1、第五章第五章 投影变换投影变换基基 本本 要要 求求1.掌握换面法的基本原理与其变换规律。2.掌握换面法求线段实长、平面实形及对投影面倾角的方法。3.掌握用换面法解决一般空间几何元素的定位和度量问题。4.了解旋转法的基本原理与其变换规律。aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点3-1 概述aabbaabbccabcdabdcaabbccddabcdabcd 两平面夹角3-1 3-1 概述概述 投影变换的基本方法有投影变换的基本方法有以下两种：以下两种：1 1空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影
2、面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为种方法称为换面法换面法。2 2投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投影。这种方法称为影。这种方法称为旋转法旋转法。XV/H 体系变为V1/H 体系X1V1c1b1a1A 新投影面必须满足下列新投影面必须满足下列两条原则：两条原则：新
3、投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。BCacbcbaHV 一、换面法一、换面法 二、旋转法二、旋转法ABOOCa(b)oocc1c1aboocC1实形X1V1a1aaAVHX3-2 3-2 换面法换面法一、换面法的基本概念 用换面法解题时，用换面法解题时，新投影面必须满足下列新投影面必须满足下列两条原则：两条原则：新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。必须垂直于
4、原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。aa 1、点的一次换面、点的一次换面 V1a1X1X1 V1a1AVHXa1X1HV1ax1VHXaaax点的换面规律：换面规律：点的新投影与不变投影的连线垂直于新的投影轴；新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到旧轴的距离。二二、换面法的基本规律、换面法的基本规律换换V面面 1、点的一次换面、点的一次换面H1X1aaa1HVH1X1Va1VHXaaAX二二、换面法的基本规律、换面法的基本规律换换H面面 2、点的两次换面、点的两次换面2X2a2AXaaa1HVV1X1a2X2H2V1V/HV1/HV1
5、/H2VHXHV1X1aaa1二二、换面法的基本规律、换面法的基本规律 换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。三、四个基本问题三、四个基本问题三、四个基本问题三、四个基本问题V1X1 a1 b1 A B a b b aa1b1 X1V1HVHXabab作图特点：作图特点：新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角 求直线对
6、某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影VH1 1、一般位置直线变换成平行线、一般位置直线变换成平行线 将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出 角？角？X1H1Va1b1ababVHX 三、四个基本问题三、四个基本问题VHXX1H1 a1b1X1H1VbbVHXaa 作图特点：作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。a1 b1三、四个基本问题三、四个基本问题 2 2、将平行线变换成垂直线、将平行线变换成垂直线V1X1 a1 b1 a b
7、 abXVH2X2a2 b2必须经过两次变换必须经过两次变换 若将一般位置的直线若将一般位置的直线变换成投影面垂直线变换成投影面垂直线三、四个基本问题三、四个基本问题X2H2V1a2 b2X1HV1a1 b1 ababVHX两次变换的作图两次变换的作图 三、四个基本问题三、四个基本问题cH1 dc1a1b1 d1 a babcACDdVHXBacXVHbbac dX1H1V d b1 a1c1d1作图特点作图特点:取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。若求平面对此投影面的倾角，必须取
8、该投影面的平行线。三、四个基本问题三、四个基本问题 3 3、将一般位置平面变换成垂直面、将一般位置平面变换成垂直面a作图特点：作图特点：新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。V1X1c1b1a1X1V1c1a1b1XHVbbaccABC三、四个基本问题三、四个基本问题 4 4、将垂直面变换成、将垂直面变换成 投影面的平行面投影面的平行面X1V1c1a1b1XHVabbaccABCa1c1b1X1Xabcabc 变换的作图过程变换的作图过程三、四个基本问题三、四个基本问题必须经过两次变换必须经过两次变换 db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2
9、X2 V2H1实形abcabc d三、四个基本问题三、四个基本问题如何将一般位置平面如何将一般位置平面变换成投影面平行面变换成投影面平行面四、换面法的应用四、换面法的应用 应用换面法解题时，首先分析空间几何元素应用换面法解题时，首先分析空间几何元素间的相互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，间的相互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，才有利于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面才有利于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面的基本方法进行图解。的基本方法进行图解。下面展示了特殊位置的几何元素的投影，可直接反下面展示了特殊位置的几何元素的投影，可直接反映其空间距离、角度等关系。映其空间距离、
