1、 7 相对论质量相对论质量下面介绍相对论动力学的基本内容一 惯性质量与速度的关系 爱因斯坦光速不变的新思想几乎影响了每一个物理量，时间、长度、相对速度等。同时，相对论也改变了牛顿运动定律，在牛顿力学中，牛顿运动定律的表达式为mFa m是不随物体运动状况而改变的物理量，称为惯性量。当外力作用的时间足够长时，物体的速度将会越来越大，最后达到或超过光速。vtoc 这是相对论所不允许的，与光速是极限速度发生了矛盾，说明牛顿力学规律不适应相对论时空观。相对论对牛顿定律的改变就是阻止物体被加速到光速。甲乘飞船高速飞行，乙站在地面上，当乙对一个1kg的物体施加1N的力时，牛顿运动定律告诉我们，物体获得1m/
2、s2的加速度。如果甲也拿了1kg的物体，想象当甲飞过乙时，乙对甲的物体也施加1N的力，按牛顿运动定律，甲的物体也将获得1m/s2的加速度。但相对论指出，甲的物体获得的加速度将小于1m/s2。对乙来说1N的力施加在甲的物体上比施加在自己物体上获得的加速度小。这说明甲的物体比自己物体有更大的惯性。换一句话说甲的物体有更大的质量，因为质量是惯性的量度。反过来，甲看到自己物体的质量为1kg，而乙的物体质量大于1kg。可见质量是相对的。质量随着物体运动速度的增加而增大。理论和实验都证明，质量与速度的关系为2201cvmm 静质量m0是物体本身所包含的物质之量，反映了物体本身的属性，无论哪个观察者测量，都
3、是相同的。在相对论中，惯性质量是一个决定速度的量。速度越大，惯性质量越大，此时，外力对物体不会产生加速度。这样，不管外力作用时间多长，也不会使物体的速度增加以超过光速vtco二二 相对论动量及动力学规律相对论动量及动力学规律mvP dtdvmdtmvdF)(在相对论中2201cvvmmvP在相对论中m不是一个常数，而是一个随速度变化的量，是时间的函数，这样经典动力学方程即可推广为相对论动力学方程dtmvddtdPF)(dtdmvdtdvm三三 质能关系质能关系新时代的标志新时代的标志dtdmvdtdvmF 在相对论中，假定功能关系仍具有经典力学的形式：质点动能的增量等于外力所做的功drFdEk
4、dtmvddtdPF)(drdtdPdtdrdPvdPmPdpmdP222)(2dPPPPddP由2201cvmm2202222cmvmcm220222cmPcm220222cmcmP两边微分dmmcdP222mdPdEk22代入dmc2mmEkdmcdEk020202cmmcEk这就是相对论动能公式，其中m为相对论质量220222cmcmPmdmmc222 时当cv 22222221121111cvcvcv 2022201cmcvcmEk 2020222021)211(vmcmcvcm2022021cmmcvm 质能关系质能关系在相对论动能公式中kEcmmc20220cm静止能量2mc粒子以
5、速度V运动时所具有的能量，这个能量是在相对论意义上粒子的总能量2mcE 相对论能量粒子速率为零时总能量就是静止能量200cmE 200cmE 在经典力学中，我们知道动能、势能等形式的能量，完全不知道还有静能形式的能量存在，可见，静能是相对论时空观的发展而发现的一种新的能量形式，这一大胆的预言已被原子弹和核动力 等大量实验和应用所证实。静能的数量极其巨大，一般比其化学能大亿倍以上。开发这种潜在于物体中能量，可真是取之不尽，前景十分广阔的。当粒子系统的质量减小为m时，将会释放出mc2 的能量，这是原子弹爆炸时巨大动能的来源。而普通炸弹爆炸时弹片的动能只是来自炸药的化学能。2mc等于静能20cm与动
6、能Ek之和，显然是系统的总能量（机械能、电磁能、原子分子能、势能、结合能等），解决了经典力学中始终未能阐明如何计算全部能量的问题。相对论总能量与物体的惯性质量密切相关，即物体的质量就是物体能量的度量。这一富有哲学色彩的科学论断，当今被誉为新时代的标志质能关系质能关系2mcE 或2mcE 质能关系表明，物体吸收或放出能量（即能量增加或减少）时必伴随以质量的增加或减少。它揭示了质量、能量之间的联系和对应关系，说明质量不仅是物体的惯性、引力的量度，也是物质总能量的量度。惯性、能量之间存在着深刻的内在联系。经典力学中，质量与能量之间是相互独立的，能量守恒和质量守恒是分别发现的两条相互独立的自然规律。在
7、相对论中，能量和质量只是物体的统一力学性质的两个不同方面，能量守恒和质量守恒被完全统一起来。由相对论，能量守恒常量)(2cmi意味着系统的质量守恒常量)(im反之亦然。系统内部的作用过程，可以使静质量与动质量相互转化，静能与动能相互转化，但系统的总能量和总质量是保持不变的。由质能关系可知，能量的增加引起质量的增加是非常少的。因为2cEmC2非常大，所以对应于能量增加E而引起的质量增加m大小以致于在爱因斯坦之前人们没有注意到。例 如把2kg的物体从静止加速到100m/SJmvE100001002212122相应质量增加kgcEm151621011210910000可见在常速情况下，质量增加确实太
