1、1.2.1 1.2.1 排列排列有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例例1:1:某年全国足球甲级某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队参个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？一次，共进行多少场比赛？解：解：14个队中任意两队进行个队中任意两队进行1次主场比赛与次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从次客场比赛，对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的一个排列，因此，个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是比赛的总场次是1821314214A有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题课本例题课本例题2以人为标准
2、进行分步，第一名同学有以人为标准进行分步，第一名同学有5 5种选种选择，第二名同学有择，第二名同学有5 5种选择，第三名同学也种选择，第三名同学也有有5 5种选择，因此有种选择，因此有例例2 2：(1)(1)有有5 5本不同的书，从中选本不同的书，从中选3 3本送给本送给3 3名同名同 学，每人各学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？(2)(2)有有5 5种不同的书，买种不同的书，买3 3本送给本送给3 3名同学，名同学，每人各每人各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？125555536034535A有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题课
3、本例题课本例题3例例3、用用0到到9这这10个数字，可以组成多少个没个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解法一：解法一：对排列方法分步思考。对排列方法分步思考。648899181919AAA从位置出发从位置出发百位十位个位6488992919AA或或有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题课本例题课本例题4解法二：解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：可分为两类：百位百位 十位十位 个位个位A390百位百位 十位十位 个位个位A290百位百位 十位十位 个位个位A2964822939AA根据加法原理根据加法原理从
4、元素出发分析从元素出发分析例例3、用用0到到9这这10个数字，可以组成多少个没个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题课本例题课本例题4解法三：解法三：间接法间接法.从从0到到9这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，A310.648898910A310A29 所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是其中以其中以0为排头的排列数为为排头的排列数为 .A29逆向思维法逆向思维法例例3、用用0到到9这这10个数字，可以组成多少个没个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？有约束条件
5、的排列问题有约束条件的排列问题课本例题课本例题4个。有种，故符合题意的偶数有、千位上的排列数不能选），十位、百位种（排列数有中选）；万位上的数字、种（从有）个位上的数字排列数解法一：（正向思考法331312331312542AAAAAA百位十位个位千位万位13A33A12A例例4、由数字由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位组成没有重复数字的五位数，其中小于数，其中小于50000的偶数共有多少个？的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题2或或41，3或或2、4之之一一百位十位个位千位万位例例4、由数字由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位组成没有重复数字的五位
6、数，其中小于数，其中小于50000的偶数共有多少个？的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题13A1或或3或或544A百位十位个位千位万位2或或433A12A5百位十位个位千位万位例例4、由数字由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位组成没有重复数字的五位数，其中小于数，其中小于50000的偶数共有多少个？的偶数共有多少个？个共有：个，符合题意的偶数的数减去偶数中大于个，再数个，减去其中奇数的个位数有数字的组成无重复、）由解法二：（逆向思维法365000055432133124413553312441355AAAAAAAAAA有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例例
7、5、6个人站成前后两排照相，要求前排个人站成前后两排照相，要求前排2人，人，后排后排4人，那么不同的排法共有（人，那么不同的排法共有（）A.30种种 B.360种种 C.720种种 D.1440种种 C分排问题直排处理分排问题直排处理26A44A有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列要个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；）男甲排在正中间；7206A66！特殊元素（位置）优先法特殊元素（位置）优先法有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按
