1、2022-8-41第五章 函数插值v问题提出 1 函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值 2 仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.2022-8-42内容提要n插值问题n插值多项式的构造方法n分段插值法2022-8-43一、插值问题已知定义于,ba上的函数)(xf在1n个互异节点,0baxnii处的函数值niixf0)(.1.定义若函数族中的函数)(x满足条件 nixfxii,1,0),()(（1）则称)(x为)(xf在中关于节点 niix0的一个插值函数。)(xf 被插值函数；,ba插值区间
2、；niix0插值节点；式（1）插值条件.2022-8-442.几何意义、内插法、外插法内插外插niixM0maxniixm0min,Mmx,Mmxbutbax2022-8-453.多项式插值问题n对于不同的函数族的选择，得到不同的插值问题n当为一些三角函数的多项式集合时:三角插值;n当为一些有理分式集合时：有理插值；n当为一些多项式集合时：多项式插值 特别的取=nnxxx,1span2P,即niRaxaxaxaaxxinnn0,)()(2210P2022-8-464.存在惟一性n分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组)()()()(111210
3、210212110200nnnnnnnnxfxfxfxfaaaaxxxxxxxxx 定理定理1(存在惟一性存在惟一性)满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在惟一的.2022-8-475.误差估计n引理 已知函数f(x)在a,b上具有m-1阶连续导函数，且在（a,b）上存在m阶导数。若它在该区间上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。)()()()()(23012101210 xfxfxfxxxxxxfmmmmmmm 插值余项：)()()(xxfxRn 2022-8-48误差估计(续1)n分析：()()()0,0,1,2,niiiR xf xxin1101()
4、()()()()()()()()nnnnR xf xxk xxxxxxxxx)()()()()(1txkttftgn)(tg在区间,ba上的2n个互异零点：x、niix0 当)(tg充分光滑时，)()1(tgn在开区间),(ba内至少存在一个零点)!1()()(0)()()!1()()()1()1()1()1(nfxkgxkntftgnnnn2022-8-49误差估计(续2)2022-8-410RemarkRemark2 若被插值函数)(xf本身就是不超过n次的多项式,则有)()(xxf.Remark3 可以通过求解线性方程组得到插值多项式.Remark1 插值误差与节点 niix0和点x之间
5、的距离有关,节点距离x越近,插值误差一般情况下越小.2022-8-411二、插值多项式的构造方法n由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。n内容提要nLagrange插值法nNewton插值法n等距节点插值公式n带导数的插值问题2022-8-4121.Lagrange 方法1.1 辅助问题构造不超过n次的插值多项式)(xli,使之满足插值条件 njijijxljiji,2,1,0,01)()()()()()()()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl)()()(11ininxxxx202
6、2-8-4131.1 辅助问题)()()()()(02010210nnxxxxxxxxxxxxxl)()()()()(12101201nnxxxxxxxxxxxxxl)()()()()(110110nnnnnnxxxxxxxxxxxxxl 称n次插值多项式)(0 xl、)(1xl、)(xln为关于节点niix0的拉格拉格朗日插值基函数朗日插值基函数.这些基函数仅依赖于插值节点niix0,2022-8-4141.2 Lagrange型插值公式niinininiiinxxxxxfxlxfxL0110)()()()()()()(上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，因而就是我们所需构造的插
7、值多项式，称之为Lagrange插值多项式。)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn)()!1()()()(11xnMxLxfxRnnnn2022-8-415例题已知3)5.0(,2)0(,1)1(,2)2(ffff,试选用合适的插值节点，通过二次插值多项式计算)5.0(f的近似值,使之精度尽可能高.解 依据误差估计式,选 5.0,0,1210 xxx 为插值节点 拉格朗日插值基函数为:)5.0(32)5.01)(01()5.0)(0()(0 xxxxxl)5.0)(1(2)5.00)(10()5.0)(1()(1xxxxxl)1(34)05.0)(15.0()0)(1(
