1、【 精品教育资源文库 】 第 17 课时 水平面内的圆周运动及其临界问题 考点 1 圆锥类运动及其临界问题 1关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题，常见的是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题，通过受力分析来确定临界状态和临界条件是常用的解题方法。 2 (1)运动轨迹是在水平面内圆。 (2)物体所受合外力提供向心力。 (3)向心力可以是一个力或几个力的合力，也可以是某个力的分力。 3实例：圆锥摆、汽车和火车拐弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行、锥斗、锥面等，临界条件是恰好满足或不满 足某条件。 例 1 如图所示，用一根长为 l 1 m 的细线，
2、一端系一质量为 m 1 kg 的小球 (可视为质点 )，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 37 ，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为 FT(sin37 0.6，cos37 0.8, g 取 10 m/s2，结果可用根式表示 )。求： (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为 60 ，则小球的角速度 为多大？ 解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球受 到重力和细线拉力，如图所示。 小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定【 精品教育资源文库 】 律及向心力公式得
3、 mgtan m 20lsin 解得 20 glcos 即 0 glcos 5 22 rad/s。 (2)同理，当细线与竖直方向成 60 角时，由牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan m 2lsin 解得 2 glcos 即 glcos 2 5 rad/s。 答案 (1)5 22 rad/s (2)2 5 rad/s (1)圆锥类圆周运动问题的物体，有些在锥面内，有些在锥面外，有些属于锥面问题，如：汽车道路在拐弯时为什么修的是内低外高，火车拐弯处的构造等。 (2)先对运动轨迹和状态分析确定圆心和半径及有关物理量，再对物体进行受力分析。分析出提供向心力是什么力、列式求解。 (3)当转速变化时，
4、往往会出现绳子拉紧，绳子突然断裂，上下移 动的接触面会出现摩擦力达到极值，弹簧的弹力大小或方向发生变化等。 铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形确定的，弯道处要求外轨比内轨高，内外轨的高度差 h 的设计不仅与 r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的内外轨的高度差 h 的部分数据关系： (g 取 10 m/s2) 弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨的高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 (1)根据表中数据，推导出 h 和 r 关系的表达式，并求出 r 550 m 时 h 的值；
5、 (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨均不向车轮施加侧向压力。已知我国铁路内外轨的间距设计值 L 1435 mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率 v(以 km/h 为 单位，结果取整数。当 很小时 tan sin )； (3)为了提高运输能力，国家不断对火车进行提速，这就要求火车转弯速率也提高。请根据上述计算原理和表格中的数据分析提速时应采取怎样的有效措施。 【 精品教育资源文库 】 答案 (1)60 mm (2)55 km/h (3)见解析 解析 (1)由题表中数据可知，每组的 h 与 r 之积为常数 ，即 hr 6605010 3 m233 m2 所以当
6、r 550 m 时 h 60 mm。 (2)当内外轨对车轮都没有侧向压力时，对火车的受力分析如图所示。 则 F mgtan mv2r 因为 很小， tan sin hL 所以 v ghrL 1033143510 3 m/s 15.2 m/s55 km/h 。 (3)由前面的计算可知，可采取的有效措施有： 适当增大内外轨的高度差 h； 适当增大铁路弯 道的轨道半径 r。 【 精品教育资源文库 】 考点 2 水平转盘上物体的运动及其临界问题 1在水平面上物体做圆周运动提供向心力的力可能是摩擦力、绳子的拉力、弹簧的弹力、杆的拉力 (支持力 )等，根据题意找出条件去判定。 2临界极值分析 物体间恰好
7、不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有 Fm mv2r ，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，具体问题再具体分析。 例 2 (2014 全国卷 )(多选 )如图，两 个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点 )放在水平圆盘上， a 与转轴 OO 的距离为 l， b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( ) A b 一定比 a 先开始滑动 B a、 b 所受的摩擦力始终相等 C kg
8、2l是 b 开始滑动的临界角速度 D当 2kg3l 时， a 所受摩擦力的大小为 kmg 解析 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速 转动，在某一时刻可认为，小木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，充当向心力，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得 f m 2R，由于小木块 b 的轨道半径大于小木块 a 的轨道半径，故小木块 b 做圆周运动需要的向心力较大，先达到最大静摩擦而滑动， B 错误， A 正确；当 b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg m 2b2 l，可得 b kg2l， C 正确；当 a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg m 2al，可得 a kgl
