1、2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1函数单调性的定义增函数减函数定义设函数yf(x)的定义域为A，区间MA，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数yf(x2)f(x1)0f(x)在D上是增函数，减函数类似2写出对勾函数yx(a0)的增区间提示(，和，
2、)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(5)所有的单调函数都有最值()题组二教材改编2函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案1，)(或(1，)3函数y在2,3上的最大值是_答案24若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案(，2解析由题意知，2，
3、)m，)，m2.题组三易错自纠5函数y的单调递减区间为_答案(2，)6已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为_答案解析由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.7函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_答案1,1)解析由条件知解得1a1.8函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0，得函数的定义域为(1，)令t2x23x1，x(1，)则y，t2x23x122，t2x23x1的单调递增区间为(1，)又y在(
4、1，)上是减函数，函数y的单调递减区间为(1，)(2)(2018沈阳检测)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_答案0,1)解析由题意知g(x)该函数图象如图所示，其单调递减区间是0,1)命题点2讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1a3)在1,2上单调递增证明：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10,2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调
5、递增引申探究如何用导数法求解本例？解f(x)2ax，因为1x2，所以1x38，又1a0，所以f(x)0，所以函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函数思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接(4)具有单调性函数的加减跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)答案C解析由(x1x2)f(x1)f(x2)
6、0，即a1，因此g(x)的单调递减区间就是y|x2|的单调递减区间(，2(3)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_答案1,2解析f(x)画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是1,2题型二函数的最值1函数y的值域为_答案1,1)解析由y，可得x2.由x20，知0，解得1yx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为aff，且2ac.命题点2解函数不等式例4 已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_答案(，2)(2，)解析因为函数f(x)
7、ln x2x在定义域上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为10恒成立当a0时，g(x)x在(0,1)上单调递增且g(x)0，符合题意；当a0时，g(x)图象的对称轴为x0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，符合题意；当a0，解得a，则a0成立，那么a的取值范围是_答案解析对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函数所以解得a0的解集为_答案解析由题意知，ff0，f(x)在(，0)上也单调递增f或f，或 0，解得0x或1x0，得2xf(3)f(2) Bf()f(2)f(3
8、)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)4已知函数f(x)当x1x2时，0，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x1x2时，0，f(x)是R上的减函数f(x)00时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解得1a2.a的取值范围是0a2.故选D.6已知定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x22xa)f(x1)对任意的x1,2恒成立，则实数a的取值范围为()A. B(，3)C(3，) D.答案D解析依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x22xa)x
9、1对任意的x1,2恒成立，等价于ax23x1对任意的x1,2恒成立设g(x)x23x1(1x2)，则g(x)2(1x2)，当x时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg，因此a，故选D.7已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为_答案abc解析f(x)在R上是奇函数，afff(log25)又f(x)在R上是增函数，且log25log24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.8如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案解析当a0时，f(x)2x3在定义域R上是单调
10、递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围(1)证明当a2时，f(x).设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)解设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，00且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2
11、k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.即实数k的取值范围为(，26，)13已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)答案D解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2xf(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函
12、数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2的解集为_答案解析由题意知，f(x)f(x)2，f(2x1)f(2x)2可化为f(2x1)f(2x)，又由题意知函数f(x)在R上单调递增，2x12x，x，原不等式的解集为.16已知定义在区间(0，)上的函数f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1.(1)解不等式0f(x21)1；(2)若f(x)m22am1对所有x(0,3，a1,1恒成立，求实数m的取值范围解(1)由得x2或2x.原不等式的解集为(2，)(，2)(2)函数f(x)在(0,3上是增函数，f(x)在(0,3上的最大值为f(3)1，不等式f(x)m22am1对所有x(0,3，a1，1恒成立转化为1m22am1对所有a1,1恒成立，即m22am0对所有a1,1恒成立设g(a)2mam2，a1,1，需满足即解该不等式组，得m2或m2或m0，即实数m的取值范围为(，202，)