8、)(2xxxxxl 二次插值多项式为)()()()()()()(2211002xlxfxlxfxlxfxL)(3)(2)(210 xlxlxl 3/4)5.0(3)5.0(2)5.0(1)5.0()5.0(2102lllLf2022-8-4161.3 反插值法已知单调连续函数)(xfy 在如下采样点处的函数值 ix 1.0 1.4 1.8 2.0)(iixfy 2.0 0.8 0.4 1.2 求方程0)(xf在2,1 内根的近似值*x,使误差尽可能小 iy 2.0 0.8 0.4 1.2 0 iixyf)(1 1.0 1.4 1.8 2.0？分析2022-8-417问题求解)()()()()(
9、)(302010321013yyyyyyyyyyyyyfyL )()()()()(31210132011yyyyyyyyyyyyyf )()()()()(32120231021yyyyyyyyyyyyyf )()()()()(23130321031yyyyyyyyyyyyyf 3201302.003125.03271.0675.1yyy 于是有 675.1)0()0(31*Lfx 解解 对)(xfy 的反函数)(1yfx进行三次插值,插值多项式为 2022-8-418单值性条件不可缺少用反插值法时必须满足单值性条件2022-8-4192.Newton插值法nLagrange 插值公式的特点：n
10、形式对称n通常用于理论分析n当增加插值节点时，在计算实践中不方便0A)()(00 xlxfAA)()(11xlxfAA)()(xlxfAAnn 2022-8-4202.1 Lagrange插值多项式间的关系10)()(0)()(1kixfxLkixfxLiikiik)()(1xLxLkk)()(110kxxxxxxA)()()()()()()()()()(111011100kiiiiiiikiiikiiikxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlxlxfxL)()()()(1100kiiiiiiikixxxxxxxxxfA)()(10ikikixxfA是Lk(x)的首项系数。2022-8-
11、4212.2 Newton型插值公式)(,)()(101xxxxfxLxLkkkk)()(,1010ikikikxxfxxxf)()()(110kkxxxxxxx)(,)()(11001xxxfxLxL)(,)(1100 xxxfxf)(,)()(221012xxxxfxLxL)(,)(,)(22101100 xxxxfxxxfxf)(,)()(101xxxxfxLxLnnnn)(,)(,)(,)(1022101100 xxxxfxxxxfxxxfxfnn2022-8-422Newton插值公式（续）)()()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)()(1101010210010010221
12、01100 xNxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxfxxxxfxxxfxfxLnnnnnnNewton 插值公式的关键是计算其系数：,10kxxxf)()(10ikikixxfk=1,2,n2022-8-4232.3 差商的另一种计算方法性质性质 ,10kxxxf 与节点 0 x、1x、kx 的次序无关。)()()()(,110010kiiiiiiikikxxxxxxxxxfxxxfk=1:0101110110)()()()()(,xxxfxfxxfxNxxfn)()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxf
13、xfxN1010)()(xxxfxfjixxxfxfxxfjijiji)()(,2022-8-424计算方法(续1)k=2:)()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN)()(,)()(,1202021002210 xxxxxxxxfxfxfxxxf121020,xxxxfxxf)()(,)(,)()(12021210011002xxxxxxxxfxxxxfxfxf)()(,)()(1202121012xxxxxxxxfxfxf021012,xxxxfxxf202110,xxxxfxxf2022-8-425计算方法(续2
14、)kikjjikjixxxxfxxfxxxf,i,j,k互不相同kkkkxxxxxfxxxfxxxf02111010,一般地，k阶差商：2022-8-426差商表x)(xf 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 x 1x 2x 3x )(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf ,10 xxf,21xxf,32xxf ,210 xxxf,321xxxf ,3210 xxxxf 2022-8-4272.4 误差估计 如果f(x)充分光滑，则有估计)()!1()()()()(1)1(xnfxNxfxRnnnn)()!1()()()(11xnMxNxfxRnnnn不足：对函数的光滑性要求高；需估计导函数的