9、，而转盘的角速度 2kg3l 【 精品教育资源文库 】 kgl ，小木块 a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得 f m 2l 23kmg， D 错误。 答案 AC (1)关键分析物体的受力情况，找出向心力的来源，以及运动状态改变时力的变化，确定临界点、临界条件。如题中，物体静摩擦力提供向心力、随角速度增大，静摩擦力增大，达到最大静摩擦力时，物体开始滑动，这就是临界点和临界条件。 (2)特别注意有弹簧和 绳子时应先满足摩擦力的情况下去分析变化。 (多选 )如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体 A 和 B，它们与盘间的动摩擦
10、因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是 ( ) A物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动 B物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远 C两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 D两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 答案 AB 解析 当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时， A 物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后， A 所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力， A 要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是 B 所需要的向心力小于 B 的最大静摩擦力，所以 B 仍保持相对圆盘静止状态，故 C
11、、 D 错误， A、 B 正确。 1.山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严重倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激。【 精品教育资源文库 】 假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为 R，重力加速度为 g，列车转弯过程中倾角 (车厢地面与水平面夹 角 )为 ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度 (轨道不受侧向挤压 )为 ( ) A. gRsin B. gRcos C. gRtan D. gRcot 答案 C 解析 由题意画出受力分析图，可知合外力提供向心力，指向水平方向： mgtan mv2R，解得 v gRta
12、n ，故 C 正确。 2.(2017 郑州质检 )如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮 A和 B水平放置，两轮半径 RA 2RB。当主动轮 A 匀速转动时，在 A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在 A轮边缘上。若将小木块放在 B 轮上，欲使木块相对 B 轮也静止，则木块距 B 轮转动轴的最大距离为 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A.RB4 B.RB3 C.RB2 D RB 答案 C 解析 由题图可知，当主动轮 A 匀速转动时， A、 B 两轮边缘上的线速度相同，由 vR，得 ABvRAvRB RBRA 12。由于小木块恰能在 A 轮边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值mg
13、 ，故 mg m 2ARA ，设放在 B 轮上能使木块相对静止的距 B 轮转动轴的最大距离为 r，则向心力由最大静摩擦力提供，故 mg m 2Br ，因 A、 B 材料相同，故木块与 A、 B 间的动摩擦因数相同， 、 式左边相等，故 m 2ARA m 2Br，得 r ? ? AB2RA ? ?12 2RARA4RB2， C正确。 3. (2017 莆田联考 )如图所示，在半径为 R 的半圆形碗的光滑表面上，一质量为 m 的小球以转速 n(r/s)在水平面内做匀速圆周运动，该平面离碗底的距离 h 为 ( ) A R g4 2n2 B. g4 2n2 C. g4 n2 R D. g4 2n2 R
14、2 答案 A 解析 由题意知，小球做圆周运动的角速度 2 n，小球做圆周运动需要的向心力为 F m4 2n2r，向心力由重力与弹力的合力提供，即 mgtan m4 2n2r，如图所示，根据几何关系： sin rR，联立解得： cos g4 2n2R，可得： h R Rcos R g4 2n2，【 精品教育资源文库 】 所以 A 正确， B、 C、 D 错误。 4. (多选 )如图所示，在水平转台上放一个质量 M 2.0 kg 的木块，它与台面间的最大静摩擦力 fm 6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的光滑中心孔 O 悬吊一质量 m1.0 kg 的小球，当转台以 5.0 rad/s 的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到 O 孔的距离可能是 (重力加速度 g 10 m/s2，木块、小球均视为质点 )( ) A 6 cm B 15 cm C 30 cm D 34 cm 答案 BC 解析 转台以一定的角速度 匀速转
