1、工程数学厦门大学物理与机电工程学院课程介绍 教材：高等工程数学高等工程数学 姚仰新、罗家洪、庄楚强，华南理工大学出版社，2007 参考书目：数值方法数值方法关治、陆金甫，清华大学出版社，2006 学时：54 学时 成绩：作业（40%）+考勤（10%）+期末（50%）任课教师：张宇锋 电子邮箱：数值分析绪论 数值分析研究对象、内容与特点 数值计算的误差 误差定性分析 避免误差危害数值分析研究对象工程和科学研究的一般过程发现问题发现问题寻找解法寻找解法问题获解问题获解解析解解析解数值解数值解212eedxex019+4.0289e212dxexMatLab数值计算结果矿道中移动梯子的问题7 m9
2、m123两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米，能够转过这个弯的梯子不能超过多长？矿道中移动梯子的问题两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米，能够转过这个弯的梯子不能超过多长？w1w2CBAl1l2矿道中移动梯子的问题0sincos)(sin)cos(0/sin)sin(sinsin2122121221CCwCACAwdCdlCwCAwlCABCwBwlll两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米，能够转过这个弯的梯子不能超过多长？数值分析研究对象工程和科学研究中的数值方法数值方法发现问题发现问题问题获解问题获解设计模型设计模型算法设计算法设计程序编写程序编写执行运
3、算执行运算数值分析研究对象工程和科学研究中的数值方法数值方法发现问题发现问题问题获解问题获解设计模型设计模型算法设计算法设计程序编写程序编写执行运算执行运算求115方程求根1152x牛顿法)115(211kkkxxx解7238.10,75.10,10210 xxx数值分析研究内容 函数数值求解函数数值求解 数值微分数值微分 数值积分数值积分 常微分方程数值解常微分方程数值解 偏微分方程数值解偏微分方程数值解 线性方程组数值解线性方程组数值解 应用软件：应用软件：MatLabMatLab,Fortran,Origin,Fortran,Origin 数值分析研究特点算筹算盘计算机计算机计算机的应用
4、：加、减、乘、除；逻辑运算；储存量、运算能力有限算法的时空复杂性，收敛性，数值稳定性数值计算的误差数值计算的误差数值计算的误差数值解不等于不等于 解析解 或 精确值 数值解 等于等于精确值+误差误差（合理性）（合理性）误差来源模型误差：模型误差：在建立数学模型时的“简单化”导致的误差误差来源模型误差：模型误差：在建立数学模型时的“简单化”导致的误差例如：运动中的时钟运动中的时钟：经典力学：相对论：00fff02220)1/1(fcWWcvfffrR误差来源模型误差：模型误差：在建立数学模型时的“简单化”导致的误差例如：运动中的时钟运动中的时钟：经典力学：相对论：相对论效应导致地球上空运行的GP
5、S卫星时钟每天变快38微秒00fff02220)1/1(fcWWcvfffrR观测误差：观测误差：数学模型中的已知参数测量过程产生的误差：工具、方法、观察者误差来源误差来源观测误差：观测误差：数学模型中的已知参数测量过程产生的误差：工具、方法、观察者误差来源观测误差：观测误差：数学模型中的已知参数测量过程产生的误差：工具、方法、观察者以上两种误差不在此课程考量范围！以上两种误差不在此课程考量范围！误差来源截断误差截断误差：将数学模型简化为易于求解的问题时产生的误差。误差来源截断误差截断误差：将数学模型简化为易于求解的问题时产生的误差。的截断误差是泰勒余项近似代替，则数值方法多项式在零点附近用泰
6、勒例如：函数nnnxnfxfxffxPxf!)0(!2)0(!1)0()0()(Taylor)()()(2 xxnfxRnnn0 )!1()()(11，误差来源舍入误差舍入误差：计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。误差来源舍入误差舍入误差：计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。以上两种误差是此课程考量内容！以上两种误差是此课程考量内容！0000026.014159.314159.3R，产生的误差近似代替例如：用误差的度量绝对误差：e*,e*=x*-x绝对误差限：*，e*相对
7、误差：er*,er*=e*/x=e*/x*相对误差限:r*,r*=*/x*xx范例x*x=*r*3.143.141592650.0020.06%3.14163.141592650.0000080.0003%误差的度量有效数字有效数字：如果近似值 x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x*准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x*的有效数字.误差的度量有效数字有效数字：如果近似值 x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x*准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x*的有效数字.2.71828188.00000330.037855511