15、最值；偏保守。导数型误差估计2022-8-428误差估计（续）)()(1xfxNn)(,)()(1101txxxxftNtNnnnn)(,)()(110 xxxxxfxNxfnnn)()()(xNxfxRnn)(,110 xxxxxfnn 差商型误差估计导数和差商的关系!)(,)(10kfxxxfkk2022-8-429差商型误差估计特点对被插值函数光滑性要求不高；不适用于实际计算。例已知xxfsin)(的如下函数值表,x.0 1.5 2.0 xsin 0.8415 0.9975 0.9093 请用二次插值多项式计算8.1sin的近似值)8.1(2N。2022-8-430例题求解解 1）建立差
16、商表1.01.52.00.84150.99750.9093 0.312-0.1764-0.4884973884.0)5.18.1()0.18.1(4884.0)0.18.1(312.08415.0)8.1(2N2）插值#2022-8-4313.等距节点插值公式当节点等距分布时简化Newton插值公式ihaxi ),1,0(ni 0nabh.简记tfthaf)(,例 iifxf)(,21)(2ihifxf,21)(2ihifxf.2022-8-4323.1 常用算子定义n恒等算子)()()()(1xfIIxfIxfxIfmm)()(xfxfIs)()()()(shxfxfEhxfxEfs1iif
17、Ef2121iiffE11iiffE2022-8-433向前差分算子)()()()()(1xfxfxfhxfxfmm010fff01201022ffffffIE IEEIEIEIE2 2)(222222022-8-434向后差分算子)()()()()(1xfxfhxfxfxfmm1nnnfff21122nnnnnnffffff1EI212122)(EEIEI2022-8-435中心差分算子)()()()()(122xfxfxfxfxfmmhh25272121333fffff2343222527ffffff2/12/1EE2022-8-4363.2 差分与差商之间的关系010110)()(,xx
18、xfxfxxfhxf1)(0202110210,xxxxfxxfxxxfhxfxxxfxfxxfiiiiiii1)()()(,111一般地hhxfhxf21)(1)(10202!2)(hxf2022-8-437（续）kkkhkxfxxxf!)(,010一般地!)(,10kfxxxfkk)()()(0kkkfhxf差分与导数的关系2022-8-4383.3 Newton向前插值公式记x=a+th，x-xi=(t-i)h)(,)()(1010 xxxxfxfthaNkknkn)(!)()(10010ithhkxfxfkikkknk)1()1()()()(110kttthxxxxxxxkkk)1()
19、1(!)()(010ktttkxfxfknk2022-8-4393.4 差分表x)(xf 一阶差分 二阶差分 三阶差分 0 x 1x 2x 3x )(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf )(0 xf)(1xf)(2xf )(02xf)(12xf )(03xf 2022-8-440例题 已 知 函 数xysin的 如 下 函 数 值 表,利 用 插 值 法 计 算)42351.0sin(的 近 似 值.x 0.4 0.5 0.6 xsin 0.38942 0.47943 0.56464 4.00 x,1.0h,2351.01.04.042351.00hxxt 解建立如下差分表 x)sin(x
20、 一阶差分 二阶差分 0.4 0.5 0.6 0.38942 0.47943 0.56464 0.09001 0.08521 00480.0 利用插值公式:)1(!2)(!1)()()(020002ttxftxfxfthxN 2022-8-441续1)(0.23510.235120.004800.23510.090010.38942(0.42351)N0.42351)sin(241101.0#2022-8-4423.5 Newton向后插值公式类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：knkknnnhkxfxxxf!)(,1将插值节点从大到小排列，即,2,021nhxxhxxhxxxnn
21、nnnn类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。2022-8-4434 带导数的插值问题函数值niixf0)(、导数值niixf0)(互异节点niix0 这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题 要求构造不超过12 n次的多项式)(12xHn满足上述22 n个插值条件 nixfxHxfxHiiniin,2,1,0)()()()(/1212(1)2022-8-4444.1 辅助问题及Hermit插值设)(xi是满足如下插值条件的12 n次多项式 njxxjiijji,2,1,00)()(设)(xi是满足如下插值条件的