8、下列要个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：求各有多少种不同排法：（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；）男甲不在排头，女乙不在排尾；女乙在排头时：女乙在排头时：女乙不在排头时：女乙不在排头时：所以共有：所以共有：720+3000=3720种。种。7206A66！3000A5555有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题女乙女乙不甲乙不甲乙5555A66A例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列要个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：求各有多少种不同排法：（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；）男甲不在排头，女乙不在排尾；有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题77A66
9、-A66-A55A3720间接法：间接法：例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：要求各有多少种不同排法：（3）三个女生排在一起；）三个女生排在一起；相邻问题相邻问题“捆绑法捆绑法”72053AA5533！有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题55A33A例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：要求各有多少种不同排法：（4）三个女生两两都不相邻；）三个女生两两都不相邻；不相邻问题不相邻问题“插空法插空法”14403454AA3544！有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题
10、35A44A例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：要求各有多少种不同排法：（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；右顺序不变；定序问题定序问题“消序法消序法”8404567AA3377有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题14A定序问题定序问题“插空法插空法”1514AA 17161514AAAA例例6、有有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：要求各有多少种不同排法：（6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可）若甲必须在乙的右边（可以
11、相邻，也可以不相邻），有多少种站法？以不相邻），有多少种站法？252034567AA2277有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题1716151413AAAAA定序问题定序问题“消序法消序法”定序问题定序问题“插空法插空法”例例7、7位同学站成一排，共有多少种不同的排位同学站成一排，共有多少种不同的排法？法？解：问题可以看作：解：问题可以看作：7个元素的全排列个元素的全排列A775040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列个元素的全排列A66
12、=720有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余种，其余6人全排列有人全排列有A66 种，共有种，共有A61 A66=4320。解二：从其他解二：从其他6人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有A61，剩下，剩下6人人（含甲）全排列，有（含甲）全排列，有A66，共有，共有A61 A66=4320。解三：解三：7人全排列有人全排列有A77，甲在首位的有，甲在首位的有A66，所以共有，所以共有 A77-A6
13、6=7 A66-A66=4320。有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题（4）7位同学站成一排位同学站成一排甲甲、乙只能站在两端的排法共、乙只能站在两端的排法共有多少种？有多少种？解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有甲、乙站在两端有A22种；第二步种；第二步 余下的余下的5名同学进行全排列有名同学进行全排列有A55种种 则共有则共有A22 A55=240种排列种排列方法方法.甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题（5）7位同学站成一排，甲位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的、乙不能站在排头和
14、排尾的排法共有多少种？排法共有多少种？解：解：第一步第一步 从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的5位同学位同学中选中选2位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有A52种方法；种方法；第二步第二步 从余下的从余下的5位同学中选位同学中选5位进行排列位进行排列（全排列）有（全排列）有A55种种方法，方法，所以一共有所以一共有A52 A55 2400种排列方法种排列方法有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题55667724AAA间接法间接法55A25A（6）若甲不在排头）若甲不在排头、乙不在排尾、乙不在排尾,有多少种不有多少种不同的排法？同的排法？解法一（直接法）：以解法一（直接法）：