8、小。奇特的是，如果质量亏损或增加一点，则释放或增加的能量由2mcE可知却是非常巨大的。例如在核裂变中，假定1kg的铀在裂变中其静止质量亏损0.01kg，则释放的能量为JmcE1416210910901.0我们来看这个能量能产生多么巨大的效果，它可以把中国12亿人口抬高多少米？假设平均每个人的质量为60kg，12亿人口的重量则为NMg10810726001012MghE mMgEh125010721091014这就是10g铀所作的功，可见是多么巨大！质能关系的意义质能关系的意义 经典力学中，能量守恒和质量守恒是两条相互独立的定律。在某过程中，一物体系统可以质量守恒而能量不守恒。在相对论中，它们是
9、统一的，可称之为质量可称之为质量能量守恒定律能量守恒定律 不要认为，质能关系意味着物质可以转化为能量。物质并没有消灭，它只是从一种形式转化为另一种形式；与此同时，能量也从一种形式转化为另一种形式。静止能量的揭示是相对论最重要的成就之一。按照辩证唯物主义的观点，没有运动的物质同没有物质的运动同样是不可思议的。一个“静止”的物体，仅仅是相对于所选取的参照系没有整体的运动而已，在它的内部，存在着多种形式的运动。这些内部运动的形式，有些已经为我们所认识。任何一个物体，里面有分子、原子的运动，在原子内部有核外电子的运动和原子核内核子的运动等等。按质能关系，一个具有静止质量的基本粒子，相应的也有静止能量，
10、这个静能的存在，正是它的内部运动的表现。在许多情况下，物体的静能比起它的整体运动能量来，大的无可比拟。也就是说，大量的能量以静能的形式“束缚”在物体内部。这就启发人们用各种办法来“释放”这些能量，最大限度的利用这些能量。粒子 符号 静能量/MeV 光子 电子 子 介子 质子 中子 氘 氚 氦（粒子）e 0 P n 2H 3H 4H 0 0.510 105.7 139.6 938.280 939.573 1875.628 2808.944 3727.409例 在一种热核反应中nHeHH10423121各种粒子的静止质量分别是氘核H)(21kg27D103437.3m氚核H)(31kg27T100
11、049.5mHe)(42kg27He106425.6m氦核(n)中子kg27n10675.1m求这一热反应释放的能量是多少？解这一反应的质量亏损)mm()mm(mnHeTD0)0049.53437.3(kg2710)6750.16425.6(kg27100311.0相应释放的能量20m cEJ10799.2121627109100311.01kg的这种核燃料所释放的能量为TDmm EJ/kg1035.3103486.810799.2142712 这一数值是优质煤燃烧所释放热量（约2.93107J/kg）的1.15 107倍，即1千多万倍！四动量与能量的关系四动量与能量的关系 在相对论中，静质量
12、m0，运动速度为V的质点的总能量和动量，可由下列公式表示22202c-1cmmcEv2201mmPcvvv由这两式中消去速度V后，我们将得到动量和能量之间的关系为22222022m)m()(mccvc22202cPEE相对论动量和能量关系式0EE 当PcE Ec0mcP光子的动量和能量cEP PcE hchv习题1 设S以速率u=0.60c相对于S系沿XX轴运动，且在t=t=0时，X=X=0。（1）若有一事件，在S系中发生于t=2.010-7s，X=50m处，则该事件在S系中发生于何时刻？（2）如有另一事件发生于S系中=3.0 10-7s，X=10m处，在S系中测得这两个时间间隔为多少？解 在
13、相对论中，可用一组时空坐标（x、y、z）表示一个事件，因此，可直接利用洛仑兹变换把两事件从S系变换到S系中。（1）由洛仑兹变换可得S系的观察者测的第一事件发生的时间为（2）同理第二个事件发生的时刻为scutxcutt72212111025.1 scuxcutt7222212105.31 在S系中两事件的时间间隔为sttt7121025.22 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对于此惯性系的速度为多少？解 设宇宙飞船的固有长度为0l它相对于惯性系的速率为v而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为20l根据洛仑兹长度收缩公式2200121cvllcv233 一固有长度为4.
