分析】设，得出的符号变化情况，根据的单调性和对称性即可得出，的值【解析】解：当时，当或时，当或时，当时，设，则在上单调递增，在上单调递减，且的图象关于直线对称，即，又，故；故选：C二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9若，则下列结论一定
12、正确的是ABCD【答案】ACD【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可【解析】解：，故选项，正确；当，时，故选项错误；又由，得，则，即，故选项正确故选：10今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个基站，4月份增加用户700多万人，通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是A2022年我国用户规模年增长率最高B2025年我国用户数规模最大C从2020年到2026年，我国的用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D这十年我国的用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差【答案】A
13、C【分析】观察某机构对我国未来十年用户规模的发展预测图，能做出正确判断【解析】解：由某机构对我国未来十年用户规模的发展预测图，知：对于，2022年我国用户规模年增长率超过，达到最高，故正确；对于，2029年我国用户数达到137205.3万人，规模最大，故错误；对于，从2020年到2026年，我国的用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故正确；对于，这十年我国的用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，后5年的方差小于前5年的方差，故错误故选：11在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是A，四点共面BC几何体和直三棱
14、柱的体积之比为D当时，与平面所成的角为【答案】ABD【分析】对选项，只需证明，即可证明，四点共面；对选项，只需证明平面，即可证明；对选项，先证明四边形的面积等于面积的四分之一，即可说明几何体的体积与三棱锥的体积关系，再说明三棱锥的体积与直三棱柱的体积关系，从而得几何体和直三棱柱的体积之比；对选项，先由，得出为等腰直角三角形，再由线面角的定义得即为所求【解析】解：如图，将展开的平面图还原成立体图形，对选项，连接，为的中点，也为的中点，又为的中点，四点共面，故选项正确；对选项，棱柱为直三棱柱，易得平面，又平面，又，又，四边形为正方形，又，平面，又平面，选项正确；对选项，分别为，的中点，几何体和直三
15、棱柱的体积之比为，故选项错误；对选项，当时，又，且，又由选项的分析知平面，即为与平面所成的角，又，与平面所成的角为故选项正确故选：12已知动圆，则A圆与圆相切B圆与直线相切C圆上一点满足，则的轨迹的长度为D当圆与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1【答案】AD【分析】选项，得到圆的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内切；选项，求出圆心到直线距离不一定等于1，故错误；选项，设出，得到的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为；选项，求出圆与坐标轴交点坐标，得到，从而得到面积的最大值【解析】解：圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，因为，所以两圆内切，正确
16、；圆心到直线的距离为，不一定等于1，故圆与直线不一定相切，错误；设，则，所以，所以，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为，错误；选项，令得：，解得：或，令得：，解得：或，所以圆与坐标轴交于不同的三点，分别记为，则这三点构成的三角形面积，当或时，三角形面积取得最大值，最大值为1，正确；故选：三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知向量，的夹角为，且，若，则【答案】【分析】根据已知条件求得，进而求解结论【解析】解：向量，的夹角为，且，可得，可得：，14军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高
17、三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：分别为168，171，172，173，175.175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为177【答案】177【分析】利用百分位数的定义计算即可【解析】解：因为，所以第75百分位数是从低到高第6个和第7个数据的平均数，即15写出与圆和都相切的一条直线的方程（填，都正确）【答案】或或（写出一条直线即给满分）【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条分别求出三条切线方程，则答案可求【解析】解：圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，如图：，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条，的斜率为，设直线，即，
18、由，解得（负值舍去），则；由图可知，；与关于直线对称，联立，解得与的一个交点为，在上取一点，该点关于的对称点为，则，解得对称点为，则，即与圆和都相切的一条直线的方程为：（填，都正确）16神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，处的返回舱垂直返回地面空中分队和地面分队分别在处和处，如图为其示意图，若，在同一水平面上的投影分别为，且在点测得的仰角为，在点测得的仰角为，在点测得的仰角为，则的长为10（参考数据：【答案】10【分析】设，过点作的垂线，垂足为，则由题意可表示出，然后在中利用余弦定理列方程可求得结果【解析】
19、解：如图：设，过点作的垂线，垂足为，由题意得，则，平面，平面，又，平面，因为，四边形为平行四边形，在中，平面，平面，在中，由余弦定理得，化简得，或（舍去）的长为四、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰已知李明能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响（1）求李明不需要进入第三轮测试的概率；（2）求李明通过面试的概率【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可【解析】解：共设有3轮
20、测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰（1）设李明通过第一、二、三轮测试分别设为事件，可知，相互独立设李明不需要进入第三轮测试为事件，则，所以，即李明不需要进入第三轮测试的概率为；（2）设李明最终通过测试为事件，则，所以，故李明最终通过测试的概率为18（本小题满分12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；【分析】（1）以为坐标原点，所在直角为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；（2）求出，2，0，2，由，能证明平面；【解析】证明：（1）正方形与梯形所在的
21、平面互相垂直，为的中点，以为坐标原点，所在直角为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，2，0，4，2，0，平面的法向量，1，平面，平面；（2），0，2，0，2，又，平面；19（本小题满分12分）已知直线的方程为，直线的方程为（1）设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合【分析】（1）由题意利用相交直线系方程，用待定系数法求出，可得要求的直线的方程（2）由题意利用三直线不能构成三角形的条件，分类讨论求得值【解析】解：（1）直线的方程为，直线的方程为，设直线与的交点为，过点且在两坐标轴上的截距相等
22、的直线的方程为，即，则它在轴上的截距为，它在轴上的截距为，由题意，求得或当时，直线的方程为；当时，直线的方程为综上可得，直线的方程为或（2）设直线的方程为，直线与，不能构成三角形，若直线与平行，则，即若直线与平行，则，若直线与的交点在直线上，则，求得故实数的取值的集合为，20（本小题满分12分）如图，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为【分析】（1）在长方形中，为的中点，可得，则，由线面垂直的判定可得平面，则；（2）取中点，连接，则平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求得值可得的位置【解析】
23、证明：（1）长方形中，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，（2）取中点，连接，则平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，1，设，0，设平面的一个法向量为，则，取，得，1，二面角的余弦值为由，解得为上的中点21（本小题满分12分）已知的三个内角，的对边分别为，且（1）若，判断的形状并说明理由；（2）若是锐角三角形，求的取值范围【分析】（1）先由题意，利用数量积的定义求出，由正弦定理及得或，分析得出结论（2）不妨设，由得出利用余弦定理、基本不等式求出的范围，可得的取值范围【解析】解：由，利用数量积的定义得，由余弦定理得，即（1）由正弦定理及得，即，因为，所
24、以或，当时，是等腰三角形，结合，可得此时，故是等边三角形当，即时，是直角三角形，这与矛盾故是等边三角形（2）在是锐角三角形中，不妨设，由得，于是又是锐角三角形，即，即，因此，由余弦定理得，令，则，函数在上单调递增所以，当，故的取值范围是22（本小题满分12分）已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为，（1）当切线的长度为时，求点的坐标；（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段长度的最小值【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果；（2）因为过、三点的圆以为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点；（3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线的距离，则，计算化简可得结果【解析】解：（1）由题可知，圆的半径，设，因为是圆的一条切线，所以，所以，解得或，所以点的坐标为或；（2）设，因为，所以经过，、三点的圆以为直径，其方程为，即，由，解得或，所以圆过定点；（3）因为圆方程为，即，又圆，得圆方程与圆相交弦所在直线方程为：，点到直线的距离，所以相交弦长，所以当时，有最小值