15、以甲作为分类标准甲作为分类标准,分为两类分为两类：第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间,再安排乙再安排乙,有有第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾,再安排其他人再安排其他人,有有3000551515AAA72066A共有：共有：3720种方法种方法有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题15A15A55A直直接接法法解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的.共有：共有：3720种方法种方法 所有排法：所有排法：77A甲在排头：甲在排头：66A乙在排尾：乙在排尾：66A甲在排头、乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：55A5566772AAA有约束
16、条件的排列问题有约束条件的排列问题间间接接法法例例8 8、四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，、四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不同的排法各有多少不同的排法（1 1）七个人排一列，四个男生必须连排在一起）七个人排一列，四个男生必须连排在一起有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题5764444 AA例例8 8、四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，、四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不同的排法各有多少不同的排法（2 2）男女生相间排列）男女生相间排列有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题 男女男女男女男男女男女男女男 共有共有A A4 44 4 A
17、 A3 33 3=144=144例例9、将、将5列车停在列车停在5条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中a列车列车不停在第一轨道上，不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（么不同的停放方法有（）（A）120种种 （B）96种种 （C）78种种 （D）72种种 特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排B先算出先算出5列火车排列火车排5条铁轨的排法，然后扣除掉条铁轨的排法，然后扣除掉A列车停在第列车停在第一轨道上的方法总数，再扣除掉一轨道上的方法总数，再扣除掉B列车停在第二轨道上的方列车停在第二轨道上的方法总数，再加上前面重复扣除的既满
18、足法总数，再加上前面重复扣除的既满足A列车停在第一轨道列车停在第一轨道上、又满足上、又满足B列车停在第二轨道上的方法总数，就是所求的列车停在第二轨道上的方法总数，就是所求的不同的停放方法。不同的停放方法。例例9、将、将5列车停在列车停在5条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中a列车列车不停在第一轨道上，不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（么不同的停放方法有（）（A）120种种 （B）96种种 （C）78种种 （D）72种种 特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排782334455AAA解法解法2：不相邻问题不相邻问题“插空法插
19、空法”不相邻问题不相邻问题“插空插空法法”、捆绑法、捆绑法七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（都不与丙相邻，则不同的排法有（）种）种(A)960种种（B）840种种 C）720种种 （D）600种种“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”从从7盆不同的盆花中选出盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_种不同的摆放方法。种不同的摆放方法。例例5：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四一天要排语、数、
20、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？一节排班会课，问共有多少种不同的排法？特殊元素应该优先考虑特殊元素应该优先考虑1.数学排上午数学排上午4种排法，班会排下午种排法，班会排下午2种排法，其他四种排法，其他四门课全排列门课全排列24种排法，共种排法，共4224=1922.体育排第一节，数学体育排第一节，数学3种排法，班会种排法，班会2种排法，其他种排法，其他三门课全排列三门课全排列6种排法，共种排法，共326=363.用第一种排法减去第二种用第一种排法减去第二
21、种192-36=156.有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例例8：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？分析：共是分析：共是6节课节课 讨论）讨论）上午第一节不能是体育、上午第一节不能是体育、班会班会，则第一节就有，则第一节就有4种可能种可能 第二节开始不能是班会，第二节开始不能是班会，减去前面一节，减去前面一节，还有还有4种种 第三节减去第三节减去2