22、12 n次多项式 njxxijjiji,2,1,0)(0)()()()()()(0012xxfxxfxHiiniiinin2022-8-4454.2 辅助问题（1）的求解njxxjiijji,2,1,00)()()(xi0)(2)(1)(iiiiiiiiiiiiixlBxAAxBxAx令kinikkiiiikinikkiiixxxxABxxxlA121112)(200得到2212120)()()()(:)(niiixxxxxxxxx)(2xli)(iiBxA2022-8-446（续）)(1)(21)(20 xlxxxxxikinikkiikinikkiiiikinikkiiixxxxABxxx
23、lA121112)(200得到2022-8-4474.3 辅助问题（2）的求解njxxijjiji,2,1,0)(0)()(xi)()()()(22xlxxCxlCxiiiiii1)()()()(22iiiiiiiiiixlxxCxlCx令)()()(2xlxxxiii1iC)(2xli)(ixxiC2022-8-4484.4 Hermite插值问题解函数的存在惟一性)()()()()(0012xxfxxfxHiiniiinin 存在性：惟一性：2121()()21nnHxHxn以及是均满足插值条件的不超过次的多项式)()(1212xHxHnn22120)()()(nxxxxxx0)()(12
24、12xHxHnn2022-8-4494.5 误差估计分析：)()()()()(2112txktHtftgnn)()()()(2112xxkxHxfnnniixx02022-8-450（续）)()()()()(2112txktHtftgnnniixx0函数零点（从小到大）)(tgx0 x1x2xnx1nx)(tg012n0 x1x2x1nxnx)(tg 至少2n+1个零点)()22(tgn至少1个零点)!22)()()()22()22(nxktftgnn)!22()()()22(nfxkn2022-8-4514.6 带不完全导数的插值问题举例分析（方法1）：)(,)(,)()(102100100
25、2xxxxxxxfxxxxfxfxN)()()()(21023xxxxxxkxNxHkxfxH )()(003求得参数令)()(!4)()()(2120)4(3xxxxxxfxHxf误差：2022-8-452（续1）方法2：（用带有重节点的差商表）2100 xxxx)()()()(2100 xfxfxfxf,211000 xxfxxfxxf)(0 xf,210100 xxxfxxxf,2100 xxxxf)()(,)(,)(,)()(10021000010000003xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxH2022-8-453一个类似问题举例（续2）,211110 xxfxxf
26、xxf,211110 xxxfxxxf,2110 xxxxf)()(,)(,)(,)()(11021101011001003xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxH2110 xxxx)()()()(2110 xfxfxfxf)(1xf 2022-8-4543.1 高次插值的评述 在实际应用中,很少采用高次插值。.在两相邻插值节点间,插值函数未必能够很好地近似被插值函数。三、分段插值法.对于等距节点的牛顿插值公式,函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.2022-8-455（1）.函数 在区间-5,5上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例.在区间上分
27、别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。随着插值次数的提高,在 范围内的近似程度并没有变好,反而变坏.高次插值并不一定带来更好的近似效果.211)(xxf63.3x高次插值的评述(续)2022-8-456(a)高次插值的评述(续)2022-8-457(b)(c)函数 的等距节点插值公式 在区间0,5上的近似程度示意图)/(211xy,55 x)(xpn高次插值的评述(续)2022-8-458高次插值的评述(续)（2）高次多项式插值的稳定性。对于一组节点 由函数值 以及近似值 以某种方法构造出的插值多项式分别记为 和 .如果对任意正数,存在不依赖于n的正数,使得当 时有 ,则称该插值方
28、法是数值稳定的.否则就是不稳定的.niix0niixf0)(niixf0*)()(xpn)(*xpn)()(max*1iinixfxf*max()()nnax bpxpx 2022-8-459),1,0()()(*nixfxfiii设由 和 构造出的插值多项式分别记为 和 .于是有 niixf0)(niixf0*)()(xLn)(*xLn)()()()()()(*00*xlxfxlxfxLxLiiniiininn)(0 xliini nii0插值多项式的扰动就是由节点函数值扰动得到的插值多项式.因而函数插值的稳定性转化为分析扰动 关于节点 的高阶差商的大小。niix0高次插值的评述(续)202