14、0m的物体，若以速率0.6c沿x轴相对某惯性系运动，试问从该惯性系来测量，此物体的长度为多少？mcvll2.312204 半人马星座是离太阳系最近的恒星，它距离地球为4.31016m。设有一宇宙飞船自地球往反于半人马星座星之间。（1）若宇宙飞船的速率为0.99c，按地球上时钟计算，飞船往返一次需多少时间？（2）如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？（1）由于题中恒星与地球的距离S和宇宙飞船的速度v均是地球上的观察者所测量的，故往返一次，地球时钟所测时间间隔vst2（2）从相对论的时间延缓效应考虑，把飞船离开地球和回到地球视为两个事件，显然飞船上的钟测出两事件的时间间隔t是固有时，地球上
15、所测得时间间隔t与t之间满足时间延缓效应的关系式（1）地球上的时间计算年0.91087.228svst（2）以飞船上的时钟计算年40.01028.11722cvtt设有一粒子以0.05c的速率相对实验室运动。此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为0.80c，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验室参考系的速度。分析 这是相对论速度变换问题。取实验室为S系，运动粒子为S系，则S系相对S的速度u=0.050C。题中所给速率是电子相对衰变粒子的速率，故cvx8.0 由洛仑兹逆变换时可得电子相对S系的速度为cvcuuvvxxx817.012 设在宇航飞行船中的观察者测得脱离它而去的航天器相
16、对它的速度为1.2108m/s。同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0 108m/s。问（1）此火箭相对宇航飞行船的速度为多少？（2）如果以激光光束替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞行船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动物体的极限速度。分析 该题仍是相对论速度变换问题（2）中用激光光速来替代火箭，其区别在于激光光速是以C相对航天器运动，因此其速度变换结果应该与光速不变原理相一致。设宇航飞船为S系，航天器为S系，则S系相对S系的速度u=1.2 108m/s，空间火箭相对航天器的速度为1.0 108m/s，激光光束相对
17、航天器的速度为光速C。由洛仑兹变换可得（1）空间火箭相对S系的速度为1321094.11 smvcuuvvxxx（1）激光光束相对S系的速度为cccuucvx 21即激光光束相对宇宙飞船的速度仍为光速C，这是光速不变原理所预料的。如利用伽利略变换，则有cucvx 这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛仑兹变换来说，光速是运动物体的极限速度。设在正负电子对撞机中，负电子和正电子以速度0.90C相向飞行，它们之间的相对速度是多少？分析设对撞机为S系，沿X轴正方向飞行的正电子为S系，S系相对S系的速度u=0.9C，则另一电子相对S系的速度cvx9.0 该电子相对于S系的速度（即
18、沿X轴正向飞行的电子）xv即为题中所求的相对速度cvcuuvvxxx994.012 式中负号表示该电子沿X轴负方向飞行，正好与正电子相向飞行 在惯性系S中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0S，从另一惯性系S中观察到这两个事件的时间间隔为6.0S，试问从S测量到这两个事件的空间间隔是多少？设S以恒定的速率相对S系沿XX轴运动。分析分析 这是相对论中同地不同时的两事件的时空转换问题。可以根据时间延缓效应的关系式先求出S系相对S系的运动速度u，进而得到两事件在S系中的空间间隔tux 解：在S系中的时间间隔为原时原时st0.4st0.6221cutt 可得S系相对S系的速度为ccttu