22、节节+班会班会,有有3种可能种可能 第四节减去第四节减去3节节+班会班会,有有2种可能种可能 第第5节节（早上排了（早上排了4节了），节了），下午：下午：剩下一节剩下一节跟班会跟班会 有有2种可能种可能，第第6节节 全部排好了全部排好了 就一节课就一节课 1种可能种可能。共。共443221=192；有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题1 9 2-3 6=1 5 6.综上：种数、班在下午全排数、班在下午全排体排在上午第一节外的某节体排在上午第一节外的某节21323336.AAA说明：若数学在下午剩下的全排剩下的全排法一）法一）4242.48AA1242.AA1）当）当体育课体育课被安排在下午
23、，则在除班会以外的四节课在上午可以随便安排，被安排在下午，则在除班会以外的四节课在上午可以随便安排，共有共有 种可能，再有下午的体育和班会共有种可能，再有下午的体育和班会共有 =2种排法，所以共有种排法，所以共有 =48种方法。种方法。2）当）当体育课体育课被安排在上午，则在除班会以外的被安排在上午，则在除班会以外的四节课中四节课中必须选出一门课与班必须选出一门课与班会一起被安排在下午，共有会一起被安排在下午，共有 种排法。种排法。在余下的三门课与体育课共四节被安排在上午：在余下的三门课与体育课共四节被安排在上午：上午第一节有上午第一节有3种选法，第二节有种选法，第二节有3种选法，第三节有种选
24、法，第三节有2种选法，第四节有种选法，第四节有1种选种选法。即法。即 =3321种。共有（种。共有（）.（）=144种。由种。由1）2）共共48+144=192，而数在下午有而数在下午有36种；种；综上综上：有有48+144-36=156种。种。1242.AA1242.AA1333.A A1333.A A44A22A4242.A A1112233322.108.A A A A A 法二）法二）4411.48;22AA班 会)数 在 第 一 节：)数 不 在 第 一 节：数在上午其它三节数在上午其它三节中的一节中的一节第一节排（除数、体、班）第一节排（除数、体、班）其它三门课中的一门其它三门课中
25、的一门剩下三门课剩下三门课中选一门与中选一门与班会放在下班会放在下午两节全排午两节全排最后的两门课最后的两门课无限制全排无限制全排分析：共是分析：共是6节课节课综上综上：48+108=156.3：三名女生和五名男生排成三名女生和五名男生排成一排，一排，如果女生全排在一起，有多少种不同排法？如果女生全分开，有多少种不同排法？如果两端都不能都不能排女生，有多少种不同排法？如果两端不能都不能都排女生，有多少种不同排法？A66 A33=4320 A55A63=14400 A52A66=14400 A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32 A66=36000练习：练习：某小组某小组
26、7 7人排队照相，以下各有几种不同的排法？人排队照相，以下各有几种不同的排法？1 1）若排成两排，前排）若排成两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人；人；2 2）若排成两排，前排）若排成两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人，甲必排在前排，乙人，甲必排在前排，乙必排在后排；必排在后排；3 3）甲不在左端，乙不在右端；）甲不在左端，乙不在右端；667575=3720A-2A+A4 4）甲乙不相邻；）甲乙不相邻；5 5）甲、乙、丙均不相邻；）甲、乙、丙均不相邻；6 6）甲乙必须间隔）甲乙必须间隔2 2人；人；762762=3600A-A A4345=1440A A224254=960A A A
27、77A5040115345A A A14405256=3600A A小结：小结：1 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素某些元素不能在不能在或必须排列或必须排列在在某一位置；某一位置；某些元素要求某些元素要求连排连排（即必须相邻）；（即必须相邻）；某些元素要求某些元素要求分离分离（即不能相邻）；（即不能相邻）；某些元素要求某些元素要求顺序一定；顺序一定；2 2基本的解题方法：基本的解题方法：（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先
28、处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素特殊元素,特殊位置优先安排策略特殊位置优先安排策略（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略相邻问题捆绑处理的策略（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为法称为“插空法插空法”；不
29、相邻问题插空处理的策略不相邻问题插空处理的策略（4 4）某些元素顺序一定时，可以用总排列数某些元素顺序一定时，可以用总排列数除以这几个元素的全排列数，这种方法称为除以这几个元素的全排列数，这种方法称为“倍除法倍除法”；定序问题倍除处理的策略定序问题倍除处理的策略17125910例、人排成一排：、某人在排头、某人不在排头3、某人既不在排头也不在排尾又不在中间4、某人在排头另人在排尾、某两人不排在两头6、某两人排在两头7、某两人必排在一起8、某两人不排在一起、某三人排在一起，另四人排在一起、甲不在排头，乙不在排尾11、甲乙丙不排在两端且三人在一起2525A A1666A A66A7676AA164