29、2-8-460kx当节点是等距分布时,只需分析 的高阶差分.设在节点 处有 ,其它节点处的扰动均为零.0nii)()(*kkxfxf知高次插值法不稳定。*200(1)()()2!nnot tL xLxt由及高次插值的评述(续)2022-8-4613.23.2 分段插值分段插值 设 已知节点 上的函数值 若 满足 niix0niiy0)(xh.,1,0)(.niyxiih.)()1,1,0(,.1是低次多项式上，在xnixxhii则称 为分段插值函数。)(xh 是整体插值区间上的连续函数,随着子区间长度 变小,不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求.但一般说来,在子区间的端点处导数
30、是不存在的.)(xnh2022-8-462（1）等距节点分段二次插值的误差估计等距节点分段二次插值的误差估计 设f(x)在插值区间a,b 上具有三阶连续的导函数,将 a,b均分成n个子区间,记 ，区间端点为nabh.0niiihax)()()()()()()()()()(212121212121211111111)(2iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxp,1iixxx若在每个子区间 上采用二次的等距节值 ,插值节点为 、和 ,插值多项式,1iixx)()(2xpiix221hiixx1ix2022-8-463设 ,上式可简
31、化为 )11(221ssxxhi)()(2)(2)(221hiiisxpxp2/)1()()1)(1)(2/)1()(121ssxfssxfssxfiii)()(!3)()()()(1)(2)(221 iiiiiixxxxxxfxpxfxR11,8)1()1(!3)(13 sxxhsssfiiii等距节点分段二次插值的误差估计（续）等距节点分段二次插值的误差估计（续）子区间 上的插值余项,1iixx2022-8-464 设 ,3,)(maxMxfbax )1()1(max48)1()1(48)(113333)(2ssshMssshMxRsi9324833hM由于这一估计与 无关,对 有i,ba
32、x93248)()(33hMxxfh等距节点分段二次插值的误差估计（续）等距节点分段二次插值的误差估计（续）2022-8-465对任意近似精度要求 ,可解得0336532Mhh当 趋于零时,分段插值函数 在整体插值区间 上一致地收敛到被插值函数 .)(xh,ba)(xf等距节点分段二次插值的误差估计（续）等距节点分段二次插值的误差估计（续）2022-8-466（2）分段二次插值多项式的基表示分段二次插值多项式的基表示 对于 定义如下分段二次函数 0,1,2,in,0,)()()(1111212121iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxx,0,)()(,)()()(11111121
33、212121iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0i2022-8-467关于节点 的分段二次插值多项式有如下基表示:nkkx202/)()()(2/2/20 xxfxkknkh,0,)()()(1010100102121xxxxxxxxxxxxxxx,0,)()()(11112121nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx分段二次插值多项式的基表示（续）分段二次插值多项式的基表示（续）2022-8-468 是关于节点 的分段二次插值基函数,图形如下所示：nkkx202/)(nkkx202/分段二次插值基函数示意图 分段二次插值多
34、项式的基表示（续）分段二次插值多项式的基表示（续）2022-8-4693.33.3 三次样条三次样条插值插值 分段插值法具有一致的收敛性,它只保证插值函数整体的连续性,但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的要求。早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。2022-8-470（1）样条插值的定义样条插值的定义.在小区间 上是不超过m次的多
35、项式.),2,1(,1nixxii.在节点 处具有 阶连续的导数;则称s(x)是关于分划 的 次样条函数样条函数.)1,2,1(nixi1mm定义定义 给定区间 的一个分划,babxxxxann 110:若实值函数s(x)满足若还满足.,则称s(x)是f(x)关于分划 的 m次样条插值函数样条插值函数。),2,1,0()()(nixfxsii2022-8-471三次样条插值函数 在每一个小区间上是不超过3次的多项式,在整个插值区间上有4n个系数.且有4n-2个约束:)(xs内节点 1,2,1)0()0()0()0()()0()0(nixsxsxsxsxfxsxsiiiiiii)()0()()0