19、35)(1 212 两事件在S系中的空间间隔为mtux91034.1 若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、和速率。粒子的 静能E0是指粒子在相对静止的参考系中的能量20mcE MeV512.0)103(101.92831MeVEEEk488.4020222EcPE121212021066.2)(1smkgEEcP21220)1(cvEEcEEEcv995.0)(212202 一被加速器加速的电子，其能量为3.00109eV。试问（1）这个电子的质量是其静质量的多少倍？（2）这个电子的速率是多少？解（1）2mcE 200cmE 320001086.5cmEEEmm（2）2122
20、0)1(cvmmccmmv999999985.0)(1 2120 在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E。分析分析在相对论中，粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律，因此辐射总能量应等于电子偶湮没前两电子总能量之和。电子偶湮没前的总能量只是它们的静能之和。解283120)103(101.922CmEMeVJ02.11064.113 若把能量0.5106eV给予电子，让电子垂直于磁场运动，其运动轨迹是半径为2.0m的圆。问（1）该磁场的磁感强度B有多大？（2）这电子的动质量为静质量的多少倍？分析（1）电子在匀强磁场
21、中作匀速圆周运动时其向心力为洛仑兹力。磁感强度B是电子动量的函数KEEE022202CpEERvmevB2TeRcEEEBKK146.0202（2）由相对论质能关系98.11000EEEEmmK例 北京和上海直线相距1000km，在某一时刻两地同时各开出一列火车。现有一艘飞船从北京到上海的方向在高空掠过，速率恒为u=9km/m。求宇航员测得的两列火车开出时刻的间隔，哪一列先开出？解取地面为S系，坐标原点在北京，以北京到上海的方向为X轴正方向。北京和上海的位置坐标分别是x1、x2，取飞船为S系mxxx61210而两火车开出时刻的间隔是12ttt21tt 和分别表示在飞船上测得的从北京发车的时刻和
22、从上海发车的时刻。由洛仑兹变换2212212121)()(cuxxcutttt221221)(cuxxcu221221)(cuxxcus7283628310)103109(110)103(109这一负的结果表示：宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早10-7s双生子佯谬双生子佯谬假设地球上有一对孪生兄弟甲、乙。甲乘火箭飞船以0.8c的速率飞向离地球8光年的某天体，到达后马上以同样的速率返回地球。如果地球被看作一个惯性参照系的话，那么整个过程中，从地球系看来，飞船的钟走慢了一个因子221cutt6.0122cu对地球来说，飞船往返经过了年年光年光年光年20)1(8.0828.082c一光
23、年是指光在一年中传播的距离，约等于十万亿公里。t 原时原时飞船上的钟只走过了年126.020当甲旅行回来时，他那个留在地面上的孪生兄弟比他老了8岁。情况确实如此吗？但这难道不是破坏了时钟延缓的“相对性”吗？似乎，从飞船参照系来分析，变慢的应该是地球的钟。是什么理由导致乙“绝对地比甲老呢？”理由很明显：飞船往返必须经历一段变速过程。如果地球看作是惯性系，那么，飞船在整个过程中就不是一个惯性系尽管在其中大部分时间里，当它匀速飞行时，它是惯性系。因而，地球系同飞船系不是“平等”的。从本质上说，旅行之所以使甲变的年轻一些，是由于他的运动状态（非惯性运动）同乙有所不同。狭义相对论对孪生子佯谬的分析狭义相
24、对论对孪生子佯谬的分析 从留在地球上的孪生兄弟乙来看，飞船上的钟慢了。从地球到某天体，甲只长了6岁，归程中又长了6岁。因此到重逢时，甲共长了12岁。这是在地球参照系中描述飞船上时间的流逝。那么，从飞船看来，地球上的光阴又是怎样流逝的呢？这个问题最好到广义相对论中去处理，因为飞船总的来说不是一个惯性系。但是，如果我们把“去”和“来”的飞船分别看作两个不同的惯性系，而认为在调头前后，飞船上的观察者对事物在调头前后，飞船上的观察者对事物的描述应该从一个惯性系的观点急遽地过渡到另一个惯性系的观点。的描述应该从一个惯性系的观点急遽地过渡到另一个惯性系的观点。这样，在狭这样，在狭义相对论的范围内还是有可能