30、6A A3464AA55A2555A A6262A A5256A A234234A A A7657652AAA简洁：413433A A A41343311.AAA说明、其余四人全排，甲乙丙看成一整体插入其余四人中间的三空之一，甲乙丙三人再全排2534123练 习：名 教 师，名 学 生 排 成 两 排 照 相，前 排 人，后 排 人。、共 几 种 排 法、两 师 在 前 排、两 师 相 邻 且 在 前 排4、师 甲 在 前 排，乙 在 后 排734437747325351252251153451=234AAAAAAAAAAAAA参 答：、1 2.91 235思 考、由、这 九 个 数 字 做
31、全 排 列 组 成 的 数 中1、要 求 奇、偶 数 各 自 排 在 一 起2、要 求 奇 数、偶 数 相 间 的 排 列3、要 求 偶 数 互 不 相 邻4、要 求、次 序 一 定、要 求 奇 数 次 序 一 定；偶 数 次 序 一 定25445254459954995635435544541;23;264;5AAAAAAAAAAAAAA说 明、也 可 先 排 奇 数 有，但 偶 数 不 插 入 奇 数 所 产 生 的个 空 里，而 是 插 入 除 前 末 空 外 的 四 个 空 里答：、有，下 略.20 1 2 3 4 53201345例：用、这 六 个 数 字 可 以 组 成 多 少 个
32、 无 重 复 的1、五 位 数2、能 被 25整 除 的 五 位 数、大 于的 自 然 数4、六简 答：1、600；2、42；3、479位 奇 数5、求 组 成；4、288；5的 所 有 四 位 数 之 和、9799201 2 3 4 51201 432512933思考：由、组成无重复数字的五位数个按从小到大顺序排，、是第答：1、8几个数8；2、写出第个数、求、45213；3所有三位、1数之和9980练）课本练）课本P27页页4、5、6、7；55123 男女 站 成 一 排、男 生 必 相 邻、男 生 必 相 邻，女 生 也 必 相 邻、男 生 都 不 相 邻4、男 生 都 不 相 邻，女 生
33、 也作 业 1：都 不 相 邻0 1 2 3 4 5 6123004 3520用、这七个数字可组成多少个、无重复数字的四位偶数作业：（提示：可重复）答：1、420、比；2大且比小的整数、1250.6565255255555625525525525525555255561234101 2 3 4 56 7 8104101 3 5 7 92 4 6 8 10A AA A AA AA A AA A AA A A答：、2、一排个位置男站、位，女战、9、位，或反过来。共种。、一排个位置男站、位，女战、位，或反过来。共种，说明:符合题意，但A A 不对。133531126325141313i0=180ii
34、0 a=b.=120.42077-1=195i777=1029ii40a0 1 2721;b30 1 2A AAA AA本 身0个 位2/分 析：1、）不 选；）选（）0在 个 位A 120；（）0不 在 个 位答:。2、1）三 位 大 于 300的，首 位 3、4、5、6A；2）四 位 的 ）首十 位1、2、3A；）首，次，（）十 位、（）十 位，个 位 只 能 是、：3 45、个。综 上：共 1250个。4422452444224554:3AB4C1C2C3C4,ABC1C2C3C4AB4AB48012;.A AAA A引申：、（）；说明、假设五个连续空位为一个元素，为单独一个空位元素，另
35、 个人为元素，问题转化为，排列，条件，不相邻，即是 个人全排，然后与插空、A.A法A3、种 38984、关掉其中的三盏，但不能关掉相临的两盏，也不能关掉两端的路灯故可用插空法解，可把这三盏灯插于除这三盏以外的 盏灯形成的 个空中，有C 种。思：某排共有思：某排共有10个座位个座位,若若4人就坐人就坐,每人左右两边都有空位每人左右两边都有空位,那么不同做法有多少种那么不同做法有多少种?分析：分析：4人选位人选位A（44）=24,然后然后4人旁边插空需人旁边插空需5个空位个空位,剩余的剩余的1个个任意放在这任意放在这5个空个空中的一个即中的一个即5种，共种，共24*5=120。另析：两端的座位要空
36、着，中间4个位包括两端共有5个空，4人插入5空中，共A（54）=120。34.38A练：个人坐在一排 个位置上，若每个人的两边都要有空位，则不同的做法种数答：？1：有：有4个男生和个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：同排法：（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾？）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾？（4）若甲、乙两名女生相邻，且不与第三名女生相邻？）若甲、乙两名女生相邻，且不与第三名女生相邻？（1 1）7 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端？位同学站成一排，甲、乙只能站在两端？（2 2）7 7位同学站成一排
37、，甲、乙不能站在两端？位同学站成一排，甲、乙不能站在两端？（5）甲、乙、丙）甲、乙、丙3名同学必须相邻，而且要求乙、丙分别站名同学必须相邻，而且要求乙、丙分别站 在甲的两边？在甲的两边？152452=9603).A A A丙丙 不 在 头，不 在 尾 也 不 在 甲 乙 中 间析3、1）因为a不等于0，先确定a，有A(4,1)=4；然后从剩下4个数中选2个，有A(4,2)=43=12，故可以组成412=48个不同的一元二次方程。2）(1)c=0时，方程总有解，A(4,2)=43=12；(2)c不等于0，b=0时，方程总无解；(3)a，b，c均不为0时，满足b 2-4*a*c大于等于0，才有解,
