1、Uniqueness Theorem本节内容将回答两个问题：本节内容将回答两个问题：（1）要具备什么条件才能求解静电问题）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一）所求的解是否唯一 21,2,ii(1)在区域 中每个均匀的子区域 内满足泊松方程：ViV空间区域 内静电场唯一确定的条件为：V(2)在区域 中每两子区域边界上满足边值条件：V（n 由 i 区域指向 j 区域）ijjiijnn(4)给定区域 表面上 或 之值。Vn(3)已知区域 内的电荷密度 、；V20(1)在任一子区域内：(2)在子区域 界面上：,i jijjiijnn(3)区域表面上:或 0n0设有 、同时满足上述条
2、件，令：,则0kkkkkkkSSdSdSn 子区域 1子区域 2子区域 3子区域 4kkkkkkSVdSdV 22kkkkkVVdVdV 2kkkVdV0const 2-3 1（1）导体内部电场为零，导体是等势体（2）电荷以面电荷形式分布于表面导体的静电平衡条件：对给定电势值，将导体看成是区域边界之一即可?若区域中存在导体，给定导体上的电势值 或总电荷值 ，其他区域条件如前述，则电场唯一确定。Q0kkkSdSn kkkSdSn kkSdS?导体内电场为零 对给定电荷值，只要包围导体的表面 有：kSkSkkkkkkSdSnn 0kQQ2.更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论更重要的是它具有十
3、分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过通过提出尝提出尝试解，试解，然后验证是否然后验证是否满足方程和边界条件满足方程和边界条件。满。满足足即为即为唯一唯一解，若不满足，可以加以修改解，若不满足，可以加以修改。1.唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电电 场强度场强度指明了
4、方向。指明了方向。1.半径为半径为a的导体球壳接地，壳内的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷中心放置一个点电荷 Q，求壳内场，求壳内场强。强。0S解：点电荷解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地放在球心处，壳接地02)0(R因而腔内场唯一确定。因而腔内场唯一确定。Q0S不满足不满足已知已知点电荷产生的电势为点电荷产生的电势为 RQ014aQS014但但它在边界上它在边界上要使边界上任何一点电势为要使边界上任何一点电势为0，RQ04aQ04设设020S它满足它满足根据唯一性定理，它是腔内的根据唯一性定理，它是腔内的唯一唯一解解。)(430aRRRQE可见腔内场与腔外电荷可见腔内场与腔外电荷无关，只
5、与腔内电荷无关，只与腔内电荷Q有关。有关。QS?唯一性定理说：S 面内的电场由内部电荷及 S 上的电势决定。（与外面的电荷及电场无关）QQQ0V 不影响 S 面内部Q 不影响 S 面外部Q?静电屏蔽效果解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势坐标与假定电场也具有球对称性，则电势坐标与,无关。无关。0因电荷分布在有限区，外边界条件因电荷分布在有限区，外边界条件导体表面电荷导体表面电荷Q已知，已知，电电场唯一确定。设场唯一确定。设BRA3RRARA)(03aRRRA02R0R0B 满足满足，2.带电荷带电荷Q 的半径
6、为的半径为a a 的导体球放在均匀无限大的导体球放在均匀无限大介介 质中，求空间电势分布。质中，求空间电势分布。在导体边界上在导体边界上SSaRAaaAdSRAdSRQ442223两种均匀介质两种均匀介质（和和 ）充满空间，一充满空间，一半半 径径 a 的带电的带电Q导体球放导体球放 在介质分界面上（球心在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电在界面上），求空间电 势分布。势分布。1212aQ)(44aRRQQA)(43aRRRQEEEEnP),(120利用利用QQP)1(021RQ4场对称场对称 对称性分析：对称性分析：21场仍对称！场仍对称！在两介质分界面上：在两介质分界面上：021nn
7、EE012pnnEE0p束缚电荷只分布在导体与束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在空间也具有对称性。而在介质分界面上介质分界面上 ，所以可考虑球外所以可考虑球外电场仍具电场仍具有球对称性。有球对称性。21EE试试探探解解002222212111drcdrc12aQP2E1ES2S1给定，所以球外场唯一确定。给定，所以球外场唯一确定。0解：解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区外边界为无穷远，电荷分布在有限区导体上导体上Q212211SarSardSrdSrQ121222SSccdSdSaa22122222ccaaaa122()c 确定常数确定常数0021ddrSS21ccc21在介质分界面上在介质分界面上 )(221QcrQ)(2211rQ)(2212下半空间下半空间上半空间上半空间)()(421arrQ导体球面上面电荷分布：导体球面上面电荷分布：2211111)(2aQrar2212222)(2aQrar下半球面上均匀分布下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布上半球面上均匀分布1101)1(P2102)1(P束缚电荷分布束缚电荷分布：其他实例：其他实例：Q左半空间左半空间电势？电势？Q球壳外球壳外空间电空间电势？势？