25、得出某种合乎实际的图景。xo地球钟天体钟飞船钟suxos地球钟天体钟飞船钟u 设想在地球和天体所组成的参照系中，分别在地球和天体中放一对时钟，对地天参照系来说它们是对准了的；由飞船参照系的观点看来，它们却不是对准的。如图对于匀速飞向天体的飞船（它是一个惯性系），地球上的钟要比天体上的钟落后一些；而对于匀速返回地球的飞船（另一个惯性系），却恰恰相反，地球上的钟超前于天体上的钟。可见，对飞船上的观测者来说，在飞船短暂的调头过程中，地球上仿佛发生了“一天等于二十年”的变化。我们可以根据洛仑兹变换算出这个变化的幅度。称地球天体参照系为S系，调头前飞船所在的惯性系为S系，调头后相应的惯性系为SS系的原点
26、置于地球上，X轴由地球指向某天体。由洛仑兹变换2221cucuxttEE2221cucuxttcc这里的cEtt 和分别是在S系中同一时刻t时地球钟与天体钟的读数；两钟的X坐标显然是Xe=0和xc=8（光年）。取时间以“年”为单位，距离以“光年”为单位时）年光年(1c）年光年(8.0u由上两式消去t，得到)(4.6)8(8.0)(2年cEcExxcutt即地球钟比天体钟落后6.4年。对S系来说，只需把u换成（-u）。故在S系的同一时刻t地球钟比天体钟“超前”6.4年。可见，在调头过程中，飞船观察者认为地球上的时间过去了年年年8.124.64.6在“去”和“来”两个匀速运动过程中，飞船上分别渡过
27、了6年。对飞船来说，地球钟是运动钟，时率只有飞船钟的0060故在这两个过程中，地球上只分别度过了两个年）(6.36.06的历程年年年年206.38.126.3这刚好就是重逢时甲发现他留在地球上的孪生兄弟实际上度过的年头。实际上，飞船上的甲并不能瞬间的看到地球上的钟，他只是通过接收来自地球的某种讯号去间接的推知人间的光阴流逝。假定飞船是在2000年元旦起飞的。此后，地上每年过元旦时，孪生子乙都向甲拍去一封电报。试问：甲在飞船上每隔多少年收到一封电报？整个航行途中又总共收到多少封新年贺电呢？起初，当飞船离地球而去时，收报的周期拉得很长。这一方面是因为对飞船来说，地球的钟是缓慢的；而另一方面，是由于
28、讯号源（地球）离飞船越来越远，以至减低了收报的“频率”。（即单位时间收报的次数）具体地说，在飞船系中，相隔两封电报的“发出”在时间上相隔年6.011122cut在空间上后电发报地点比前电远离了光年年年光年6.08.06.018.0tu总起来，后电和前电相隔年3)16.08.06.01()(ctut按照这个周期，甲经过了6年的旅行直到抵达某天体的整个过程中，仅收到2001年和2002年元旦的两封贺电。在飞船踏上归程以后，情况就不同了。固然，地球的钟还是慢的；但另一方面，地球现在迎面飞驰而来，却大大的提高了收报的“频率”。使收报周期缩短到年）（3116.08.06.01这样在6年的归程期中，甲陆续
29、收到从2003年到2020年元旦的总共18封贺电。整个旅行中，他恰好收到20封电报。主要内容的轮廓狭义相对论低速运动高速运动伽利略相对性原理狭义相对性原理伽利略变换式utxx yy zz tt 旧时空观绝对空间绝对时间经典力学的一些结论0mm vmP0amF02021vmE 2021vmE 洛伦兹变换221cuutxxyy zz 2221cuxcutt新时空观长度缩短时间延迟力学相对论的一些结论2201cvmm2201cvvmPmavdtdmdtdPF202cmmcEk2mcE 420222cmcPE 主要内容的轮廓狭义相对论低速运动高速运动伽利略相对性原理狭义相对性原理伽利略变换式utxx yy zz tt 旧时空观绝对空间绝对时间经典力学的一些结论0mm vmP0amF02021vmE 2021vmE 洛伦兹变换221cuutxxyy zz 2221cuxcutt新时空观长度缩短时间延迟力学相对论的一些结论2201cvmm2201cvvmPmavdtdmdtdPF202cmmcEk2mcE 420222cmcPE