36、(00nnxfxsxfxs边界节点样条插值的定义样条插值的定义（续）2022-8-472要确定4n个系数，还需附加2个约束条件.常用的约束条件有以下三类：)()(0nxfxf此时一般有 成立.)0()0()0()0(00nnxsxsxsxs.周期性边界条件 ,0)0(,0)0(0 nxsxsnnMxsMxs )0(,)0(00.弯矩边界条件 特别的称 为自然边界条件.nnmxsmxs)0(,)0(00.转角边界条件 样条插值的定义样条插值的定义（续）2022-8-473（2）三弯矩构造法三弯矩构造法记 ,基本步骤如下：),2,1,0()(niMxsii.取 为待定参数，并用s(x)的插值条件写
37、出 的表达式。)1,2,1(niMiiM.代入s(x)的表达式，得各个区间上的表达式。.用 在内节点 的连续条件及边界条件导出关于 的方程组。()s x)1,2,1(nixiiM.求解后得到 。)1,2,1(niMi2022-8-474iiiiiiiiiiiiiihxxMhxxMxxxxMxxxxMxs111111)(由,1iixxx式中 。1iiixxh对 积分两次,并利用插值条件 ,确定两个积分常数,得到)(xs)()(11iixfxs)()(iixfxsiiiiiiiiiiiiiiiihxxhMxfhxxhMxfhxxMhxxMxs1221131316)(6)(6)(6)()(三弯矩构造
38、法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-475计算 iiiiiiiiiiiihMMhxfxfhxxMhxxMxs6)()(2)(2)()(112121,1iixxx,63)0(11iiiiiiixxfMhMhxs,63)0(111iiiiiiixxfMhMhxs,63)0(1111iiiiiiixxfMhMhxs类似可以得到 三弯矩构造法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-476,636111111iiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMh16iihh 两边同乘以 ,得 令 ,有)0()0(iixsxs,621111iiiiiiiixxxfMMM)1,2,1(ni式中 ,.1iiiih
39、hh11iiiihhh 三弯矩构造法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-477若附加弯矩约束条件,得nnnnnnnnMxxxfxxxfxxxfMxxxfMMMM112432321012101321123221,6,6,6,62222系数矩阵严格对角占优,故系数矩阵非奇异,上述线性方程组有唯一解，可用追赶法求解。将解带回到子区间上的表达式中（用二阶导表示），即有s(x)在每个区间上的表达式。三弯矩构造法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-478若附加转角边界条件,得线 性 方 程 组 为 101010,62hmxxfMMnnnnnnhxxfmMM,6211nnnnnnnnnnnhxxfmxx
40、xfxxxfxxxfhmxxfMMMMM,6212221211232121010101210112211 三弯矩构造法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-479对于周期性边界条件,得：nnnnnnnMMxxfxxfMhMhMhMh011011101,3663即nnnnnMMhhxxfxxfMMM0111010100,62式中 ,.nhhh110nnhhh10 三弯矩构造法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-480线性方程组为:,622222121233212101110122101122221100nnnnnnnnnnnnnnnxxxfxxxfxxxfxxxfhhxxfxxfMMMMM将
41、当作已知参数,从后 个方程中求解出用 表示的后 个参数,然后将它们代入第一个方程解得 ,最终得到其它参数.0M1n0M1n0M 三弯矩构造法（续）三弯矩构造法（续）2022-8-481（3）样条插值函数的收敛性样条插值函数的收敛性 对于转角边界条件、弯矩边界条件、周期性边界条件的三次样条插值函数是存在惟一的。三次样条插值函数对被插值函数的逼近也是收敛的、数值稳定的。由于误差估计与收敛性的证明比较复杂，下面仅仅给出结论。2022-8-482,ba定理定理 设 在 上连续,为满足转角边界条件(或弯矩边界条件)的三次样条插值函数,则对任意 有如下估计)()4(xf)(xs,bax 443845)()(hMxsxf34241)()(hMxsxf2481)()(hMxsxf hMxsxf412)()()(max)4(,4xfMbax,minmax11iniinihh,)(maxmax111iiniinixxhh其中误差估计定理2022-8-483误差估计定理的意义该定理说明，三次样条插值函数对函数及其一二阶导数的逼近与分化比无关，而对三阶导数的逼近与分化比有关。当 时，三次样条函数及其一二阶导数在区间a,b上一致收敛到函数 f(x)及其相应导数。三阶导数的收敛性还要求分化比介于两正常数之间，即分化要均匀一些。0h