8、87.93255别是？位有效数字的近似数分得到的下列数按四舍五入原则例如：误差传递0 )()()();()()();()()()()(22212212112212121212*1*21xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx及，其误差分别为与两个近似数范例%4)(102.02501100)()()(100.550100150,21002323AmLWWLAmAWidthLengthAreammr其误差求这个场地的面积，及别为一个矩形场地两边长分误差分析重要性重要性：对于算法进行评估误差分析.2,1,0,101ndxexeIIxnnn并估算误差例如：计算误差分析.2,1,0,101ndxex
9、eIIxnnn并估算误差例如：计算101n11eInIIn分部积分误差分析)!1()1(!)1(.!2)1()1(1121kRkekkk泰勒展开误差分析1010001.16321.0nnInIIIIII 近似为4711041!81,3679.0,7Rek设误差分析nInnIn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.728040.170497.552.2,1,0,101ndxexeIIxnnn并估算误差例如：计算nInI误差分析.2,1,0,101ndxexeIIxnnn并估算误差例如：计算11110101011011ndxxdx
10、exeIdxxenenxnnn误差分析nInnIn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.728040.170497.552nInI11110101011011ndxxdxexeIdxxenenxnnn积分结果：误差分析01000!)1(.3,2,1EnEnnEIIEIIEnnnnnn误差分析01000!)1(.3,2,1EnEnnEIIEIIEnnnnnn3679.01e误差分析01000!)1(.3,2,1EnEnnEIIEIIEnnnnnn2!8)1(810210884000EEnIIE3679.01e误差分析0!)1(E
11、nEnn1010001.16321.0nnInIIIIII 近似为误差随计算次数误差随计算次数增加而增加增加而增加误差分析nnEnE!)1(0误差随计算次数误差随计算次数增加而减小增加而减小误差分析1011.)1(1?IIInIIIInnnnn近似为nnEnE!)1(0误差随计算次数误差随计算次数增加而减小增加而减小误差分析1011.)1(1?IIInIIIInnnnn近似为nnEnE!)1(0误差随计算次数误差随计算次数增加而减小增加而减小0684.0)10110(21101101991eIIe误差分析nInnIn00.632150.145510.367960.126820.264470.1
12、12130.207380.103540.170890.0684.2,1,0,101ndxexeIIxnnn并估算误差例如：计算nInI误差分析nInnIn00.632150.145510.367960.126820.264470.112130.207380.103540.170890.0684nInInInnIn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.728040.170497.552nInI误差分析重要性重要性：对于算法进行评估算法的数值稳定性算法的数值稳定性初始数据的误差在计初始数据的误差在计算中的传递特性算中的传递特性避免
13、误差危害 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。要避免两相近数相减 要防止“大数”吃掉小数 减少运算次数避免误差危害02.0162.31,64.31110001xxyxxxxxy，例如：求避免误差危害02.0162.31,64.31110001xxyxxxxxy，例如：求01581.01162.31,64.311111xxyxxxxxxy避免误差危害次加法。次乘法和做再逐项相加，一共需要直接计算处的值求次多项式设给定n)O(n)n(n)(nni)(nxaxa axaxaxa(x)Pnnin-iinnnnn200111021121.0避免误差危害的值。次加法就可算出次乘法和只要计算即为所求
14、即也可以表示为法）采用迭代法（秦九韶算)(21 100110 xPnn)p(x(x)bn),(i,axbb aba)xa)xax(a(p(x)nniiinn小结 误差分类：模型、观测、截断、舍入 误差度量：绝对、相对、有效数字 误差传递：一元、多元 数值计算的稳定性：误差递增、递减 避免误差危害：加、减、乘、除、运算量作业1-1位有效数字。有至少具，则）的相对误差限）若相对误差限）请证明：位有效数字，则具有如果为整数。中的一个数字，到是其中，表示为定义：近似数nxaxaxxxnxa,n),(iaaaaxxnrnrnminnm)1(1)1(111)1(121101(212102111021m,0
15、9021)1010(10作业1-2利用作业1-1的结果，计算要令的近似值的相对误差限小于0.1%，所需要的最少有效数字位数，并计算在此有效数字下的相对误差。79作业1-31）F(x)是一元函数，利用泰勒展开式推导函数值F的绝对误差与自变量x的绝对误差之间的关系。2）利用上述关系，估计当x0,x*(0)是x的近似值，其相对误差限是时，函数值ln(x*)作为ln(x)的近似值的绝对误差限作业1-4相对误差限。并计算其绝对误差限及求电流，电阻若电压IRVV,103005220作业1-5的每一个步骤同时解答中请标明计算取六位有效数字注：开方和对数计算都的值和计算根据上面的论述，分别失才能避免有效数字的损论述如何计算设函数)30()30()2)()1)1ln()(2ffxfxxxf
