1、湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一第一学期入学考试数学一选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知且，则的最小值为（）A. B. 3C. D. 132. 是锐角三角形的两条高，如果，则等于（）A. B. C. D. 3. 关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（）A. B. CD. 4. 在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为（）A. B. C. D. 5. 已知两个连续自然数，且，设，则（）A
2、. 总是奇数B. 总是偶数C. 有时是奇数，有时是偶数D. 有时是有理数，有时是无理数6. 为正三角形内部一点，于于于，则（）A. 的值不变B. 的值不变C. 的值不变D. 的值不变二填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）7. 若，则_.8. 关于的二次式可以分解为两个一次因式的乘积,则的值是_.9. 如图，在中，平分于，点是的中点，则关于的函数关系式为_.10. 袋中装有3个红球，1个白球，它们除了颜色以外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为_.11. 光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在两平面镜之间来回反射，已知，则
3、_.12. 在平面直角坐标系中，已知的坐标为，将其绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到使，再将绕原点按逆时针方向旋转得到，延长到使，如此继续下去，则点的坐标为_.13. 一圆周上有三点，的平分线交边于，交圆于，已知，则_.14. 在锐角中，高，交于点，面积为，则的面积为_.15. 方程的解为_.16下列命题：若，则；若，且，则；若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上下两底长都是整数，则该梯形的高为；已知方程的一个根为1，另一个根的取值范围是.其中正确的命题的序号为_.三解答题（本大题共6小题，共50分）17. 设，求的值.18. 已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边B
4、C长为5（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形（2）为何值时，是等腰三角形，并求此时三角形的周长19. 如图，在中，为边上一点，与分别为和的平分线.（1）判断是什么三角形，并证明你的结论；（2）比较与的大小；（3）以为直径的交于点，连接与交于，若，求证：，并求的值.20. 已知是的内接三角形，为的切线，为切点，为直线上一点，过点作的平行线交直线于点，交直线于点.（1）当点线段上时，求证：；（2）当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；（3）若，求的半径.21. 如图所示，已知两点的坐标分别为和，动点从点开始，在线段上以每秒3个长度单位的速度向原点运动
5、，动直线从轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即轴），且分别与轴线段交于点，连接，设动点与动直线同时出发，运动时间为.（1）当时，求梯形的面积.为何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？（2）当梯形的面积等于三角形的面积时，求线段的长.（3）设的值分别取时，所对应的三角形分别为和，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论.22. 如图，已知点，过点的与直线相切于点（在第二象限），点关于轴的对称点是，直线与轴相交点.（1）求证：点在直线上；（2）求以为顶点且过的拋物线的解析式；参考答案一选择题1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】A6. 【答案】C二
6、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）7. 【答案】38. 【答案】9. 【答案】10. 【答案】#0.562511. 【答案】12. 【答案】13.【答案】14. 【答案】15. 【答案】16. 【答案】三解答题（本大题共6小题，共50分）17. 设，求的值.【答案】【详解】解：，18. 【详解】试题分析：（1）由根与系数的关系得到的关系式，由于三角形是直角三角形，因此满足，代入后得到关于的方程，解得值；（2）是等腰三角形有三种情况，分别讨论得到值试题解析：（1）因为是方程的两个实数根，所以又因为是以为斜边的直角三角形，且所以,所以,即，所以所以当时，方程为，解得当时，方程为，解得
7、（不合题意，舍去）所以当时，是以为斜边的直角三角形（2）若是等腰三角形，则有三种情况因为，所以，故第种情况不成立所以当或时,5是的根所以，解得当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、4，周长是14当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、6，周长是16考点：1二次方程根与系数的关系；2分情况讨论19. 【答案】（1）为直角三角形，证明见解析（2）（3）证明见解析，【小问1详解】解：是直角三角形，理由如下：，；又与分别平分和，是直角三角形；【小问2详解】解：，同理可证，【小问3详解】证明：是直径，为角平分线，即，过点作，交于点，因为为等腰三角形，所以为的中点，因为，所以，所以，所以，又，所以，
8、20. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）3【小问1详解】点在线段上时，因为为的切线，为切点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以；【小问2详解】当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论仍然成立，理由如下，因为为的切线，为切点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以；【小问3详解】做直径，连接，所以，因为为的切线，为切点，所以，因为，所以，因为，为锐角，所以，在中，因为， ，所以，所以半径为3.21. 【答案】（1）当秒时，梯形的面积最大，最大值为28（2）（3）答案见解析【小问1详解】，设运动时间为秒，梯形的面积为，则，所以当秒时，梯形的面积最大，最大值为2
9、8；【小问2详解】当时，解得，（舍去），当秒时，做轴于点，此时为等腰直角三角形，所以，所以；【小问3详解】是相似，理由如下：由且，可得.22. 【答案】（1）证明见解析（2）（3）答案见解析【小问1详解】由题意，因为与相切与，是圆的割线，所以即，因为在第二象限，关于轴的对称点是，所以，可得，设直线的解析式是，代入得，解得，直线的解析式是，当时，即点直线上；【小问2详解】因为所求抛物线以为顶点，所以抛物线的解析式可设为，将坐标代入，可得，所以抛物线解析式为，以为顶点且过的拋物线的解析式为；【小问3详解】过点且平行于轴的直线为，由和联立解得，所以，以点为圆心且与相切的圆有两种情况：外切和内切，当圆与外切时，所以圆半径为2 ，点就是切点，