38、只有：52-4*1*3，52-4*3*1，72-4*1*3，72-4*1*5，共6种可能，所以有实数解的方程有12+6=18个 变式变式：只有当直线是只有当直线是Y=-AX/B才有才有18条，条，分别是A=0,或B=0时2条，其余的即A、B取非0数时Y=-AX/B;共4*5=20种组合。由于1/2=3/6;1/3=2/6;2/1=6/3;3/1=6/2。减去重复的四种，答案：答案：2+20-4=18。一、无限制条件的排列问题1.从5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在3块不同土质的土地上，共有多少种不同的种法？分析：把5个种子分别标上1,2,3,4,5,用123表示种子1种在第1块土地上，种子2种
39、在第2块土地上，种子3种在第3块土地上，因此3个数的一个排列就是一种种植方法，从5个不同数中取出3个数的一个排列就是一种种植方法，多少个排列就有多少种种法。2.公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？分析：个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1号站下，第二位乘客在2号站下，第三位乘客在4号站下，第四位乘客在6号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有A46=6543=360 5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面,
40、2面或 3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？例2.用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1)五位数2)六位偶数3)大于213045的自然数1)解1.位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5种排法，其余4个位置有A45种排法，由乘法原理知共有5 A45=55432=600解2.（间接法）6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等，0这样的数共有A56-A45=6002)可分为两类，第一类是个位为0的有A55个，第二类个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有A44种排法，第二类共有24A44=192,由加法原理共有A55+192=
41、312形如2134,2135的数有A12A22形如21054有一个因此满足要求的数共有449个3)形如3,4,5,这样的数都是满足条件的数共有A13A55 形如 23，24，25这样的数都是满足条件的数共有A13A44形如214,215这样的数都是满足条件的数共有A12A33解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开，如图表示没有命中，_命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A25=54=20种排法2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命种恰好3枪连在一起的不同种数有多少？3.一排一排8 8个座位，个座位，3 3人去坐，每人两边至少有一人去坐，每人两边至少有一个空
42、座的坐法有多少种？个空座的坐法有多少种？4、一排长椅上共有、一排长椅上共有10个座位，现有个座位，现有4人就座，人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作答（用数字作答）480解法二：可以画一个树状图，知满足要求的拿法 有9种（四)其他问题同室4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？解法一：第一步第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有3种，第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有3311=91.四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不
43、同的排法七个人排一列，三个女生任何两个都不能相邻排在一起七个人排一列，四个男生必须连排在一起男女生相间排列 巩固练习 男女男女男女男 共有A44 A35=1442.7人排成一排，人排成一排，（1）甲）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？种？解：将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A52 A44 A22 960种方法
44、（2）甲）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？排尾的排法有多少种？一共有A55A33 720种某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；某些元素要求必须相邻必须相邻时，可以先将这些元素看作一看作一个个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法捆绑法”；某些元素不相邻不相邻排列时，可以先排其他先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”。有特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊先排特殊元素或特殊位置元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法“优优限法限法”；2基本的解题方法解题方法：1对有约束条件的排列问题约束条件的排列问题，应注意如下类型：小小结：结：创新练习创新练习v某班某班8运动员在运动会运动员在运动会后排成一排照像留念，后排成一排照像留念，v（1）若甲乙两人之间）若甲乙两人之间必须间隔一人，有多必须间隔一人，有多少种不同排法？少种不同排法？v（2）若甲乙两人之间）若甲乙两人之间至少间隔两人，有多至少间隔两人，有多少种不同排法？少种不同排法？