10、角度等关系。aabbcc四、换面法的应用四、换面法的应用axxx(b)a(d)cabcdmnmne)f)a(b)bmmb)Laa(b)bxccddc)Lx(b)a(d)cabcdmnmnd)Labcdcd(b)a(d)ef(f)eg)xaabba)xL 例题1 例题2 例题3 例题4 应用举例应用举例 例题例题11 已知多边形已知多边形ABCDEF对对H面的倾角面的倾角=45,试完成试完成 多边形的正面投影。多边形的正面投影。xOabcdefabx1d1(c1)f1(e1)45a1(b1)fedc 应用举例应用举例 例题例题22 已知已知A与直线与直线BC的投影，求点的投影，求点A到到BC直线
11、间的距离直线间的距离。c2X2H1V2H1X1Vb2 a2k2距离kkbaabccXHVa1b1c1k1 空间分析 应用举例应用举例ABFECD 例题例题33 求变形接头求变形接头ABCDABCD和和ABEFABEF之间的夹角，如图所示。之间的夹角，如图所示。cadbfea(e)b(f)dcxVHb1a1x1H1V1f1e1c1d1x2V2H1b2(a2)e2c2d2f2 应用举例应用举例 例题例题44 求交叉两直线求交叉两直线ABAB和和CDCD间的最短距离间的最短距离EFEF ，如图所示。，如图所示。e1f1 e2f2X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1bfefeadca
12、bcdXVHABCDa(b)cdf(e)FE3-3 3-3 旋转法旋转法ABOOCa(b)oocc1c1aboocC1 旋转法就是投影面不动，通过旋转使几何元素对投影面处于有利于旋转法就是投影面不动，通过旋转使几何元素对投影面处于有利于解题的特殊位置。这里只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。解题的特殊位置。这里只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。一、旋转法的基本概念一、旋转法的基本概念二、点的旋转二、点的旋转AA1OOPaa1oaa1ooaaoooxoa1a1aoa1a1ooxoa 点绕投影面垂直轴旋转的点绕投影面垂直轴旋转的投影规律：投影规律：1 1）点的旋转轨迹在轴所垂直的投影面上的投
13、影，反映圆的实形。）点的旋转轨迹在轴所垂直的投影面上的投影，反映圆的实形。2 2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。HOOABA1B1k1abkoa1b1 三三、直线与平面的旋转、直线与平面的旋转 直线与平面的直线与平面的旋转规律：旋转规律：1 1）旋转时直线与平面上各点必须绕同一轴线、朝同一方向、转同一角度。）旋转时直线与平面上各点必须绕同一轴线、朝同一方向、转同一角度。2 2）在轴线所垂直的投影面上的投影大小不变，对该投影面的倾角也不变。）在轴线所垂直的投影面上的投影大小不变，对该投影面的倾角也不变。xoabk1k
14、abooa1a1b1b11.1.旋转规律旋转规律 三三、直线与平面的旋转、直线与平面的旋转 2.2.不指明轴旋转不指明轴旋转 根据直线与平面旋转时的三同规律和不变性，可将旋转后的投根据直线与平面旋转时的三同规律和不变性，可将旋转后的投影移到某个合适的位置。但要使投影的形状和大小不变，而另一投影移到某个合适的位置。但要使投影的形状和大小不变，而另一投影仍按旋转规律作图。这种作图方法称为不指明旋转轴法或平移法影仍按旋转规律作图。这种作图方法称为不指明旋转轴法或平移法xaba1b1ooocabca1b1c1c1 四四、四个基本问题、四个基本问题 1.1.将一般位置直线变为投影面平行线将一般位置直线变
15、为投影面平行线xoabb1abb1oo 一般直线旋转成投影面平行线一般直线旋转成投影面平行线作图特点：作图特点：求直线对某投影面的倾角，旋转轴必须垂直于该投影面。求直线对某投影面的倾角，旋转轴必须垂直于该投影面。o 四四、四个基本问题、四个基本问题 2.2.将投影面的平行线变换成投影面垂直线将投影面的平行线变换成投影面垂直线xoababooa1oa1()平行线旋转成垂直线的平行线旋转成垂直线的作图特点：作图特点：1 1）旋转轴必须垂直于直线实长所在的那个投影面。）旋转轴必须垂直于直线实长所在的那个投影面。2 2）将反映直线实长的投影旋转成与投影轴线垂直。）将反映直线实长的投影旋转成与投影轴线垂
16、直。问题：问题：如何将一般位置直线旋转成投影面的垂直线？四四、四个基本问题、四个基本问题 3.3.将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面x abc o oa1b1 ab n nn1a1b1c oo 一般位置平面旋转成垂直面的一般位置平面旋转成垂直面的作图特点：作图特点：1 1）在平面上取一条投影面的平行线，将该线变成垂直线）在平面上取一条投影面的平行线，将该线变成垂直线 2 2）求对某个投影面的倾角，必须取对该投影面的平行线）求对某个投影面的倾角，必须取对该投影面的平行线 四四、四个基本问题、四个基本问题 4.4.将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面垂直面变换成投
17、影面平行面x a b c a1 c1 c1 o a1 ba c 垂直面旋转成投影面平行面的垂直面旋转成投影面平行面的作图特点：作图特点：将平面有积聚性的投影旋转到平行于投影轴的位置将平面有积聚性的投影旋转到平行于投影轴的位置 问题：问题：如何将一般位置平面旋转成投影面的平行面？五五、应用举例、应用举例 例题例题55 过点过点A A 作作AK AK 与已知直线与已知直线BCBC 垂直相交，如图所示。垂直相交，如图所示。a b c m b1 c1 m1 a b c b1c1 k1 a1 k1 a1 k kxo 例题例题66 试将点试将点D D绕所设绕所设OOOO轴旋转到已知平面轴旋转到已知平面AB
18、CABC上，如图所示。上，如图所示。五五、应用举例、应用举例xo abco a b c o o e f e f d d d d1 例题例题77 试过试过A A点作直线点作直线ACACABAB，并使直线，并使直线ACAC与与H H面的倾角面的倾角=45=45，且点且点C C在在H H面内，求直线面内，求直线ACAC的两面投影。如图所示的两面投影。如图所示。五五、应用举例、应用举例xoababc1b1c45 c1cb1分析：分析：与H面倾角=45的直线AC，必在轴线过A点且垂直于H面的锥面上，锥底圆在H面内。锥面上的一直线AC AB，若直线AB绕锥轴线旋转成正平线时，其AC与AB的正面投影反映直角，AC在旋转过程中的倾角不变。将所求AC1的投影返回即可对应作出AC的两面投影。
